大学高数三角函数总结

三角函数

1,①与（0%<360。）终边相同得角得集合（角与角得终边重合）:

②终边在x轴上得角得集合：

③终边在y轴上得角得集合：

④终边在坐标轴上得角得集合：

⑤终边在y=x轴上得角得集合：

⑥终边在轴上得角得集合：

⑦若角与角得终边关于无轴对称，则角与角得关系：

⑧若角与角得终边关于y轴对称，则角与角得关系：

⑨若角与角得终边在一条直线上，则角与角得关系：

⑩角与角得终边互相垂直，则角与角得关系：

SISCOS三角函数值大小关系图

2、角度与弧度得互换关系:360。=2180°=1。=0、017451=57、30。="、4表示第一、二、三、

注意:正角得弧度数为正数，负角得弧度数为负数,零角得弧度数为零、四象限一半所在区域

、弧度与角度互换公式：lrad=°弋57、30°=57°18'.1°=弋0、01745（rad）

3、弧长公式:、扇形面积公式:

4、三角函数:设就是一个任意角，在得终边上任取（异于原点得）

一点P（x,y）P与原点得距离为r,则；；；；；、

5、三角函数在各象限得符号:（一全二正弦,三切四余弦）

正弦、余割余弦、正割正切、余切

6、三角函数线

正弦线:MP;余弦线:0M;正切线：AT、

7、三角函数得定义域:

三角函数定义域

sinx

COSX

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数得基本关系式:

16.几个重要结论,

9、诱导公式：

“奇变偶不变,符号瞧象限”

71

(3)右ovx<2,则sinxvxctanx

三角函数得公式:(一)基本关系

公式组二

公式组三

公式组四

公式组五

公式组六

(二)角与角之间得互换

公式组一公式组二

公式组三公式组四公式组五

10、正弦、余弦、正切、余切函数得图象得性质:

（A、＞0）

定义域RRR

值域RR

周期性

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶

当奇函数

单调性上为增函;上为增函上为增函数()上为减函数0上为增函数；

数;上为减数上为减函数0

函数()上为减函

数

()

注意:①与得单调性正好相反;与得单调性也同样相反、一般地，若在上递增（减），则在上递减

（增）、

②与得周期就是、

③或（）得周期、

得周期为2（,如图,翻折无效）、

④得对称轴方程就是（）,对称中心（）；得对称轴方程就是（）,对称中心（）；得对称中心（）、

⑤当・；・、

⑥与就是同一函数,而就是偶函数，则

⑦函数在上为增函数、（x）[只能在某个单调区间单调递增、若在整个定义域，为增函数，同样

也就是错误得卜

⑧定义域关于原点对称就是具有奇偶性得必要不充分条件、（奇偶性得两个条件:一就是定义

域关于原点对称（奇偶都要），二就是满足奇偶性条件，偶函数:,奇函数：）

奇偶性得单调性:奇同偶反、例如:就是奇函数，就是非奇非偶、（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质:若得定义域，则一定有、（得定义域,则无此性质）

⑨不就是周期函数;为周期函数（）；『『

就是周期函数（如图）;为周期函数（）；

得周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期,例如：/一；悭\z

'y=cos|x|图象

⑩有y=|cos2«+l/2|图象

三角函数得图象变换有振幅变换、周期变换与相位变换等.

函数丫=人5出（3*+「）得振幅4,周期,频率,相位初相（即当x=0时得相位）.（当A>0,

«>0时以上公式可去绝对值符号），

由y=sinx得图象上得点得横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当O<|A|<1）

到原来得|A|倍，得到y=Asinx得图象，叫做振幅变换或叫沿y轴得伸缩变换.（用y/A替换y）

由y=sinx得图象上得点得纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|3]<1）或缩短（|31>1）到原

来得倍，得到y=sinax得图象，叫做周期变换或叫做沿x轴得伸缩变换.（用3x替换x）

由y=sinx得图象上所有得点向左（当<p>0）或向右（当cp<0）平行移动I<pI个单位，得到

y=sin（x+<p）得图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向得平移.（用x+（p替换x）

由丫=5加得图象上所有得点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动IbI个单位，得到y

=sinx+b得图象叫做沿y轴方向得平移.（用y+（-b）替换y）

由y=sinx得图象利用图象变换作函数y=Asin（ax+<p）（A>0,a>0）（xGR）得图象，要特

别注意:当周期变换与相位变换得先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量得区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1、三角函数恒等变形得基本策略。

（1）常值代换：特别就是用“1”得代换，如1=COS2e+sin29

=tanx,cotx=tan45°等。

⑵项得分拆与角得配凑。如分拆

项：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=l+cos2x;酉己凑角：a=（a+B）——B,B=——

等。

⑶降次与升次。⑷化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin。+bcos。=sin（。+）,这里辅助角所在象限由a、b得

符号确定,角得值由tan=确定。

2、证明三角等式得思路与方法。

(1)思路:利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一

形式。

(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3、证明三角不等式得方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数得

单调性,利用正、余弦函数得有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题得策略。

(1)发现差异:观察角、函数运算间得差异，即进行所谓得“差异分析”。

(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间得内在联系。

(3)合理转化:选择恰当得公式，促使差异得转化。

四、例题分析

例1.已知,求⑴；⑵得值、

解：⑴;

(2)

、

说明：利用齐次式得结构特点(如果不具备,通过构造得办法得到)，进行弦、

切互化,就会使解题过程简化。

例2.求函数得值域。

解:设，则原函数可化为

，因为，所以

当时,，当时,，

所以篇数底值域为。

例3.已知函数。

(1)求得最小正周期、得最大值及此时x得集合；

(2)证明:函数得图像关于直线对称。

解：

(1)所以得最小正周期,因为，

所以，当，即时，最大值为；

(2)证明:欲证明函数得图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为/(---X)=242sin[2(-=2行sin(一生-2x)=-2y/2cos2x,

8842

/(--+x)=2①sin[2(--+x)--]=2应sin(--+2x)=-272cos2x,

8842

所以成立，从而函数得图像关于直线对称。

例4.已知函数y=cos'+sinx•cosx+1(x£R),

(1)当函数y取得最大值时，求自变量x得集合；

(2)该函数得图像可由y=sinx(x£R)得图像经过怎样得平移与伸缩变换得

到？

解：(1)y=cos2x+sinx•cosx+l=(2cos2x—1)++(2sinx•cosx)+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x•sin+sin2x•cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kn,(kez),即x=+kn,(kez)。

所以当函数y取最大值时，自变量x得集合为｛x|x=+kJi.kez)

(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx得图像向左平移,得到函数y=sin(x+)得图像；

(ii)把得到得图像上各点横坐标缩短到原来得倍(纵坐标不变)，得到函数

y=sin(2x+)得图像；

(iii)把得到得图像上各点纵坐标缩短到原来得倍(横坐标不变)，得到函数

y=sin(2x+)得图像；

(iv)把得到得图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+得图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+l得图像。

说明：本题就是2000年全国高考试题，属中档偏容易题,主要考查三角函数

得图像与性质。这类题一般有两种解法:一就是化成关于sinx,cosx得齐次式，

降易后最终化成丫=5讪(3x+)+k得形式,二就是化成某一个三角函数得二次三项

式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时,y=l;当cosxWO时,y=+l=+l

化简得：2(y—1)tan2x-tanx+2y-3=0

VtanxER,/.A=3-8(y-1)(2y-3)20,解之得:WyW

•••%小，此时对应自变量x得值集为｛x|x=kJi+,keZ｝

例5.已知函数

(I)将F&)写成得形式,并求其图象对称中心得横坐标；

(II)如果aABC得三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对得角为x,试求x得范

围及此时函数/得值域、

A®....1.2x6八2尤、1.2xV3lxV3.,2x万、V3

用牛.f(x)=—sin-----1-----(1+cos—)=—sin-----1-----cos-----1-----=sin(------1——)H-----

232323232332

(I)由=0即

即对称中心得横坐标为

(II)由已知b2=ac

a2+c2-b2a2+c2-aclac-ac1

cosx=---------------=---------------->-----------=—,

laclac2ac2

33339

.re.2x兀、八".2x兀、八V3

,sin—<sin(----1—)«1,..<sin(----1—)V1H-----,

333332

即得值域为、

综上所述，值域为、

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形

结合得思想来解决函数值域得问题,有利于培养学生得运算能力，对知识进行整

合得能力。

例6.在中必、0、c分别就是角A、B、C得对边，且，

(1)求得值；

⑵若，且a=c,求得面积。

解:(1)由正弦定理及，有，

即,所以，

又因为,，所以，因为，所以，又,所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以得面积为

三角函教

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)

1.已知点尸(tana,COSQ)在第三象限，则角a得终边在()

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

2.集合"=｛小=当土彳乒2｝与N=｛x|x=亨，%£Z｝之间得关系就是()

A>MNB、NMC、M=ND、MCN=

3.若将分针拨慢十分钟，则分针所转过得角度就是()

A、60°B、-60°C、30°D、-30°

4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)一289。,(4)1711。,其中在第一象限得角就是

()

A、⑴⑵B、⑵⑶C、⑴⑶D、⑵(4)

5.设〃<0,角a得终边经过点尸(一3〃,4〃),那么sina+2cosa得值等于()

22-11

A、5B、—5C、5D、—5

13

6.若cos(;r+a)=1］乃<0<2匹则sin(2;z—a)等于()

A—也p亚1D+也

/A、2D、2Vc—•>2i^、12

7.若a就是第四象限角，则Tt—a就是

()

A、第一象限角B、第二象限角

C、第三象限角D、第四象限角

8.已知弧度数为2得圆心角所对得弦长也就是2,则这个圆心角所对得弧长就是()

2

A、2B、~r-rC、2sinlD、sin2

9.如果sinx+cosx=5，且0<x<?r,那么cotx得值就是()

44„33-4-3

A、—B、—或一1C、—4D、3或一4

10.若实数X满足log2尤=2+sin0,则I尤+1I+I尤-10|得值等于()

A、2x~9B、9~2xC、11D、9

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分，共30分)

lLtan30(F+cot765。得值就是、

jSina+cosa„.—

12.若^------=2,则sinacosa得值就是、

sina—cosa

13.不等式(lg20产。sx>l,(xe(0㈤)得解集为、

14.若。满足cos6>—3，则角。得取值集合就是、

15.若cosl3(r=〃，贝ijtan50°=

16.已知，若㈤，则/(cosa)+/(—cosa)可化简为、

三、解答题(本大题共5小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)设一扇形得周长为C(C＞0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最

大面积就是多少？

18.(本小题满分14分)设90°＜ct＜180°,^a得终边上一点为P(x,小)，且cosa=

也、，

十-羽求sina与tana得值、

yrm—34—2m

19.(本小题满分14分)已知5WeW/r,sine=—T7,COS8=-，求加得值、

zm-rjm-rj

20.(本小题满分15分)已知0。＜。＜45。,且Ig(tana)—lg(sina)=lg(cosa)—Ig(cota)+21g3

—2lg2,求cos%—sin%得值、

21.(本小题满分15分)已知sin(57i~a)=q5cosg乃十为与小cos(—a)=—也cos(乃十份,且0

＜。＜乃,0＜夕＜加,求a与0得值、

三角函教

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)

1.下列函数中，最小正周期为"得偶函数就是)

A、y=sin2xB、y=cos,

1—tan2x

C、y=sin2x+cos2xD''l+tan2x

2.设函数y=cos(sinx),则()

A、它得定义域就是[—1,1]B、它就是偶函数

C、它得值域就是[—cos1,cos1]D、它不就是周期函数

3.把函数y=cos尤得图象上得所有点得横坐标缩小到原来得一半,纵坐标扩大到原来得两倍,

然后把图象向左平移(个单位、则所得图象表示得函数得解析式为

)

A、y=2sin2xB、y=-2sin2x

,JIX71

C、y=2cos(2x+a)D、y=2cos(2)

4.函数y=2sin(3x-f)图象得两条相邻对称轴之间得距离就是

()

A、彳B、与C、乃D、亨

5.若sina+cosa=m,且一陋W机＜一1,则a角所在象限就是()

A、第一象限B、第二象限

C、第三象限D、第四象限

37r

6.函数y=|cotx|・sinx(0V%WE且样%)得图象就是()

2

7.设>=言益，则下列结论中正确得就是

A、y有最大值也有最小值B、y有最大值但无最小值

C、y有最小值但无最大值D、y既无最大值又无最小值

8.函数产sin^—2元）得单调增区间就是（）

37r7tTT57r

A、［左万一至，左7+g］B、［左7+3,k7r+~^~］（左

（%£Z）oo£Z）

■jr37r37r77r

C、Lk7i~Q，历r+b］D、［Ax+石，左7+］

oo（%£Z）oo（%£Z）

9.已知OWxW匹且一］<4<0,那么函数於）=（：052元一2泅111：一1得最小值就是（）

A、2a~\~1B、2a—1C、一2a—1D、

2a

10.求使函数y=sin（2尤+e）+小cos（2x+6）为奇函数，且在［0（］上就是增函数得。得一个

值为

（）

A皂R也c—n-

r\>3D、3L、3LJ>3

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）

1L函数尸霍公得值域就是-------------、

口•函数尸普而得定义域就是-------------、

13汝口果［0,乃］，且满足|sinx|=2cosy—2,则％=,y=、

14.已知函数y=2cosx,xe［0,2%］与y=2,则它们得图象所围成得一个封闭得平面图形得面

积就是__________

15.函数y=sinx+cos%+sin2x得值域就是、

■JT

16.关于函数#x）=4sin（2x+］）（%eR）有下列命题：

①由/（修）=危2）=0可得九1一%2必就是加得整数倍；

___-TT

②y=/U）得表达式可改为y=4cos（2x一不）；

⑨=於）得图象关于点（一3,0）对称；

④尸式龙）得图象关于直线尤=-f对称、

其中正确得命题得序号就是、

三、解答题(本大题共5小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)如图为函数y=Asin(s+9)(A>0,o>0)得图象得一部分,试求该函数得

一个解析式、

18.(本小题满分14分)已知函数yJsiru+cosxy+Zcosk(尤CR)

(1)当y取得最大值时，求自变量x得取值集合、

(2)该函数图象可由>=$1型。6见得图象经过怎样得平移与伸缩变换得到？

19.(本小题满分14分)已知函数八x)=(sinr-cosx)

(1)求它得定义域与值域;(2)求它得单调减区间；

(3)判断它得奇偶性;(4)判断它得周期性，如果就是周期函数，求出它得一个周期、

20.(本小题满分15分)某村欲修建一横断面为等腰梯形得水渠(如图)，为降低成本，必须尽量减

少水与水渠壁得接触面、若水渠横断面面积设计为定值北渠深3米，则水渠侧壁得倾斜

角a应为多少时，方能使修建得成本最低？

21.(本小题满分15分)已知函数段)=sin(s+9)@>0,0WpW%)就是R上得偶函数淇图象关

于点M仔，0)对称，且在区间[0,f]上就是单调函数，求。与。得值、

倒数关系：

tana•cota=1

sina•esca=1

cosa•seca=1

商得关系：

sina/cosa=tana=seca/esca

cosa/sina=cota=csca/seca

平方关系：

sin2(a)+cos2(a)=1

1+tan2(a)=sec2(a)

l+cot-2(a)=csc^2(a)

平常针对不同条件得常用得两个公式

sin2(a)+cos2(a)=1

tana*cota=1

一个特殊公式

(sina+sin9)(sina-sin0)=sin(a+9)*sin(a-0)

证明:(sina+sin9)*(sina-sin9)=2sin[(0+a)/2]cos[(a-9)/2]*2

cos[(0+a)/2]sin[(a-。)/2]

=sin(a+9)*sin(a-9)

坡度公式

我们通常半坡面得铅直高度h与水平高度1得比叫做坡度(也叫坡比)，用字

母i表示，

即i=h/1,坡度得一般形式写成1:m形式，如i=l:5>如果把坡面与水

平面得夹角记作

a(叫做坡角)，那么i=h/l=tana、

锐角三角函数公式

正弦：sina=Za得对边/NQ得斜边

余弦:cosa=Za得邻边/Na得斜边

正切：tana=Za得对边/Na得邻边

余切：cota=Za得邻边/Na得对边

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA•cosA

余弦

1、Cos2a=Cos2(a)-Sin^2(a)

2、Cos2a=l-2Sin2(a)

3、Cos2a=2Cos2(a)-1

即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos"2(a)-l=l-2Sin2(a)

正切

tan2A=(2tanA)/(l-tan"2(A))

三倍角公式

sin3a=4sina•sin(兀/3+a)sin(n/3一a)

cos3a=4cosQ•cos(n/3+a)cos(几/3一a)

tan3a=tana•tan(n/3+a)•tan(n/3-a)

三倍角公式推导

sin(3a)

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(l-sin2a)+(l-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-l)cosa-2(1-cosa)cosa

=4cos3a_3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sir?a)

=4sina[(V3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60O-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(V3/2)^2]

=4cosa(cos2a-cos2300)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

二4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)

/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a—30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

现列出公式如下：sin2a=2sinacosatan2a=2tana/(1-tan2(a))

cos2a=cos八2(a)-sirT2(a)=2cos^2(a)T=l-2sirT2(a)可别轻视这些字符,

它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题与函数问题中

三倍角公式

sin3a=3sina-4sin3(a)=4sina•sin(Ji/3+a)sin(n/3-a)

cos3a=4cosc3(a)-3cosa=4cosa•cos(兀/3+a)cos(兀/3—a)

tan3a=tan(Q)*(-3+tan(a)人2)/(-l+3*tan(Q)2)=tan

a•tan(n/3+a)•tan(/3-a)

半角公式

sin^2(a/2)=(l-cosa)/2cos^2(a/2)=(l+cosa)/2

tarT2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(l-cosa)/sina

万能公式

sina=2tan(a/2)/[l+tan"2(a/2)]

cosa=[l-tan2(a/2)]/[l+tan"2(a/2)]tana=2tan(a/2)/[l-tan^2(a/2)]

其她

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2兀*3/n)+...+sin[a+2兀*(

n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2Ji/n)+cos(a+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+...+cos[a+2兀*(

n-l)/n]=0以及sin2(a)+sin2(a-2兀/3)+sin2(a+2兀/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2^sinA2-1))cos4A=l+(-8*cosA八2+8*cosA4)

tan4A=(4^tanA-4^tanA3)/(l-6*tanA^2+tanA4)

五倍角公式

sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA

tan5A=tanA*(5T0*tanA八2+tanA4)/(lT0*tanA八2+5*tanA4)

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+l)*(2*sinA-l)*(-3+4*sinA2))

cos6A=((T+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-l+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)

七倍角公式

sin7A-一(sinA*(56*sinA'2-112*sinA4-7+64*sinA'6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA4+64^cosA6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-l+21*tanA2-35*tanA4+7*

tanA6)

八倍角公式

sin8A=―8*(cosA*sinA*(2^sinA^2-l)*(-8*sinA^2+8*sinA4+1))

cos8A=l+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32^cosA2)

tan8A=-8*tanA*(-l+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(l-28^tanA^2+70*tanA4-28

*tanA^6+tanA8)

九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA…2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3))

tan9A=tanA*(9-84^tanA2+126^tanA4-36*tanA6+tanA8)/(l-36^tanA2+126

*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)

十倍角公式

sinlOA=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinAT)*(4*sinA^2-2*sinA-l)*(-20*sinA

2+5+16*sinA4))

coslOA=((T+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304^cosA4-48*cosA2+1))

tanlOA=-2*tanA*(5-60^tanA2+126^tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-l+45*tan

A2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)

N倍角公式

根据棣美弗定理，(cos。+isin0)%二cos(n。)+isin(n9)为方便描

述，令sin。=s,cos。=c考虑n为正整数得情形：cos(n0)+isin(n0)=(c+

is)n=C(n,0)n+C(n,2)*」(n-2)*(is)2+C(n,4)*c…(n-4)*(is)4

+、、、+C(n,l)*cXnT)*(is)1+C(n,3)*cXn-3)*(is厂3+

C(n,5)*cXn-5)*(is厂5+、、、=>比较两边得实部与虚部实

部:cos(n0)=C(n,0)*cn+C(n,2)*c(n-2)*(is)2+C(n,4)*c(n-4)*(is)4

+、、、i*(虚部)：i*sin(n。)=C(n,l)*cXnT)*(is)]+C(n,3)*cXn-3)*(i

s)八3+C(n,5)*cXn-5)*(is厂5+、、、对所有得自然数n,1、cos(n9):公

式中出现得s都就是偶次方，而s~2=H(/2(平方关系)，因此全部都可以改成以

c(也就就是cos。)表示。2、sin(n。)：(1)当n就是奇数时：公式中出现得c

都就是偶次方，而「2二1-s八2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就就是

sin。)表示。(2)当n就是偶数时：公式中出现得c都就是奇次方，而

/2=Hs「2(平方关系)，因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就就是cos9)

得一次方无法消掉。(例、c^3=c*c>'2=c*(l-s^2),>5二。*(>2)人2=。*(1-5…2)八2)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA>

sirT2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

与差化积

sin9+sin<t)=2sin[(0+4))/2]cos[(0-4))/2]

sin0-sin=2cos[(9+4))/2]sin[(9-4))/2]

cos0+cos=2cos[(0+4))/2]cos[(0-4))/2]

cos9-cos4)=-2sin[(9+4))/2]sin[(0-4))/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角与公式

tan(a+B)=(tana+tanB)/(l-tanatan8)

tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tanatanB)

cos(a+B)=cosacosB-sinasinB

cos(a-B)=cosacosB+sinasinB

sin(a+B)=sinacosB+cosasinB

sin(a—B)=sinacos8-cosasinB

积化与差

sinasin&=-[cos(a+3)-cos(a-^)]/2

cosacos8=[cos(a+B)+cos(a-8)]/2

sinacos3=[sin(a+B)+sin(a-8)]/2

cosasinP=[sin(a+B)-sin(a-B)]/2

双曲函数

sha=[e^a-e^(-a)]/2

cha=[e^a+e^(-a)]/2

tha=sinh(a)/cosh(a)

公式一：

设Q为任意角，终边相同得角得同一三角函数得值相等：

sin(2kJi+a)=sina

cos(2kn+a)=cosa

tan(2k兀+a)=tana

cot(2k兀+a)=cota

公式二：

设a为任意角，兀+Q得三角函数值与a得三角函数值之间得关系：

sin(n+a)=-sina

cos(Ji+a)=-cosa

tan(JI+a)=tana

cot(Ji+a)=cota

公式三：

任意角a与-Q得三角函数值之间得关系：

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

cot(-a)=-cota

公式四：

利用公式二与公式三可以得到兀-a与a得三角函数值之间得关系:

sin(n-a)=sina

cos(Ji-a)=-cosa

tan(JI-a)=-tana

cot(Ji-a)=-cota

公式五：

利用公式-与公式三可以得到2几-a与a得三角函数值之间得关系:

sin(2-a)=-sina

cos(2n-a)=cosa

tan(2兀-a)二-tana

cot（2几-a）=-cota

公式六：

兀/2土Q及3几/2士。与a得三角函数值之间得关系:

sin(n/2+a)=cosa

cos(兀/2+a)=-sina

tan(兀/2+a)=-cota

cot(兀/2+a)=-tana

sin(n/2-a)=cosa

cos(n/2-a)=sina

tan(兀/2-a)=cota

cot(兀/2-a)=tana

sin(3JI/2+a)：=-cosa

cos(3JI/2+a)：=sina

tan(3JI/2+a)：=-cota

cot(3JI/2+a)：=-tana

sin(3JI/2-a)=-cosa

cos(3JI/2-a):=-sina

tan(3JI/2-a):=cota

cot(3JI/2-a)：=tana

(以上k£Z)

A*sin(wt+9)+B*sin(ot+4))=

V{(A2+B2+2ABcos(0-4))}•sin{ot+arcsin[(A•sin9+B•sin4))

/J{A八2+B~2;+2ABcos(0-e)}}

J表示根号，包括{……}中得内容

三角函数得诱导公式(六公式)

公式一sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

公式二sin(几/2-a)=cosa

cos(兀/2-a)=sina

公式三sin(几/2+Q)=cosa

cos(n/2+a)=-sina

公式四sin(ii-a)=sina

cos(兀-a)=-cosa

公式五sin(ii+a)=-sina

cos(n+a)=-cosa

公式六tanA=sinA/cosA

tan(兀/2+a)=—cota

tan(JT/2—a)=cota

tan(JI—a)=—tana

tan(n+a)=tana

诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号瞧象限

万能公式

sina=2tan(a/2)/[l+(tan(a/2))2]

cosa=[l-(tan(a/2))2]/[l+(tan(a/2))2]

tana=2tan(a/2)/[l-(tan(a/2))2]

其它公式

(1)(sina厂2+(cosa>2=1(平方与公式)

(2)1+(tana)"2=(seca)2

(3)1+(cota/2二(esca厂2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sina厂2,第二个除(cosa厂2即可

(4)对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=兀-C

tan(A+B)=tan(n-C)

(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)=(tan兀-tanC)/(1+tan兀tanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证，当x+y+z=nJi(n£Z)时,该关系式也成立

由tanA+1anB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=l

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)2+(cosC)2=l-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

其她非重点三角函数

esc(a)=l/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2

幕级数展开式

sinx=x-x八3/3!+x人5/5!1...+(-1厂(kT)*(xX2kT))/(2kT)!+.....。

(-oo<x<oo)

cosx=l-x八2/2!+xM/4!-...+(T)k*(xX2k))/(2k)!+....(-°°<x<00)

arcsinx=x+l/2*x3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+...(|x|<1)

arccosx=兀-(x+l/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x3/3+x-5/5-...(xWl)

无限公式

sinx=x(l-x^2/兀八2)(l-x^2/4n八2)(l-x^2/9兀八2)...

cosx=(l-4x^2/兀2)(l-4x^2/9兀2)(l-4x^2/25兀八2)...

tanx=8x[l/(兀^2-4x2)+1/(9兀"2-4x"2)+l/(25兀2-4：x2)+...]

secx=4n[1/(Ji^2-4x^2)-1/(9兀^2-4x^2)+1/(25n~2—4x~2)—+....]

(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8...

(1/4)tan兀/4+(l/8)tann/8+(l/16)tann/16+...=1/兀

arctanx=x-x3/3+x-5/5-...(xWl)

与自变量数列求与有关得公式

sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

cosx+cos2x+cos3x+....+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)

tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+....+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+....+co

snx)

sinx+sin3x+sin5x+....+sin(2n-l)x=(sinnx)"2/sinx

cosx+cos3x+cos5x+...