福建省莆田市石码中学高三数学理下学期摸底试题含解析

福建省莆田市石码中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为第二象限角，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：2.下列有关命题的说法正确的是A．命题“若则”的逆否命题为真命题.B．函数的定义域为.C．命题“使得”的否定是：“均有”.

D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.参考答案：A3.在中，，，，的面积为，则A．

B．

C．

D．参考答案：C4.设是两条不同直线，是两个平面，则的一个充分条件是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：Ｃ5.从一群游戏的孩子中随机抽出k人，每人分一个苹果，让他们返回继续游戏。过一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个孩子曾分过苹果，估计参加游戏的孩子的人数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A.(1,2] B．(1,2) C．[2,+) D．(2,+)参考答案：C7.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个圆形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3

参考答案：A解答：取,则，∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，区域Ⅱ的面积为，故.

8.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆

(

)半径为1，则该几何体体积为

A．

B．C．

D．参考答案：A9.已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)

B．1，＋∞)C．(2，＋∞)

D．2，＋∞)参考答案：C10.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=A．（-，-1）

B．（-1，-）

C．（-,3）

D．(3,+)参考答案：D和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角,构成公差为的等差数列.若，则=__________.参考答案：略12.已知关于的不等式，若此不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是

；若此不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是

。参考答案：13.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为__________．参考答案：18π略14.曲线的切线被坐标轴所截得线段的长的最小值为

。参考答案：答案：15.已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣3x，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为

．参考答案：4x+y﹣1=0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算得到所求切线的斜率，即可求出切线方程．．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=lnx+3x，由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣lnx﹣3x，x＞0．导数为f′（x）=﹣﹣3，则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣4，∵f（1）=﹣3，∴．曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+3=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣1=0，故答案为4x+y﹣1=0．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的斜率，求得解析式和导数是解题的关键，属于中档题．16.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和的交点坐标为

.参考答案：曲线的方程为（），曲线的方程为，

由或（舍去），则曲线和的交点坐标为.17.已知α为第二象限角，，则cos2α=．参考答案：【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）（2014秋?丰台区期末）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数求出函数f（x）的单调区间，进而求出函数的极小值；（Ⅱ）先利用特殊值，判断两函数值的大小，再构造函数g（x）=g（x）﹣（kx﹣1），根据函数g（x）的最值来对k进行分类讨论．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，则x=0．当x＜0时，f′（x）＜0，当；x＞0x＞0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时函数有极小值f′（x）极小值=f（0）=0．（Ⅱ）∵函数，当x=0时，y=k?0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1与f（x）无交点，等价于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①当k=1时，，满足y=kx﹣1与f（x）无交点；②当k＞1时，，而，，所以，此时不满足y=kx﹣1与f（x）无交点．③当k＜1时，令，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；当x=﹣ln（1﹣k）时，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1与f（x）无交点．综上所述当k∈（1﹣e，1]时，y=kx﹣1与f（x）无交点．点评：本题考查了，函数的最值，单调性，图象的交点，运用了等价转化、分类讨论思想，是一道导数的综合题，难度较大．19.（12分）已知函数是奇函数，的定义域为，当时，（为自然数的底数）（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的范围。参考答案：【知识点】导数B11【答案解析】（1）（2）（-∞，2]解析：解：x＞0时，f(x)＝?f(?x)＝

（1）当x＞0时，有，f'（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f'（x）＜0?lnx＞0?x＞1

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．

由题意a＞0，且，解得所求实数a的取值范围为

（2）当x≥1时，令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立

…（8分）令h（x）=x-lnx（x≥1），则，当且仅当x=1时取等号．

所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0

因此，，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2．

所以k≤2．所以所求实数k的取值范围为（-∞，2]…（12分）【思路点拨】（1）求出x＞0时的解析式，确定f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，利用函数f（x）在区间（a＞0）上存在极值点，即可求实数a的取值范围；

（2）令由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．20.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（B﹣C）的值．参考答案：考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）在△ABC中，依题意可求得sinC，从而可得△ABC的面积；（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=9+16﹣16=9可求得c，再由正弦定理=可求得sinB，继而可求得cosB，最后利用两角差的正弦即可求得sin（B﹣C）．解答：解：（1）在△ABC中，∵cosC=，∴sinC===．

…（2分）∴S△ABC=absinC=2．

…（5分）（2）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2abcosC=9+16﹣16=9∴c=3．

…（7分）又由正弦定理得，=，∴sinB===．

…（9分）cosB==…（10分）∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=×﹣×=．

…（12分）点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查同角三角函数间的基本关系，考查两角差的正弦，属于中档题．21.如图，已知中的两条角平分线和相交于，，在上，且。

（1）证明：四点共圆；（2）证明：平分。参考答案：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA-=120°.因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。（Ⅱ）连结BH，则BH为的平分线，得30°

由（Ⅰ）知B，D，H，E