广东省江门市岭东北中学高三数学理期末试题含解析

广东省江门市岭东北中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，其中为正整数，则集合中元素个数是 （）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个参考答案：A2.已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，则A∩（?RB）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}，∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}，故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（

）

A．4005

B．4008

C．4007

D．4006参考答案：D4.一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥底面面积S=×2×2=2，棱柱高为：2，故棱柱的体积为：4，棱锥的高为：1，故棱锥的体积为：，故组合体的体积V=4﹣=，故选：D．5.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．6.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为（

）A． B． C． D．参考答案：B对于，函数是奇函数，不满足题意；对于，，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递减，故满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递增，故不满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数，故不满足题意，故选B.

7.已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为A．

B． C． D．参考答案：D考点：数量积的应用因为，

所以

故答案为：D8.已知,则的最小值为 A．12 B．24 C．36 D．48参考答案：B9.已知等差数列{an}的前n项和为，则数列的前2019项和为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得，，可得．利用裂项求和方法即可得出．【详解】设等差数列的公差为，，，，，联立解得：，．．则数列的前2019项和．故选：．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10.若复数(其中i为虚数单位)在复平面中对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为__________参考答案：

12.设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．解得m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题13.已知抛物线：，过点和的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：试题分析：显然，直线方程为，即，由，消去得，由题意，解得．考点：直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，相交，有两个交点，相切，有一个公共点，相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交．14.如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、

侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边

长均为1，那么这个几何体的体积为__________..

参考答案：15.已知，，，则的最小值是

．参考答案：416.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β．给出下列命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；

④l⊥β?m∥α．其中正确的命题是．（填写所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，从而m∥α．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β，知：在①中，α∥β?l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；在②中，α⊥β?l与m相交、平行或异面，故②错误；在③中，m∥α?l与β相交或平行，故③错误；在④中，l⊥β?α∥β?m∥α，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为

平方米.（用分数作答）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D（异于A，B）两点．(1)求椭圆标准方程；(2)求四边形的面积的最大值；(3)若是椭圆上的两动点，且满，动点满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点使得为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．参考答案：(1)由题设知：因为抛物线的焦点为，所以椭圆中的，又由椭圆的长轴为4，得，

椭圆的标准方程为：

…………4分(2)法一直线斜率不为零，，代入椭圆方程得：则有：

…………5分（当且仅当，即时等号成立）

四边形的面积的最大值为4

…………8分

法二：当直线斜率不存在时，的方程为：，此时…………5分当直线斜率存在时，设的方程为：

(其中)即代入椭圆方程得：，…………5分

综上所述：四边形的面积的最大值为4

…………8分(3)由，可得…①又因为

……②

由①②可得： ……11分由椭圆的定义存在两定点使得

………12分19.在中，角所对的边分别为，且，（1）求的值；

（2）若，求的最大值。参考答案：解：(1)因为,所以原式==

==(2)由余弦定理得:

所以所以当且仅当时取得最大值.20.设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前项和。(1)求证数列是等差数列；(2）若数列的前项和为Tn,试证明不等式成立.参考答案：（Ⅰ）∵，当时，，两式相减，得，即，又，∴.

当时,,∴,又,∴.所以,数列是以3为首项,2为公差的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）,,∴.设,；∵，

∴∴

==.又，,综上所述：不等式成立.21.（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（I）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC=2AD·CD．

参考答案：（Ⅰ）连接，因为为的中点，所以．因为为的中点，所以．因为为的直径，所以，即所以． ………5分（Ⅱ）因为为的中点，所以，又,则．又因为，，所以∽．所以，,………10分22.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值与