广东省江门市杜阮中心初级中学高三数学理下学期摸底试题含解析

广东省江门市杜阮中心初级中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 （

）A． B． C． D．参考答案：A2.函数的部分图象如图，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为函数的平移不改编图象的大小，所以将图图象向右平移个单位，此时函数为，A点平移到O点，因为函数的周期,此时,,,所以,，所以，所以，即，选B.3.已知函数,若恒成立,则整数k的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B【分析】由题得h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k，h′（x）=，记g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解.【详解】f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=，记g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），则g′（x）=＞0，∴g（x）（2，+∞）上单调递增，又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当2＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），故正整数k的最大值是3．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是找到函数的单调性和a的取值范围.

4.设A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是双曲线C上异于A，B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得直线AP及PB斜率，根据对数的运算性质即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得t=1时，h（t）取最小值，=1，利用双曲线的离心率公式即可求得答案．【解答】解：由A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则，y02=，则m=，n=，则mn==，ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，+ln|m|+ln|n|=+ln，设=t，t＞0，则h（t）=+2lnt，t＞0，h′（t）=﹣=，则t=1时，h（t）取最小值，∴则=1，则双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率，故选：C．5.

函数（0<a<1）的图像大致为下图的

（

）A

B

C

D参考答案：答案：A

6.

已知椭圆与为端点的线段没有公共点，则的取值范围是

A．

B．或C．或

D．参考答案：答案:B7.如图，在△ABC中，，点D在边AC上，AD=DB，，E为垂足，若DE＝，则A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知集合，，则集合等于（▲）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知函数，则使得成立的的取值范围是A.(－1,3)

B.(－∞,－3)∪(3,+∞)C.(－3,3)

D.(－∞,－1)∪(3,+∞)参考答案：D因为，所以是偶函数，又在单调递减，在单调递增，所以等价于，解得，或.故选D.10.在直角三角形ABC中，CA=4，CB=2，M为斜边AB的中点，则的值为（）A．1 B．10 C． D．6参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【分析】由平面向量基本定理和向量的运算法则，用向量，表示所求向量，再由数量积的运算可得．【解答】解：如图，由向量的运算法则可得=，∵M为斜边AB的中点，∴==﹣（），∴=﹣（）?（）=（）=（22﹣42）=6故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为

.参考答案：4略12.已知函数，则函数与直线平行的切线方程为

．参考答案：试题分析：，由，得，又，所以切线方程为，即．考点：导数的几何意义．13.计算：参考答案：略14.已知在平面直角坐标系中有一个点列：，……，．若点到点的变化关系为：，则等于

．参考答案：15.已知直线（为常数）与函数及函数的图象分别相交两点，则两点之间的距离为

.参考答案：16.已知函数，.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于

．参考答案：17.已知点满足则点构成的图形的面积为

．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由表中数据得的观测值所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关.

…………3分（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示

设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为…………7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.可能取值为0,1,2，，，的分布列为012所以．

…………12分19.不等式选讲已知函数．(I)解不等式；(Ⅱ)若，且，求．参考答案：（I）不等式的解集是------------------------------5分（II）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立.----------------------------------------10分

略20.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明：f（x）为单调增函数；（3）若，求f（x）在上的最值．参考答案：【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法进行求f（1）的值；

（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2?）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．解：（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（?5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．21.目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数469634（1）若从年龄在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，求恰有1名不赞成“车辆限行”的概率；（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．态度年龄赞成不赞成总计中青年

中老年

总计

参考公式和数据：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B关联性无关联90%95%99%参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）从这5人中任取2人的所有情况共C52=10种情况，恰有1名不赞成“车辆限行”C31C21=6种情况，即可求出恰有1名不赞成“车辆限行”的概率；（2）根据所给做出的列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（1）从这5人中任取2人的所有情况共C52=10种情况…恰有1名不赞成“车辆限行”C31C21=6种情况…所以恰有1名不赞成“车辆限行”的概率为…（2）2×2列联表如图所示…态度年龄赞成不赞成总计中青年191130中老年13720总计321850X2=≈0.0145≤2.706…说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联…【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．22.

已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)试讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．参