2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷（含答案解析）

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A不合题意；对于B中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B不合题意；对于C中，由正方体的三视图都是正方形，所以C符合题意；对于D中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D不合题意.故选：C.2.把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由函数的平移变化可得，即可得出答案.【详解】解：把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到：即：由题意可知：，，故选：B.3.已知点都在反比例函数的图象上，那么的大小关系正确的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的的变化情况，即可比较大小.【详解】，，是正数，反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小，都在反比例函数图象上，，.故选：C.4.在直角中，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形内的正弦值的表示，即可求解.【详解】如图.在Rt中，，..故选：A5.如图，半径为的的弦，且于，连结，若，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】连接OA，OD，由弦，可得，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定，由，，可求得，继而可得是直角三角形，则可求得，由此可解决问题．【详解】解：弦，，，，如图，连接，，，，，，，，故选：B.6.已知点为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】分和，结合图象对选项一一判断即可得出答案.【详解】解：，抛物线对称轴为直线，当点恰好关于对称时，有，，即，，抛物线的开口方向没有确定，则需要对进行讨论，故排除A，B；当时，抛物线开口向下，此时距离直线越远，值越小；，，点距离直线较远，当时，抛物线的开口向上，此时距离直线越远，值越大；，，点距离直线较远，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.7.如图，点在正方形网格的格点上，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，和，由勾股定理可证明是直角三角形，再由，代入即可得出答案.【详解】解：连接，点在格点上，如图所示：设每个小正方形的边长为，则，，，，是直角三角形，，故选：D.8.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数是（）A. B.120 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆周角和圆心角关系求解.【详解】四边形为的内接四边形，，，由圆周角定理得，，故选：C.9.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数的图象上，若正方形的面积为4，且，则的值为（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】先由正方形的面积得出边长，据此可设B，则E，根据点在反比例函数的图象上，得，求解即可.【详解】解：正方形的面积为4，正方形的边长为2，.设点坐标为，则点坐标，点在反比例函数的图象上，，解得.故选：B.10.如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（两点均不与端点重合），作交边于点.若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为（）A.2 B.2.5 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】依题意得，即，根据一元二次方程有一个解求解即可.【详解】解：是等边三角形，，，，，，，；，，，满足条件的点有且只有一个，方程有两个相等的实数根，，.故选：D.二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.11.点和点是同一个反比例函数图象上的点，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据两点在同一反比例函数图象上，可构造方程求得结果.【详解】点和点是同一个反比例函数图象上的点，，解得：.故答案为：.12.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最小整数值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的图象、单调性即可求解.【详解】二次函数的对称轴为，开口向上,所以当时，随的增大而减小，又当时，随的增大而减小，所以，即的最小整数值为1.故答案为：1.13.如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为__________.【答案】1或3或8.【解析】【分析】由三角形相似，对应边成比例，列方程求的长.【详解】设，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，①当时，，解得.②当时，，解得或，所以当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8，故答案为：1或3或8.14.已知二次函数，当自变量的取值在的范围内时，函数的图象与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是__________.【答案】或【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，利用函数图象，可得且，解不等式组即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且开口向上，若抛物线与轴有且仅有一个交点，则有；当时，在的范围内，抛物线与轴有且只有一个公共点，根据对称性，公共点不可能在范围内，而在范围内，则且，解得；所以，的取值范围是或.故答案为：或.15.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】对m分类讨论，求出方程的根，根据方程的根满足条件求m的范围.【详解】解：当时，.当时，可得，符合题意；当时，可得，不符合题意；当时，，即，.关于的方程的所有根都是比1小的正实数，，解得，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.16.对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.【详解】因为，所以，解得，所以，，因为不等式组恰有3个整数解，所以，故答案为：.17.如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点都在函数的图像上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为___________；点的坐标为___________.【答案】①.##0.5；②.【解析】【分析】连接，作轴，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出的等式，将其分解因式，从而得出的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得的坐标，进一步可求得结果.【详解】如图，作轴于，连接，设和交于I,设点，由对称性可得:，，（舍去），即在中，由勾股定理得因为直线的解析式为：所以直线的解析式为：当时，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图像性质，分解因式等知识，解决问题的关键是等式变形，进行分解因式.18.如图，面积为4的平行四边形中，，过点作边的垂线，垂足为点，点正好是的中点，点､点分别是.上的动点，的延长线交线段于点，若点是唯一使得线段的点，则线段长的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据点是唯一使得线段的点，可看成弦所对的圆周角，设外接圆的圆心为，由与之间的距离为1，，又，即可得出答案.【详解】解：平行四边形的面积为，，点是唯一使得线段的点，则可看成弦所对的圆周角，设外接圆的圆心为，则，，与之间的距离为1，，，又，.故答案为：.19.如图，平行四边形，点为对角线上的动点，，连接，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】在直线的上方作，且使得.过点作交的延长线于，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用平面几何知识求解即可.【详解】如图，在直线的上方作，且使得.过点作交的延长线于.四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，的最小值为.故答案为：.三､计算题：本大题共1小题，共12分.20.（1）计算：.（2）解不等式组：【答案】(1)2；（2）【解析】【分析】（1）分别进行算术平方根、零次幂、三角、绝对值运算，再由加减运算法则计算求值；（2）分别求解两个一次不等式的解集，再利用数轴求它们的公共部分即可.【详解】（1）原式；（2）由①得：，由②得：，则不等式组的解集为.四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.先化简，再求值：，其中.【答案】，【解析】【分析】对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入即可计算.【详解】原式，当时，原式.22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.【答案】（1）15件；（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据B班有5件作品，且对应的圆心角为求解；（2）结合（1）根据总件数和A，B，D班的件数求解；（3）利用古典概型的概率求解.【小问1详解】解：（件），即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；【小问2详解】C班级的作品数为：（件），把图2的条形统计图补充完整如下：【小问3详解】恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为.23.东西走向海岸线上有一个码头（图中线段），已知长为132米，小明在处测得海上一艘货船在的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点，在测得在处的北偏东方向（参考数据：（1）求的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从出发，沿着南偏东方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段上？请说明理由.【答案】（1）116米（2）该货船能行驶到码头所在的线段上，理由见解析【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，，，米，利用三角函数求出，得的长；（2）设货船行驶路线交线段所在的直线于点，构造直角三角形，利用三角函数求的长度，与比较即可.【小问1详解】过点作，垂足为，由题意得：，，在中，米，（米），（米），在中，（米），（米），的长约为116米；【小问2详解】该货船能行驶到码头所在的线段上，理由：过点作，垂足为，设货船从出发，沿着南偏东方向行驶，交线段所在直线于点，由题意得：，在中，米，，米，米，在中，米，米，米，米>米，该货船能行驶到码头所在的线段上.24.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且轴交反比例函数于点.（1）求的值；（2）如图1，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点.若，求的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）1（3）存在，或或或，理由如下【解析】【分析】（1）作轴于，证明，再根据直线经过点，即可求得，进而可求得点的坐标，即可求出点的坐标，进而可求得；（2）根据轴可求出点的坐标，再根据可求得点的坐标，再根据即可得解；（3）过点作轴于点，先求出，再分，和三种情况讨论即可得解.【小问1详解】作轴于，如图1：，，直线经过点，，解得，直线解析式为：，，，，点坐标为，将C点坐标代入，得；【小问2详解】轴，点的纵坐标为3，代入，得，点坐标为，将点横坐标代入，得，，点纵坐标为，代入，得，点坐标为，，，解方程得或（舍），；【小问3详解】存在，理由如下：如图2，过点作轴于点，由（2）知，直线的解析式为：，，，，，当时，如图2所示，设与交于点，由（2）知，轴，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得，，，直线的解析式为：；①若，则，不符合题意，舍去；②若，，即，解得，设，，解得，负值舍去，；当时，①若，如图4，，，即点在上，，，，，直线的解析式为：；②若，，即，解得，设，，解得，负值舍去，；当时，，直线的解析式为：；①若，则，不符合题意，舍去；②若，如图5，，即，解得，设，，解得，正值舍去，；综上，符合题意的点的坐标为：或或或.【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角形相似的判定和性质是解决本题的关键.25.在中，顺次连接.（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，则有何数量关系？（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若的周长为9，请求出的值？【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用切线定义，证明即可；（2）连接交于，通过勾股定理和对应边成比例，得的数量关系；（3）构造平行四边形，求利用三角形全等和平行线的性质求相应的边长，由计算面积.【小问1详解】如图1，连接，是的中点，，，，为的半径，为的切线；【小问2详解】如图2，连接交于，连结，是的中点，，，，，，，，是的中点，，，，，，，，，，，，，；【小问3详解】过点作，过点作，与交于点，连接，当时，为等边三角形，则，是等边三角形，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，过点作于点，交于点，连接，则，，，是等边三角形，，，即与在同一直线上，四边形是平行四边形，，，设，则，，，即，，，在中，，，，延长交于点，则，，，，，，，，，解得：（舍去），，，作于点，则，.26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费-月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围.【答案】（1）48000；37（2）33150（3）【解析】【分析】（1）直接根据条件列式计算即可；（2）分甲公司的利润大于乙公司和乙公司的利润大于甲公司两种情况分别计算，算出最大利润差；（3）根据利润差最大，利用二次函数的性质列不等式求解.【小问1详解】元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为辆，由题意可得：，解得：或（舍），当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；【小问2详解】设两公司的月利润分别为甲，乙，月利润差为，则甲，当甲公司的利润大于乙公司时，，当时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，，对称轴为直线，当时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；【小问3详解】捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为，对称轴为直线，只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，，解得：.27.在中，.若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点.（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，点为的中点，连接交于点.若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若为的中点，将绕点旋转得，连接，当最小时，求.【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】（1）过作，垂足是，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，过作于，构造全等三角形，设，利用中位线定理，解直角三角形，用的代数式表示和，即可得和的数量关系；（3）取的中点，连接，连接，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定的位置，继而求得相关三角形的面积．小问1详解】过作，垂足是，如图1：将绕点顺时针旋转得到，，，，，，在直角中有，，在直角中，，，【小问2详解】线段与线段的数量关系为：，证明：延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，过作于，如图：，由旋转可知，，四点共圆，，，，在和中，，，，，在等腰中，由三线合一可知是的中线，，，是的中点，是的中点，是的中点，是