集合与函数概念

集合与函数概念练习、已知集合M={y︱y=x2-2x-1，x∈R｝，N＝{(x,y)︱y=x2-2x-1，x∈R},则M=N吗？3、若A中有n个元素，则有：(1)A有子集2n个;（2）A有非空子集2n-1个;（3）A有非空真子集2n-2个！例4、已知a为给定实数，则集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集个数是（）A、1；B、2；C、4；D、不确定。C第2页,共109页，2024年2月25日，星期天5、特别注意：例5、设A={x∣x2+x-1=0},B={x∣ax+1=0}，若，求实数a的不同取值的个数是多少。解：方程x2+x-1=0的解为当B中的x取两根之一时均满足此时a有两个。但当a=0时，显然第3页,共109页，2024年2月25日，星期天练习1、已知集合A={x︱x2-5x+6=0}，

B={x︱mx+1=0}，且B

A，则实数m组成的集合是

。

因此a有三个。解：1、A＝{2,3}，且，注意B＝Φ时，m=0；当B={2}时，2m+1=0，解得m=-1/2；当B={3}时，同理可得m=-1/3。{0,-1/2,-1/3}第4页,共109页，2024年2月25日，星期天练习2、已知集合A={x|1<ax<2}，B={x|}，求满足的实数a的范围。解：B={x|-1<x<1}，（1）当a=0时，A=φ，满足；（2）当a>0时，A=，∵，∴解得a≥2。第5页,共109页，2024年2月25日，星期天（3）当a<0时，A=，∵∴解得：a≤-2。综上所述，a=0或a≥2或a≤-2。第6页,共109页，2024年2月25日，星期天我们知道，实数有加法运算，那么集合是否也可以“相加”呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？1、A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};2、A={有理数}，B={无理数}，C={实数}答：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。第7页,共109页，2024年2月25日，星期天并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。用Venn图表示为：ABA∪B第8页,共109页，2024年2月25日，星期天例4、设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B。例5、设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B练习2、设集合A={x|1<x<3}，集合B={x|-2<x<2}，求A∪B。练习1、设A={a,b,c,d}，B={b,d,e,g}，求A∪B。第9页,共109页，2024年2月25日，星期天思考：下列关系式成立吗？（1）A∪A=A；（2）A∪φ=A。二、考察下面的问题，集合A、B与C之间有什么关系？A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8}。答：集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的元素组成的。第10页,共109页，2024年2月25日，星期天交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。用Venn图表示为：ABA∩B第11页,共109页，2024年2月25日，星期天例6、新华中学开运动会，设A={新华中学高一年级参加百米赛的同学}B={新华中学高一年级参加跳高赛的同学}求A∩B。练习3、P12练习1、2。例7、设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∩B。练习4、P12练习3。第12页,共109页，2024年2月25日，星期天5、已知M={x|x≤1}，N={x|x>a}，若M∩N≠φ，则a的取值范围是（）A、a>1；B、a≥1；C、a<1；D、a≤1C第13页,共109页，2024年2月25日，星期天补例1、已知集合M={x|3x2+ax-7=0}，N={x|3x2-7x+b=0}，a,b∈R且，求M∪N。补例2、已知集合M={x|x2+ax+1=0}，N={x|x2-3x+2=0}，且M∩N=M，求a的取值范围。注意：M∩N=M

M∪N=M第14页,共109页，2024年2月25日，星期天补例3、已知集合M={x|x2+ax+1=0}，N={x|x2-3x+2=0}，且M∩N=M，求a的取值范围。解：由已知得，N={1,2}。故M可能是φ、{1}、{2}、{1,2}。（1）若M=φ，则△=a2-4<0，即-2<a<2；（2）若方程x2+ax+1=0有解，则由x1x2=1知，只能M={1}。从而1+a+1=0，即a=-2.综合(1)(2)得-2≤a<2。

第15页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A∩B=B,求a的值。答案：a=1或a≤-1。第16页,共109页，2024年2月25日，星期天例7、设平面内直线上点的集合为L1，直线上点的集合为L2，试用集合的运算表示的位置关系。思考：下列关系式成立吗？（1）A∩A＝A；（2）A∩φ＝A第17页,共109页，2024年2月25日，星期天三、在研究问题时，我们常常需要确定研究对象的范围。不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程(x-2)(x2-3)=0的解集，在有理数范围内只有2是其解，在实数范围内有三个解是2，一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个从这个集合为全集，通常记作U。对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合A的补集。记作CUA，即第18页,共109页，2024年2月25日，星期天

CUA={x|x∈U且}可用VennL图表示：AUCUA例8、设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求CUA，CUB。第19页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：P12练习4。例9、设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}。求A∩B，CU(A∪B)。练习：P14习题9、10。补例1、已知全集U={30以内的质数}，它的子集A、B满足(CUA)∩B={2，7，17}，A∩(CUB)={3，23},(CUA)∩(CUB)={5,13,29}，求集合A与B。第20页,共109页，2024年2月25日，星期天解：可直接求解或用Vens图(下图)求解。1119323271751329ABU练习：已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B={2}，CUA∩CUB={1,9}，CUA∩B={4,6,8}，求集合A和B。第21页,共109页，2024年2月25日，星期天解：用文氏图来推求。如右下图得A={2，3，5，7}B={2，4，6，8}24,6,83,5,7

1,

9补例2、已知全集U={2,0,3-a2}，集合P={2,a2-a-2}，CUP={-1}，求实数a的值。解：由已知-1∈U，所以3-a2=-1，解得a=2或a=-2。当a=-2时P={2,4}与CUP={-1}矛盾；a=2满足条件。所以a=2。第22页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：设，，求CUA。第23页,共109页，2024年2月25日，星期天四、补集思想的应用对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题。在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系。这样就能起到化难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这是补集思想的应用。例、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，若A∩R－≠φ，求实数m的取值范围。第24页,共109页，2024年2月25日，星期天分析：集合A是方程x2-4mx+2m+6=0的实数解组成的非空集合，A∩R－≠φ意味着方程的根有（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根三种情况，如果考虑A∩R－≠φ的反面A∩R－=φ，则可先求方程的两根均非负时，m的取值范围，用补集的思想求解尤为简捷。第25页,共109页，2024年2月25日，星期天解：设全集U={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1或m≥3/2}①若方程x2-4mx-2m-6=0的两根x1,x2均非负，则

x1+x2=4m≥0②

x1x2=2m+6≥0③由①②③得m≥3/2。∴{m|m≥3/2}关于U的补集{m|m≤-1}即为所求.第26页,共109页，2024年2月25日，星期天练习、若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，求实数p的取值范围。-3<p<3/2解：取的解集的补集即得：-3<p<3/2第27页,共109页，2024年2月25日，星期天补例：已知集合A={x|x2-mx+m2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，满足A∩B≠φ，A∩C=φ，求实数m的值练习：设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A∩B＝B,求a的值。第28页,共109页，2024年2月25日，星期天函数一、回顾初中函数的定义：在某一变化过程中，任给一个自变量x，都有惟一的一个y与之相对应。下面我们用初中的函数定义去分析课本给出的三个实例。不同点：实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，实例3是用表格刻画变量之间的对应关系。第29页,共109页，2024年2月25日，星期天共同点：①都有两个非空数集；②两个数集之间都有一种确定的对应关系。注意：解析式、图象、表格都是上种对应关系。通过分析、归纳总结出函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和第30页,共109页，2024年2月25日，星期天它对应，那么就称f：A

B为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=f(x)，x∈A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。说明：①对y=f(x)的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式，如实例1；也可以是图象，如实例2；也可以第31页,共109页，2024年2月25日，星期天是表格，如实例3。②定义中集合A和B都是非空数集；③对于x中的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有惟一的y值与它对应。因此：函数有三要素：定义域、值域、对应关系！我们一齐小结一次、二次函数的定义域和值域。第32页,共109页，2024年2月25日，星期天.1、一次函数y=ax+b(a≠0)由它的图象可以知道它的定义域是R，值域也是R。2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)由它的图象可以知道它的定义域是R，值域要看a，a>0时，值域是：

a<0时，值域是：。第33页,共109页，2024年2月25日，星期天二、研究函数时常用到区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b。我们有

定义

名称符号

数轴表示{x|a≤x≤b}

闭区间[a，b]{x|a<x<b}

开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]第34页,共109页，2024年2月25日，星期天这些区间的几何表示如上表所示。在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。实数R可以用区间表示为，我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为，,

，。第35页,共109页，2024年2月25日，星期天三、学习例1：已知函数（1）求函数的定义域；（2）求f(-3)、f(2/3)的值；（3）当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值。练习1、P21练习1、2。第36页,共109页，2024年2月25日，星期天练习2:函数的定义域为M，函数的定义域为N，则M与N的关系是（）A、M＝N；B、M

N；C、M∩(CRN)=φ；D、M∩(CRN)={3}

D第37页,共109页，2024年2月25日，星期天补充：解绝对值和一元二次不等式一、复习绝对值不等式的解法(a>0)：

(1)(2)二、一元二次不等式图象解法(a>0):ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0令f(x)=ax2+bx+c，则此抛物线开口向上令方程：ax2+bx+c=0。如下图所示第38页,共109页，2024年2月25日，星期天x1x2x1=x2=△>0△=0△<0注：对ax2+bx+c>0看上方的图象；对ax2+bx+c<0看下方的图象!第39页,共109页，2024年2月25日，星期天练习1、不等式的解集是

2、不等式x2-5x+4<0的解集是

不等式x2-5x+6>0的解集是

(-1,3)例1、解不等式：

(1,4){x|x<2或x>3}解：原不等式可化为：-1<x2-5x+5<1即由①和②得：{x|1<x<2或3<x<4}x2-5x+5<1x2-5x+5>-11<x<4---------①x<2或x>3------②第40页,共109页，2024年2月25日，星期天例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？练习2、设x为实数，则f(x)与g(x)表示同一函数的是（）A、B、C、f(x)=1,g(x)=x0；D、A第41页,共109页，2024年2月25日，星期天练习3：给出下列四组函数：（1）y=x与y=；（2）与y=x0；（3）与；（4）y=3x+1(x∈Z）与y=3x-2(x∈Z）其中表示同一函数的是

。（2）与(3)练习4、P21练习3。第42页,共109页，2024年2月25日，星期天三、复合函数的概念：假设两个函数：y=f(u)，u=g(x)前者自变量为u，因变量为y，后者的自变量为x，因变量为u。如果将u=g(x)代入y=f(u)中，就得到

y=f[g(x)]这个以x为自变量，以y为因变量的函数，称为复合函数。这个函数的定义域由u=g(x)的定义域中那些使g(x)属于y=f(u)第43页,共109页，2024年2月25日，星期天的定义域的x组成；而这种将一个函数“代入”另一个函数的运算叫做复合运算。经过复合运算构成的函数就是复合函数。例如：函数可以看成和u=x2-2x-3的复合函数。例3、已知f(x)=3x-1,g(x)=2x+3,h(x)为x的函数，若f[h(x)]=g(x)，求h(x)。解：∵f[h(x)]=3h(x)-1，∴由已知得：3h(x)-1=2x+3，即h(x)=2(x+2)/3。第44页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：1、已知f(x)=2x+3，g(x)=4x-5。(1)求满足f[h(x)]=g(x)的h(x)。(2)求满足k[g(x)]=f(x)的k(x)。2、设，证明：3、若g(x)=1-2x，,则f(1/2)的值为（）A、1；B、3；C、15；D、30。C第45页,共109页，2024年2月25日，星期天例4、已知函数，求的值。解：∴原式=1/2+39=39.5。评注：由需求式中数的特点推出函数f(x)的隐含的性质是解决问题的关键。第46页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：设，求的值。（全国高考题）解：易证当x+y=1时，f(x)+f(y)=1。∴原式＝500。第47页,共109页，2024年2月25日，星期天练习、已知函数y=f(x)的定义域为（0,1），求和f(x2)的定义域。答案：（1/3,2/3)；(-1,0)∪(0,1)。例5、函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数

f(x+a)+f(x-a)(0<a<1/2)的定义域是什么？解：∵0<a<，∴a≤1-a。依题意得：故得定义域：[a,1-a]。第48页,共109页，2024年2月25日，星期天例6、已知f(x+1)的定义域是[-2,3]，求的定义域。

解：∵-2≤x≤3，可得-1≤x+1≤4。即第49页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：若函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是（）A、[0,5/2]；B、[-1,4]；C、[-5,5]；D、[3,7]A小结：函数f(x+1),f(x),f(2x-1)中的x并不是同一个量，当f(x)的定义域是[-1,4]时，f(x+1)和f(2x-1)分别是中间变量(x+1)和(2x-1)的函数，f(2x-1)的定义域由中间变量2x-1∈[-1,4]求得。(xt=x+1t=2x-1)第50页,共109页，2024年2月25日，星期天求函数的解析式一、求复合函数的解析式：采用变量代换法或凑配法例1、已知，求f(x)。解、令故有f(t)=t2+2，即f(x)=x2+2。练习：已知，求f(x)。

第51页,共109页，2024年2月25日，星期天二、求抽象函数式的方法:变量代换、解方程组。例1、设函数，求f(x).解：令t=1/x，则有即又解方程组得f(x)=第52页,共109页，2024年2月25日，星期天解：令4x-3=t，则有x=(t+3)/4，∴af(t)+bf(-t)=(t+3)/2⑴将⑴中的t换成–t，则a(f-t)+bf(t)=(-t+3)/2⑵⑴×a－⑵×b得:(a2-b2)f(t)=a(t+3)/2-b(-t+3)/2练习：已知af(4x-3)+bf(3-4x)=2x，

a2≠b2，求函数f(x)的表达式。第53页,共109页，2024年2月25日，星期天∵a2≠b2，∴三、用待定系数法求一元一次、一元二次函数。1、一次函数：y=kx+b(k≠0)（1）、当k>0时，是增函数；（2）、当k<0时，是减函数；（3）纵截距为b；即与Y轴的交点为(0,b)。第54页,共109页，2024年2月25日，星期天例1、已知f(x)是一次函数，且满足：

3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)。解：设f(x)=ax+b，则：3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17。比较系数得：a=2，b=7。∴f(x)=2x+7。练习：1、已知f(x)是一次函数，且f(1)=1，

f[f(2)]=5，求f(x)的解析式。答案：f(x)=2x-1。第55页,共109页，2024年2月25日，星期天2、一元二次函数：

y=ax2+bx+c(a≠0)1、记住顶点坐标,与对称轴。

2、位置与开口方向。3、增减性与极值.第56页,共109页，2024年2月25日，星期天3、确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，主要采用待定系数法，依情况有3种待定形式：1、标准式：f(x)=ax2+bx+c2、顶点式：f(x)=a(x-k)2+m3、零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)注、若二次函数与x轴的两个点为(x1,0),(x2,0)则第57页,共109页，2024年2月25日，星期天例1、已知二次函数y=f(x)的最大值等于13，且f(3)=f(-1)=5，求f(x)的解析式。解：∵f(3)=f(-1)，∴抛物线y=f(x)有对称轴x=1,故可设f(x)=a(x-1)2+13，将点(3,5)代入，求得a=-2。∴f(x)=-2(x-1)2+13=-2x2+4x+11练习1、二次函数当x=3时，有最大值是-1，又图象过(4,-3)点。求这个二次函数。2、二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别是1和2，并且当x=3时，y=4。求这个二次函数。第58页,共109页，2024年2月25日，星期天例2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4，求f(x)。解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0），则

f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4

即ax2+bx+a+c=x2-2x+2∴a=1,b=-2,a+c=2，即c=1。第59页,共109页，2024年2月25日，星期天4、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x，则f(x)=

.x2-x+1练习3：已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(2)=0，且方程f(x)=x有等根。求f(x)的解析式。例3、(1)分别求函数y=x2-2x+3在[2,3]、[0,1.5]、[-2,-1]上的最大、小值(值域)。(2)已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2+x+1的最大、最小值。第60页,共109页，2024年2月25日，星期天注、函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值（1）当时，f(x)单调增，最小值为f(m)，最大值为f(n)；（2）当时,最小值为最大值为max{f(m),f(n)}；（3）当时，f(x)单调减，最小值为f(n)，最大值为f(m)。第61页,共109页，2024年2月25日，星期天补充练习：已知、是关于x的方程x2-2mx+m+6=0的两实数根，则的最小值是多少？8提示：第62页,共109页，2024年2月25日，星期天求二次函数在闭区间上的最值的方法：1、要借助图象（与开口方向、特别是对称轴和顶点有关）；2、当含有参数时，须对参数分区间（在对称轴的左、右、两边）讨论。练习1、求函数y=x2-2x+3在[2,3]上的最大、小值解：由已知y=(x-1)2+2得顶点（1，2），对称轴为x=1，∵，且[2,3]在对称轴的右边，∴最大值为f(3)=6，最小值为f(2)=3。第63页,共109页，2024年2月25日，星期天练习2：若函数y=x2+ax-1在区间[0,3]上有最小值-2，则实数a的值为（）(A)2；(B)±2；(C)-2；(D)C解：函数f(x)=x2+ax-1的图象开口向上对称轴为x=(1)当≤0，即a≥0时，f(0)=-1最小但与已知-2不符。第64页,共109页，2024年2月25日，星期天(2)当0<<3,即-6<a<0时，最小值是f()=()2+()a-1=-2,解得a=±2取a=-2(a=2不合，舍去）；当，即a<-6时，最小值f(3)=9+3a-1=-2,从而(舍去）。所以取a=-2。故选C。第65页,共109页，2024年2月25日，星期天3、函数y=-x2-4x+1，x∈[-3,3]时的值域是()A、(-∞,5]；B、[5,+∞）；C、[-20,5]；D、[4,5]4、求函数的值域。C7、解：f(x)的定义域为4x-13≥0，即令，则得。从而有

即值域为：第66页,共109页，2024年2月25日，星期天例4、已知函数的定义域是R，求实数m的取值范围。解：（1）显然m=0时函数的定义域为R；（2）m≠0时，mx2-4mx+m+3>0对一切实数x均成立的充要条件是：解得0<m<1。由（1）、（2）知0≤m<1。第67页,共109页，2024年2月25日，星期天练习8、求证：无论m为何值，抛物线y=(m2+1)x2-2mx+(m2+4)与x轴永不相交.9、若函数的定义域为R，求实数k的取值范围。解：为使kx2+4kx+3≠0，当k≠0时，要△<0，从而0<k<;又k=0时，分母为3≠0；又分子为奇次根下的表达式，(x-5)∈R，∴满足题意的k∈第68页,共109页，2024年2月25日，星期天函数的表示法1、由初中学过的函数知识和1.2.1节的三个实例，我们知道函数的表示方法有三种：解析（式）法、图象法、列表法！学习课本例3（P21）说明：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、甚至是一些离散的点。第69页,共109页，2024年2月25日，星期天学习例4。（P22）说明：从表格中可以看到三个学生的学习情况和发展趋势。学习例5、例6。说明：像例5、例6表示的函数称为分段函数。注意在求分段函数值时要先判断在哪个区间，然后再用那个区间的表达式求函数值。第70页,共109页，2024年2月25日，星期天补全例：画出函数的图象，并求此函数的最小值是多少？当a为何值时，f(x)与y=a的图象：（1）无交点；（2）二个交点；（3）三个交点；（4）四个交点。练习：画出函数的图象，并求此函数的最小值是多少？当a为何值时，f(x)与y=a的图象：（1）无交点；（2）二个交点；（3）三个交点；（4）四个交点。第71页,共109页，2024年2月25日，星期天补例1、设定义在整数集上的函数f(x)满足f(n)=求f(1993)的值答案：f(1993)=1997。练习1、已知函数：

f(x)=（1）求f(8)、f(-1)的值。（2）求此函数的值域。第72页,共109页，2024年2月25日，星期天答：f(84)=997。2、已知f(x)=（x∈N），则f(3)的值是（）A、2；B、5；C、4；D、3。3：设定义在整数集上的函数f(x)满足f(n)=求f(84)的值。A第73页,共109页，2024年2月25日，星期天补例2、如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动。设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求（1）y与x之间的函数关系式；（2）画出y=f(x)的图象。第74页,共109页，2024年2月25日，星期天

（1）y=（2）第75页,共109页，2024年2月25日，星期天练习：如图所示，动点P从边长为1的的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示P点行程，y表示PA的长，求y关于x的函数关系式。第76页,共109页，2024年2月25日，星期天前面我们学过函数：非空数集A中任取一个元素，按照某一确定的对应关系f，在非空数集B中都有惟一的元素与之对应。把上面的集合A、B推广为一般的非空集合，对应关系f就是映射。即：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使集合A中的任一元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个映射。第77页,共109页，2024年2月25日，星期天注意映射f：A

B中，A中的元素在B中一定有象，但B中的元素在A中不一定有原象。学习例7（P25）练习1、设f：A

B是集合A到集合B的映射，则下列命题正确的是（）

(A)、A中的每一个元素在B中必有象；(B)、B中的每一个元素在A中必有原象；(C)、B中的每一个元素在A中的原象是唯一的；(D)、A中的不同元素的象必不同。A第78页,共109页，2024年2月25日，星期天2、设集合A={x|0≤x≤6},B={x|0≤x≤6},从A到B的对应法则f不是映射的是（）A、f:x；B、f:x；C、f:x；D、f:x。3、若函数f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2}，则f(x)可以是()AB第79页,共109页，2024年2月25日，星期天补例、设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A

B把集合A中的n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射下，象20的原象是（）

A、

2；B、3；C、4；D、5C练习2、设f：A

B是从集合A到B的映射f:(x,y)(x-y,x+y)，求：（1）A中元素(1，3)的象；（2）B中元素(1，3)的原象。

第80页,共109页，2024年2月25日，星期天函数的单调性（增减性）函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大、最小值，函数图象有什么特征等，是非常重要的。我们研究一次、二次函数的单调性（什么时候上升、下降）后抽象出单调性的一般定义。第81页,共109页，2024年2月25日，星期天x1x1x2x2y1y1y2y2增函数：对x1<x2有y1<y2减函数：对x1<x2有y1＞y2第82页,共109页，2024年2月25日，星期天函数的单调性（增减性）1、定义：对某区间内任意x1<x2,若f(x1)<f(x2)为增；若f(x1)>f(x2)为减。证明方法：取值，作差，变形（一般是乘积），判断，下结论。2、函数的单调性是针对某个区间而言，只能在函数的定义域内来讨论，函数的单调性可能是定义域上的整体性质也可能是局部性质。3、在研究函数的单调性时，常将函数变形化简为讨论一些熟悉函数的单调性，掌握并记住一次、二次、函数的单调性，将会大大缩短其判断过程。第83页,共109页，2024年2月25日，星期天解：函数的单调区间有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3)，[3,5]。其中在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数，在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数。例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。xy0-55xy-55第84页,共109页，2024年2月25日，星期天例2、证明函数在上是增函数。例3、证明函数f(x)=x3+b在R上是单调增函数。小结：证明函数单调性的方法：取（自变量）值，作差，变形（一般是乘积），判断，下结论。第85页,共109页，2024年2月25日，星期天4、一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么就称M是函数y=f(x)的最大值。练习：依照上述定义写出最小值的定义。例4、已知函数，求函数的最大、最小值。第86页,共109页，2024年2月25日，星期天练习1、函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，已知,

则f(x)在[-2,3]上有（）A、最大值f(-2)，最小值；B、最大值，最小值f(-2)；C、最大值f(3)，最小值；D、最大值，最小值f(3)。2、已知在上都是减函数，则y=ax2+bx在上是

函数。A减第87页,共109页，2024年2月25日，星期天例5、已知函数y=x2+2(a-2)x+5在区间上是增函数，求实数a的取值范围。练习：1、函数f(x)=2x2-mx+3在上是增函数,在上是减函数，求f(1)的值。2、函数f(x)=x2+2(a+1)x-5+a在上是单调增函数，则实数a的取值范围是

。注意：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在对称轴左、右边具有单调性。当a>0时，左减右增；当a<0时，左增右减。第88页,共109页，2024年2月25日，星期天例5、已知f(x)是定义在R+上，且又f(2)=1，当x>1时，f(x)>0。（1）求f(1)、f(4)的值；（2）讨论f(X)的单调性；（2）解不等式：练习1、已知y=f(x)在上是减函数，试比较与f(a2-a+1)的大小。第89页,共109页，2024年2月25日，星期天2、已知y=f(x)是定义在(-1，1)上的减函数，且f(1-a)<f(1-a2)，求a的取值范围。第90页,共109页，2024年2月25日，星期天函数的奇偶性我们先画出并观察函数y=x2和的图象：第91页,共109页，2024年2月25日，星期天（1）观察可知这两个函数的图象都关于y轴对称（2）从数值的角度，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同。如：对于函数f(x)=x2有：

f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)第92页,共109页，2024年2月25日，星期天实际上，对于定义域R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)。这时我们称函数y=x2为偶函数。请同学们检验是否也是偶函数？偶函数定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。那么函数f(x)就称为偶函数。它的图象关于y轴对称！思考：函数f(x)=x2，x∈[-2，2)是不是偶函数？第93页,共109页，2024年2月25日，星期天我们再观察函数f(x)=x和的图象：第94页,共109页，2024年2月25日，星期天（1）观察可知这两个函数的图象都关于原点对称。（2）从数值的角度，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数。如：对于函数f(x)=x有：

f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)第95页,共109页，2024年2月25日，星期天实际上，对于定义域R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)=-(x)=-f(x)。这时我们称函数y=x为奇函数。请同学们检验是否也是奇函数？奇函数定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)。那么函数f(x)就称为奇函数。它的图象关于原点对称！思考：函数f(x)=x，x∈[-2，2)是不是奇函数？第96页,共109页，2024年2月25日，星期天例1、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）；（4）练习：P40练习1、2。第97页,共109页，2024年2月25日，星期天我们注意到函数f(x)=2x是奇函数，而函数f(x)=2x+1又是什么函数？显然

f(-x)≠±f(x)有这种性质的函数我们称为非奇非偶函数。还有上面所述的函数：

f(x)=x2，x∈[-2，2)即其定义域不关于原点对称的也称为非奇非偶函数。第98页,共109页，2024年2月25日，星期天小结：奇函数或偶函数的定义域区间必须是关于原点对称的。若函数的定义域不关于原点对称，则函数必是非奇非偶函数。即非奇非偶函数包含两类：（1）函数的定义域不关于原点对称的；（2）即使函数的定义域关于原点对称，但f(-x)≠±f(x)的。还有一类函数是既是奇又是偶的函数：

f(x)=0，x∈I（区间I关于原点对称）第99页,共109页，2024年2月25日，星期天注1：奇函数的另一形式：若函数的定义域内任一个x都有f(x)+f(-x)=0，则称f(x)为奇函数。偶函数的另一形式：若函数的定义域内任一个x都有f(x)-f(-x)=0，则称f(x)为偶函数。例2：判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）。（3）非奇非偶偶说明：在判断奇偶性时，要先求定义域！非奇非偶第100页,共109页，2024年2月25日，星期天注：若奇函数的定义域中包含0，则函数必过(0,0)点。即有f(0)=0。不包含0，可用定义求解或用f(-1)=-f(1)。例3