河南省濮阳市保成学校高三数学理期末试卷含解析

河南省濮阳市保成学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若全集，集合，，则（

）A．

B．或

C．

D．参考答案：B试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．

2.设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）单调递增 B．f（x）在（0，+∞）单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值参考答案：B考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：第一步：在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为[xf（x）]'；第二步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f'（x）；第三步：对f'（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断f'（x）的符号，即可判断f（x）的单调性．解答：解：由x2f′（x）+xf（x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=，从而[xf（x）]'=，令g（x）=xf（x），则f（x）=，∴=，令h（x）=lnx﹣g（x），则h'（x）=（x＞0），令h'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）为增函数；令h'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，得x＞e时，h（x）为减函数；由f（e）=，得g（e）=ef（e）=1．∴h（x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne﹣g（e）=1﹣1=0，也是最大值，∴h（x）≤0，即f'（x）≤0，当且仅当x=e时，f'（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．故选：B．点评：本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大．“在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键．3.函数f（x）=（﹣1）sinx的图象的大致形状是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值，判断即可．【解答】解：∵f（x）的函数的定义域为R，∴f（﹣x）=（﹣1）sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=﹣（2﹣﹣1）sinx=（﹣1）sinx=f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）关于y轴对称，当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=（﹣1）sin1＜0，故选：B．4.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（

）A．35海里

B．海里

C．海里

D．70海里参考答案：D5.设,其中e≈2.71828，则D的最小值为(

)A. B. C. D.参考答案：C分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.详解：由题意，，由表示两点与点距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，即为切点，设，由，可得，设，则递增，且，可得切点，即有，则的最小值为，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.6.已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上.以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（

）

参考答案：C

【知识点】几何体的三视图.

G2解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与重合时，三棱锥的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥的俯视图有选项D的可能.故选C.【思路点拨】由运动变化的观点，分析三棱锥的俯视图的可能情况，从而得出其不可能情况.7.若实数x，y满足，则的最小值是（

）A. B. C. D.参考答案：C作出可行域，如图所示：，即求的最小值，可行域上的动点与定点连线的斜率的最小值，由图可知最小值为，的最小值是.故选C.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.若函数满足，且时，，函数，则函数的零点的个数为A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：A由得是周期为2的周期函数，又当时，，可作出与的图象得与交点的个数即是零点的个数．共有10个，选A.9.样本中共右五个个体，其值分别为a，2，3，4，5，若该样本的平均值为3，则样本方差为

A．

B．

C．

D．2参考答案：D10.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则=

。

参考答案：—

略12.已知，函数的最小值______________.参考答案：4略13.设集合，则集合

．参考答案：14.设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=

.参考答案：试题分析：由题意，15.在三棱锥A－BCD中，平面ABC平面BCD，△ABC是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为______________．参考答案：【分析】用投影结合勾股定理来计算外接球的半径，再应用球的表面积公式即可.【详解】球心在平面的投影为，在平面的投影为，于是有是的外心，是△ABC的外心..设中点，连结，于是四边形是矩形.连结.有.在中根据正弦定理，得到.在△ABC中，因为是的角平分线，故.所以球的表面积为【点睛】本题考查四面体的外接球表面积问题，这种题一般都是先计算外接球半径进而求解。需有一定的空间想象能力。16.如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则(＋)·(＋)＝

．参考答案：117.函数是定义在R上的奇函数，且，则_________.参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持

不支持

合计

（2）若对年龄在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓极小值↓极小值↓当1＜a＜时，g（x）在上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，19.（本小题满分13分）已知函数．

（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：命题意图：本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．（Ⅰ）由题意得，，函数在处的切线方程为：………5分（Ⅱ）当时，恒成立，

………7分令，则，可得在上单调递减，在上单调递增，

………10分，即故实数的取值范围是

………13分20.（本题满分14分）己知在锐角中，角所对的边分别为，且.（Ⅰ）求角大小；（Ⅱ）当时，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以……6分（Ⅱ）由正弦定理，得，

……11分

由得

………14分

21.在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）参考答案：考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，即可化为普通方程，将代入=0可得极坐标方程．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用化为普通方程，与直线方程联立可得交点坐标，再化为极坐标即可．解答：解：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程=0，将代入=0得=0．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为普通方程为x2+y2﹣4