直线与平面的夹角市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第1页第2页1．知识与技能掌握直线和平面所成角．能够求直线和平面所成角．2．过程与方法经过合作、探究、展示、点评培养学生自主学习能力．3．情感态度与价值观培养学生辩证对待事物，体会事物在一定条件下能够相互转化．第3页第4页重点：直线和平面所成角．难点：求直线和平面所成角．第5页第6页第7页2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所表示，OA为平面α斜线，AB是OA平面α内射影，AC为平面α内过A点任一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则cosθ＝cosθ1·cosθ2.(1)由0<cosθ2<1，∴cosθ<cosθ1，从而θ1<θ，这就是最小角定理．第8页(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理逆定理，由此可知三垂线定理及逆定理能够看成是此公式特例．(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内直线，斜线与平面内直线所成角．若已知θ1，θ2，θ中两个值能够求另一个值．第9页第10页第11页1．如图：cosθ＝________.2．最小角定理斜线和________所成角，是斜线和这个平面内全部直线所成角中最小角．第12页3．直线与平面夹角(1)假如一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面夹角为________．(2)假如一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面夹角为________．(3)斜线与它在平面内________叫做斜线和平面所成角(或斜线和平面夹角)．第13页[答案]1.cosθ1·cosθ22．它在平面内射影3．(1)90°(2)0°(3)射影所成角第14页第15页

[例1]如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所成角．第16页第17页第18页[说明]定义法就是指将斜线与平面夹角转化为斜线与其平面内射影夹角．此种方法关键在于确定斜线在平面内射影．第19页如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中点．(1)证实：PA∥平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成角正切值．第20页[解析]

(1)证实：连结AC，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以，PA∥平面EDB.(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.设正方形ABCD边长为a，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.第21页∴EF∥PD，F为DC中点．∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成角．在Rt△BCF中．第22页[分析]解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG法向量和AH方向向量，再求两向量夹角余弦绝对值即可．第23页[解析]

建立如图所表示空间直角坐标系，则G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，第24页第25页令x＝1，则z＝－4，y＝－1.即n＝(1，－1，－4)，即AH与平面AFEG夹角为θ，第26页在如图所表示几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB中点．(1)求证：CM⊥EM.(2)求CM与平面CDE所成角．第27页[解析]

以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直直线为z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．第28页第29页第30页[例3](·湖南理，18)如图所表示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证实你结论．第31页第32页第33页第34页第35页[点评]本题考查了直线与平面所成角，直线与平面平行性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．第36页第37页第38页[误解]建立如图所表示直角坐标系，依据题意得：第39页第40页①建立适当空间直角坐标系；②将斜线和它在平面上射影或者斜线和平面法线用向量或坐标表示出来；③利用向量夹角公式求解．第41页第42页第43页A．90°B．60°C．45° D．30°[答案]

D第44页[解析]

由已知O为外心，且AB⊥OC，第45页2．平面一条斜线和这个平面所成角θ范围是 ()A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90°C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°[答案]

D[解析]

由斜线和平面所成角定义知选D.第46页3．直线l与平面θ成45°角，若直线l在α内射影与α内直线m成45°角，则l与m所成角是 ()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]

C第47页二、填空题4．若AB与平面α成30°角，且A∈α，则AB与α内不过点A全部直线所成角中最大角________．[答案]90°[解析]

在平面α内，过A点垂直于AB在平面内射影直线与AB所成角最大，为90°.第48页5．自平面α外一点P向平面α引垂线段PO及两条斜线段PA，PB，它们在平面α内射影长分别为2cm和12cm，且这两条斜线与平面α所成角相差45°，则垂线段AO长为________．[答案]

4cm或6cm[解析]

设PA，PB与α所成角分别为α1，α2，且α1＝α2＋45°，第49页三、解答题6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC中点．求EB与平面ABCD夹角余弦值．第50页[解析]

取CD中点M，则