高中数学第三章导数及其应用3.3.2极大值与极小值全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖课件

极大值与极小值1/12aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定义:普通地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,假如在这个区间内f/（x）>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内增函数;假如在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内减函数.一、知识回顾:假如在某个区间内恒有,则为常数.2/122.求函数单调性普通步骤①求函数定义域;②求函数导数

f/（x）

;③解不等式f/（x）>0得f(x)单调递增区间;解不等式f/（x）<0得f(x)单调递减区间.3/12关注用导数本质及其几何意义处理问题

3.思索：观察下列图，当t=t0时距水面高度最大,那么函数h（t）在此点导数是多少呢？此点附近图象有什么特点？对应地，导数符号有什么改变规律？4/12二、新课讲解——函数极值:

1.

观察右下列图为函数y=2x3-6x2+7图象,从图象我们能够看出下面结论:函数在X=0函数值比它附近全部各点函数值都大，我们说f(0)是函数一个极大值；函数在X=2函数值比它附近全部各点函数值都小，我们说f(2)是函数一个极小值。x2y05/12oaX1X2X3X4baxy如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点函数值与这些点附近函数值有什么关系？Y=f（x）在这些点导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）导数符号有什么规律？2.探索思索：6/12从而我们得出结论:若x0满足f/(x)=0,且在x0两侧导数异号,则x0是f(x)极值点,f(x0)是极值,而且假如f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)极大值点,f(x0)是极大值;假如f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.从曲线切线角度看,曲线在极值点处切线斜率为0,而且,曲线在极大值点左侧切线斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线斜率为负,右侧为正.7/12oaX00bxyoaX0bxy如上左图所表示,若x0是f(x)极大值点,则x0两侧附近点函数值必须小于f(x0).所以,x0左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0右侧附近f(x)只能是减函数,即

同理,如上右图所表示,若x0是f(x)极小值点,则在x0左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0右侧附近只能是增函数,即.8/12三、例题选讲:例1:求y=x3/3-4x+4极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗极大值28/3↘极小值-4/3↗所以,当x=-2时有极大值,而且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,而且,y极小值=-4/3.9/12四.探索思索:

导数值为0点一定是函数极值点吗?

可导函数极值点一定是它导数为零点,反之函数导数为零点,不一定是该函数极值点.比如,函数y=x3,在点x=0处导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧导数都大于零.

所以导数为零点仅是该点为极值点必要条件,其充分条件是在这点两侧导数异号.10/12

普通地,求函数y=f(x)极值方法是:(1):假如在x0附近左侧f/(x)>0右侧f/(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2):假如在x0附近左侧f/(x)<0右侧f/(x)>0,那么f(x0)是极小值.解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:11/12练习1:求函数极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x改变时,,y改变情况以下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-