《判断函数点的单调性》

《判断函数点的单调性》

授课年级高一主备人审核人

课题名称判断函数的单调性课型新课授课日期

《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第

2节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，

这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在初中已经学习了一次函数、二

次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认

学情分析

识，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的

延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步研

究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，对解决各种数学

问题有着广泛作用。

课程目标

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；

2、会根据单调定义证明函数单调性；

3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习目标数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值；

2.逻辑推理：证明函数单调性；

3.数学运算：运用单调性解决不等式；

4.数据分析：利用图像求单调区间和最值；

5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。

重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；

教学重点

2、利用函数单调性或图像求最值.

教学难点难点：根据定义证明函数单调性.

教具准备*

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练

（辅助工

教学工具：多媒体

具）

函数单调性的判断方法

1.定义法证明函数的单调性

利用函数单调性的定义证明函数的单调性，其步骤为：

（1）取值：设的,22是该区间内的任意两个值，且叫〈立2；

（2）作差变形：作差/（石）-/（々）或/（%2）-/&），并通过因式分解、配方、有理

化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

（3）定号：确定差/（石）-/（9）或/（々）一/（七）的符号，当符号不确定时，可以进

行分类讨论；

（4）下结论：根据定义得出结论.

2.小结论

2.口诀：

增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；

增函数一减函数=增函数；减函数一增函数=减函数.

【注意】

1.借助记忆方法：+++=+；—+—=一；

H-----=+；----F=—；

2.增函数+减函数单调性未知，所以++—=结果未知.

3.复合函数“同增异减”

若内外层函数单调性相同，则复合函数单调递增；若内外层函数单调性相反，则复

合函数单调递减.

内外层函

/（X）g(x)f(gM)

数单调性

增增相同增

增减相异减

减增相异减

减减相同增

【说明】

设一个由三层函数复合而成的复合函数/（g（/i（x）））,讨论单调性时，先讨论

g（/z（x））的单调性，再将g（/z（x））看成一个内层函数，讨论它与/＞（X）单调性的异同，进

而得出复合函数/'（gma）））的单调性.简而言之，就是从内层开始，一层一层向外讨

论.

注意：复合函数/(g(乃)的单调性是在复合函数的定义域。上讨论的，因此一定要注意

复合函数的定义域.复合函数的单调性的判定步骤如下：

【说明】

如下图，设g(©为单调递增的函数，则当时，有9(久1)<9(比2)，因为/(%)也

是单调递增函数，则有ti<12时，穴〃)</。2).

令t=g(x),故-=g=i),t2=g(X2),则有g(xj<g(%2)时，=9(%i))<

如下图，设g(x)为单调递减的函数，则当的<不时，有9(/)>9(型)，因为f。)是

单调递增函数，则有h<t2时，Ati)</(t2).

令t=g(x),故q=gOi)，t2=g{x2),则有gOD>g(%2)时，穴9(巧))<

所以次g(%))为单调递减函数.

抽象函数单调性的推断

求抽象函数的单调性通常由两种方法：

（1）“凑”：凑定义或凑已知，从而使用定义或已知得到结论.

（2）“赋值”：给变量赋值，要根据已知的条件与结论的关系，有时要进行多次赋

值.

若给出的是和型（小+?）=…）抽象函数，判定符号时的变形为

f（田2）~/（叼）=f［（x2-叼）+叫）］-/（叼）,

/（©）-/（叫）=〃力2）-1［01-*2）+矶

若给出的是积型g嗡=•••）抽象函数，判定符号时的变形为

/（力2）-/（21）=/（为•望）一/（^1）

/(22)-/(电)=/(①2)~f(X2--

没有给出具体解析式的函数我们称之为抽象函数.证明抽象函数的单调性常采用定

义法.

分段函数单调性的推断

分段函数在定义域上单调：

（1）应首先满足各分段区间单调递增（或减）；

（2）其次需要满足每个相邻区间分段处左边的函数值比右边的小（或大）.

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321函数的单调性与最大（小）值

1.函数的