复变函数与积分变换考试题库

三.（8分）r=e"siny为调和函数，求p的值，并求出解析函数/（z）=〃+2。

三（8分）解：1）在1<|z|<2

■尸（-先（步:£（夕）=工募+舁-4分

Z-/Z-I乙”=0乙Z〃=oZ〃=0乙Z

2）在l<|z-2|<oo

1111]81

f（z）=—（i+—--）=—!—（1+----------------：—）=—5—+y（-ir—r

z-2z-2+1z-2.2）（1।1）z-2„=0（z-2）"-

z-2

分

四.（8分）求/（z）=「]）]2）在圆环域1<|z|<2和1<卜—2|<+00内的洛朗展开式。

四.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴匕无奇点，在上半平面

有一个一级极点-2+i,故

ixiz

f—z-------dx=2mRes[---------2+i]-------3分

X+4x+5Z+4z+5

二2疝lim（z-（-2+z））-................=—（cos2-zsin2）-------6分

zT—2+i+4z+5e

故「，2cosx公=2Re「一里——dx=—cos2--------8分

x+4x+5人力尤+4x+5e

2cosx,

----dxo

Cx+4x+5

五.（8分）解:f'（z）=-»：7子/-一一3分

C（J-Z）

由于1+i在|z|=3所围的圆域内，故

r（l+i）=信:;1?款J=2疝（3/+71iy=2万（—6+13/）--8分

六.（8分）设〃力=’3,+74+1必,其中c为圆周|z|=3的正向，求

c

六.（8分）解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射，可以得到

n

p—az_0

f（）=il>———（映射不唯一，写出任何一个都算对）

ze一Z—

e“-2

七.（8分）求将带形区域｛z[O<Im（z）<©映射成单位圆的共形映射。

七.（8分）解:对方程两端做拉氏变换：

3

$2r（s）-sy（O）-/（O）+（sr（s）7（0））—37（5）=--

5+1

2+1

代入初始条件，得y（s）=..........4分

351

31

=+=24.+_8_+_8_

(s+l)(s+3)(s-1)(s+3)(s-l)5+15-1s+3

1.(5分)请依次写出z的代数、儿何、三角、指数表达式和z的3次

方根。

z=x+iy=re'3=r(cos0+zsin0)

,O+lkTT

l-----------

z=re3

z：r,Argz

2.(6分)请指出指数函数卬=/、对数函数卬=lnz、正切函数卬=12屋

的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

指数函数卬=/、对数函数卬=lnz、正切函数卬=tanz的解析域

分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界开区

域，；除去点z=左万+工，无界开区域。

2

3.(9分)讨论函数/(Z)=/+iy2的可导性，并求出函数“Z)在可导

点的导数。另外，函数〃z)在可导点解析吗？是或否请说明理由。

IEdu_dv_du_du_/皿

解：—=2%—=2y—=0—=0,可做

dxdydydy

所以％=y时函数可导，且广(Z)L=2X。

因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。

4.(6分)已知解析函数/(z)=〃+iv的实部〃=)，3一3/>,求函数

〃z)=“+iv的表达式,并使〃0)=0。

,/u=y3-3x2y

du(dvdu_o2dv

——=一6孙=——,——=3y2-3x=

dxdydydx

v=x3-3xy2+c

解：/(2)=y3-3x2y+i(x3-3xy2)+ic

v/(0)=0

c=0

/(z)=V-3打+5-3q2)

5.(6X2)计算积分:

其中C为以z。为圆心，「为半径的正向圆周，〃为正整数;

(2)f————dZo

乐3(Z-1)2(Z+2)

解(1)设C的方程为2=10+厂/加)，则

1•j

rdz=产ireo

严一]产%"

而i

=L—

=t.(cos16-isin〃，)d6

所以i—"17=[-^==加1(当〃=0时。

卜(Z-Z。严卜Z-Z。

[—―~7=0(当〃K0时)。

1("Zo严

(2)f———dz

%=3(z-1)2(Z+2)

fe?「e:

(z-(z+2)J*i=%(%-i)2(%+2)

e’

=f2-dz

晨吆(Z-If

ez

=瓦i・(——y+2TCi-

z+2z=l।

=-e7ti+-e-27ti=-(2e+e-2>i.

999

6.(5X2)分别在圆环(1)0<|z|<l,(2)0<|z-l|<l内将函数

/(z)=」丁展为罗朗级数。

z(l—z)2

1

解：(1)

(一)21

=£〃z"(IZ|<1),

M=0

00

1n-\

/(z)=-=Z〃MZ(|z|<1).

(一)2n=l

1»

n

⑵-—i—=y(-i)(z-ir(Iz-1|<D.

zl+z-l士

i

/(z)=£(T)"(Z-D"

22

z(l-z)U-l)«=0

=f(T)"(z—l)"-2(|z-l|<1).

”=0

7.(12)求下列各函数在其孤立奇点的留数。

(1)/(z)=^^；(2)〃z)=^—;(3)/(z)=ze±.

zzsinz

解：(1)••・z=0为/(z)的可去奇点,

Res[/(z),0]=0;

(2)z=0为〃z)的三阶极点,z=E(%=±L±2,…)为/(z)的一阶极

点,

口。“⑵，0】fW“J,

(7)1

口。"⑶，

R]=2zsm+z~s—(E)2’

(3)z=l为〃z)的本性奇点,

ze；T=(z-l+l)y-----~

七〃!(z-l)"

3

Res[/(z),l]=c_]=-o

8.(7)分式线性函数、指数函数、基函数的映照特点各是什么。

分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点，

指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点，

惠函数具有将带形域映照带形域的映照特点。

9.(6分)求将上半平面Im(z)AO保形映照成单位圆|w|Yl的分式

线性函数。

解：卬=J?三二(Im(z0)〉O)

Z—0

10.(5X2)(1)己知F[f(t)]=F((o),求函数f(255)的傅里叶变换;

(2)求函数F3)=-------------的傅里叶逆变换。

(3+i69)(5+i69)

]i-tw/

解(1)•••F[f\at+b)]=—e^F(-),

|a|a

18

F[/(2/-5)]=-e2F(y)；

(2),/F(co)-——-----------

3+i<y5+i(y

3+ia)5+1。

_e_3,-e_5f,r>0,

0,t<0;

_I

11.(5X2)(1)求函数")=6，”2)的拉普拉斯变换；

(2)求拉普拉斯逆变换Lt—一]«

s2+45+5

解(1)F(s)=e4L[e2(,~2)u(t-2)]=e4e_2sL[e2/«(/)]

e2(2-5)

5-2

/\1S-i「S+2-21-2trS-2r

(2)L'r-------=L1-----；—]=eL——

s2+4i+5(i+2)2+1s2+l

=""{L'[^-]-2L'[^-]}

5+15+1

-2f

=e(cosr-2sinz)o

12.(6分)解微积分方程：y'(t)+1jv(r)dr=1,y(0)=0,

解：•/$y(s)+-y(s)=-,y(s)=^—,y(r)=sint。

sss+1

三解答题（每题7分）

1）设f（z）=x2+axy+by2-i（cx2+dxy+y2）□问常数a也c,d为何值时（（z）

在复平面上处处解析？并求这时的导数。

解：=2x+ay,—=ax+2by,—=2cx+dy,—=dx+2y,(2分)则

dxdydxdy

du_dv

对任意的(x,y)有<:x出入即(2x+@=dx+2y(]分)可得:

du_dv[ax+2hy=-2cx-dy

dy~dx

a=d=2,b=c=—l(2分).这时

f'(z)=—+i—=2(x+y)-2i(x一y)或2z-2iz(2分)

OXox

2)求(-1«的所有三次方根。

A7J,2Z+12Z+1八]。///k\nTt1,.

解：(一1>=cos----兀+isin-----兀Ar=0,1,2(4分%w0=cos—+isin—=—+1

...15兀..57i1.V-

=cos7i+isin7i=-1,=cos—+isin——=--i—(3分)

23322

3.卜2dz其中。是z=0到z=3+4i的直线段。

解:原式=［卜2M+4叱争武史普（2分）或

-344分4丫'1分4

原式=1》2（1+字）3ch=。+不）3£=9（1+不）3（2分）

4.fe'coszdzo（积分曲线指正向）

g=2

解:原式=0.（7分）

5f也（积分曲线指正向）

,%=2Z（Z+1）（”3）

解:原式=2尢{Res",0]+Res",—1]}（3分）

11（2分）疝

=2兀皿沁---------4-lim----------]=-----（2分）

e（z+l）（z-3）Z"Z（Z-3）」6

6将〃z）=--一在l<|z|<2上展开成罗朗级数。

（z-l）（z-2）

11产-1

解：原式=—分）=一：2徐+工]（3+3分）

Z—2Z—1M=o2Z

7.求将单位圆内|z|<l保形映照到单位圆内|训<1且满足/（；）=0,

arg/'（；）=5的分式线性映照。

1

解：设卬=/（z）=e1"——看（4分），贝ljr（g）=e'"&ne=3（2分）,故

w^i—~^（2分）.

2-z

四解答题（1,2,3题各6分，4题9分）

1.求/"）=[,（人为正实数）的傅氏变换。

e-t>0

k,

解：尸（⑼=Cee-3df（2分）=^-库（*+必）工8=J.

Nk4-i6yk+i①

1.设f（t）=t2+te~'+e2'sin6t+6（t）,求/（f）的拉氏变换。

解：e+Sir正品+】（E分）

3）设F（s）=*y,求尸（s）的逆变换。

sG+1）

I1a分）

1I1

解：L[F（5）]=L[-^]-L[-r^-]=t-smt（2.5,2.5分）

4.应用拉氏变换求解微分方程

y"+2y'-3y=e~'

7（0）=0,y（o）=i

解:因为s2y（s）—sy（0）—y，（0）+2[sy（s）-y（0）]-2y（s）=—,（3分）所以

5+1

5+20分)311八、

y（s）=-—-(2分)

(5-1)(5+1)(5+3)8(5-1)4(5+1)8(5+3)

分)或⑺」」分)

y(O--e'--e--e3(2ychf+2sh(2

848888

二、（10分）

已知v(x,y)=-g/+gy2,求函数w(x,y)使函数/(z)="(x,y)+iv(x,y)为解

析函数,且式0）=0。

融••讥dlidvdu.

解：・—=­x=------—=y=—..u=xy+c（5分）

dxdydydx

"")='(一#1

+-y2\+xy+c

•r/(o)=oc=0(3分)

f(z)=xy-^(x2-y2)=-^(x2-y2+2xyi)=-^z2（2分）

三、(10分)应用留数的相关定理计算

dz

z6(z-l)(z-3)

21

解:原式二（2分）2力2Res，

z6(z-l)(z-3)ZiZi=0z2=1

A=1

(2分)=-2力2Re1

、z?=3=00

k=3z1z-l)(z-3)

1…分）忐

Res,3

?(z-l)(z-3)

(2分)Res।।\----------y,0=0

----------------------------------,00

?(z-l)(z-3)三(-1)(—3)z

Lzzz」

・••原式二(2分)2mX-----=-----

36X236

四、计算积分（5分义2）

*z(z-l)

C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。

Jyzf

2「]

1.解：原式=27ri£Res------,zk(3分)zi=OZ2=l

7^z(z-l)

2<-1+1]=0（2分）

2,解：原式=-^-cos"z|g=兀，（-cosz）|z=/--mcosi=-mch\

五、（10分）求函数"z）=—'在以下各圆环内的罗朗展式。

z(z-i)

1.0<|z-z|<l

2.1<|2-Z|<+oo

1.解：

/(z)(1分---:7=(1分-----7=(1分

oo"T6"

》(Z—i)"T=>(z-i)"(2分)

2.解：/（Z）（1分）=—^―~—=（1分）一^-y•—

(z-0i+(z-i)(z-0

=Z，"(z-i)'T(2分)

六、证明以下命题：（5分X2）

（1）演fT。）与构成一对傅氏变换对。

f+00

（2）[e-,m'dt=2TT8（CO）

J—00

1.解：J：//一%州"'0力=6-'[,—「幽（3分）.•.结论成立

(2)解:\-27r5((o>-iw,Jvv=e-iw,（2分）

2府(卬)与1构成傅氏对

f+OO.一

Z.[e-iadt=2^(«y)(2分)

J-00

x'+y+z'=\

七、(10分)应用拉氏变换求方程组<x+y'+z=O满足x(0)=y(0尸z(0)=0的解)0。

y+4z'=0

sX(s)+Y(s)+sZ(s)=](1)

解：X(s)+sY($)+Z(s)=O(2)(3分)

Y(s)+4sZ(s)=0(3)

S(2)-(1)：

（3分）

A-2-1s25-1S+1

Y（t）=\--e'--e^'=1-cht

22

1、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

解：①定义；②C-R充要条件"；③v为“的共扼函数10分

三、1.（其中C为正向圆周忆|=1）

2.4f—+—U（积分沿正向圆周进行）

3.（~^~dz（积分沿正向圆周进行）

4.求函数/（z）=-----------在无穷远点处的留数

（z+0'°U-2）

三、L解：原式=q^（sinz）"Lo4^=sinz|o=03分

2.解：原式=（2分）J—Z—+J—2—成（3分）=2亩+4兀，（1分）=6后

卜|=41+1

3.解：（2分）d—|e;6/z（3分）=l[/|+e：|].2亩（1分）=2疝/czl

加=221-1Z+1J2♦lz=-'

4.解:Res",8]=（2分）—Res

（1分）=0（2分）

四、求解题（每题6分）

1.求函数〃（X,y）=x2—y2的共扼调和函数v（x,y）和由它们构成的解析函数

于（z）,使/（o）=0o

2.求函数/（z）=—1~r在0<|z-1|<1内的罗朗展开式。

z（l-z）

五、解答题（每题6分）

1.求函数的傅氏变换F®）。

e'1t>0

2.求方程

y"+2y'—3y=e”满足初始条件y'L=1,这。=0的解。

四、解：•.•史=2x

（1分）

dx

“⑶卷+（3分）

二/（z）=/+cV/（0）=0（1分）「・f^z）-z（1分）

11*

2.解：一--=z（-i）nu-ir（4分）

Z1+Z—1〃=o

•••/（z）=£（-l）"（"l）i（2分）

n=0

五、解:

F®)=(2分)「'⑺e'力

J—00

(2分)=[+，e^'e-'Mdt=(2分)—

JoP+zco

2.解：YF[y"+2V—3)]=F[e1]

2

SY(s)-sv(o)-y'(o)+2[sy(s)-y(o)]-3/(s)=—1―(2分)

5+1

2

/.(S2+2S-3)y(S)=——

S+l

S+2

/.Y(S)=

(S-1)(5+1)(5+3)

s

，y(f)=ZRes[y(S)e',sk]

S+2“S+2„(S+2)e，'

(S+l)(S+3)e,/(S_l)(S+3)e+(S+1)(S-1)(2分)

=3­

(1分)

848

二、解答题(7分X6)

1.证明：/(z)=+3x2yz'-3xy2-/在整个复平面上解析，并求其导数f'(z).

2.已知/(z)的虚部为v(x,y)=—g/+gy2,求一解析函数

f(z)=u+ivM/(0)=0.

3.计算积分：f

*z(z-i)3

4.将函数〃z)=——在圆环l<|z-i|<°o内展为罗朗级

z'(z-i)

dz

5.计算积分:

MZ10(Z-1)(Z-2)2

6.求把上半平面乙(z)>0保形映照为上半平面/,“(3)>0的分式线性映照.

二、1.证：u-x}-3xy2v^3x2y-y3

du--25Mdudu口nn人出日、於任

——3x2—3y——，————6xy------且四个偏导连续

dxdydydx

；.f（z）在整个复平面上解析(4分)

：.f'(z)^3x2-3y2+i6xy^3z2（3分）

dvdu

2.解：；...M=xy+g(x)

dx力

dvdu

诙=》=正=盯+g'(x)

u=xy+c（3分）

V/(O)=M(O,O)+IV(O,O)=C=O（2分）

jr~1/

f(z)^(-—+-y2)i+xy=--z2（2分）

11

3.解：原式（2分）=f,-（Z-+

i-^-rdz

儿写Z

1Im1

(4分)=2m-2%-2%=0（1分）

荷尸为z

2]

原式（4分）=2m'，Res，z*Z1=0,z=

32

k=lz(z-i)

(3分)=—I—,—j=0

Ii2!i3J

1111R1

4.解：—z(-on

ZZ-Im=0n

i+z~iz~i।+(z-i)

8|

=y(-on------（3分）

11

(-i)2X(-O"(n+i)（3分）

2+2

zn=0(z-0"

1

原式=Z(—i)"("+l)7~—r(1分)1<|z-Z|<00

“=()(z-l)一

1

5.解：原式=2m.Res,0（1分）

z*z-l)(z-2)2

31

=-2疝ZRes

zRz-l)(z-2)2'Q(2分)

K=\

（1分）

（1分）

（1分）

的+b

设a,b,c,d实数w=------（3分）

cz+d

『/、1一、I\az+baz+b

/“,(Fz(…)=五dcz+d

121“(az+b)(cz+d)_&(欧+b)(cz+d)

2i|cz+d1-—~i|cz+d|2

ad—be,,、

五RC)（2分）

.•.所求的映射卬=生土2（2分）

cz+d

，ad-be>0,a,b,c,d实数

三、解答题：（7分X4）

1.已知某函数的傅氏变换为F（w）=»U（w+/）+5（卬+/）］求该函数。

|»T

3.求函数("1)2"的拉氏变换。

4.求微分方程y"+3y〃+3V+y=l,y(0)=了(0)=y"(0)=0的解。

三、1.解：/(f)=-L「"F3)e""d(y(2分)=，(*如+e-"')4分=850/

2万1/2

2.解：

3.解：原式=l[e(f-l)2e'“=ez\t2e']e-s(3分)

=e''sz[(-t)2e'](3分)=e~z"[e'](3分)

4.解：siF(s)+3s2F(s)+F(s)^-

s

/1111

F(S)=______________----------------------

5(?+3?+35+1)s(s+1)3s(s+l)3

11

=z"[尸(s)]=z[[*z[(s+l)3jl*

(3分)

《复变函数论》试题库

三.计算题（40分）:

1

〃z）=

(z-l)(z-2),求/⑵在Q={z:0<|z|<1}内的罗朗展式.

1.设

f」一次

以TCOSz

2.

2

设/⑶732+72+1

3.2-z，其中C={z：|z|=3},试求+»

4.求复数Z+1的实部与虚部.

四.证明题.（20分）

1.函数/（Z）在区域Z）内解析.证明：如果|/（［）|在。内为常数，那么它在。内

为常数.

2.试证：/（z）=M^在割去线段OWRezWl的z平面内能分H1两个单值解析分支,

并求出支割线0WRezw1上岸取正值的那支在z=-1的值.

三.计算题.

1.解因为0＜忖＜1,所以0＜旧＜1

/⑶二百-七专”隹中

2.解因为

7t

z+21

Res/(z)=lim----=lim-----=-l,

=-zf£cosz——sinz

z222

71

z-5i

Resf(z)-lim----=lim-----=1.

z=-工z^—coszz^---sinz

222

所以[—--dz=2乃i(Res/(z)+Res〃z)=0.

vl=2COSzr=_£7/

22

3.解令9(/l)=3/l2+7/l+l,则它在z平面解析，由柯西公式有在同＜3内,

/(z)==2不劭(z).

所以f'(l+i)=2m.”(z)L»=2OT(13+6/)=2^(-6+13z).

4.解令2=。+勿\贝1J

”122(al-bi)_2(a+l)2b

y\/—----I------]----+--------I-----------f-----------.

z+1z+1(a+1)2+b2(a+1)2+b2(a+1)2+b2

,,,z—1、,2(a+1)r,z—1、2b

故Rne(---)=1----———Im(----)=-----；——

z+1(a+l)-+/rz+1(a+1)-+b

四.证明题.

1.证明设在。内|/(z)|=C.

令/(z)="+in,WJ|/(Z)|2=«2+v2=c2.

uuxr+vv=0(1)

两边分别对x,y求偏导数，得\A:二

uuy+wv=0(2)

因为函数在。内解析，所以忆=&,4,=-匕.代入(2)则上述方程组变为

uu+叫=0

x22

消去人得,(w+v)vt=0.

vux-uvx=0

4)若/+/=o,贝ij/(Z)=0为常数.

5)若匕=0,由方程⑴(2)及C.-R.方程有肛=0,wv=0,vy=0.

所以“=C"V=C2.(G，Q为常数).

所以/(z)=q+ic2为常数.

2.证明/(z)=Jz(l—z)的支点为z=0」.于是割去线段OVRezAl的z平面内变点就

不可能单绕0或1转一周，故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到Z=o』时，只有z的幅角增加万.所以

/(z)=Jz(l—z)的幅角共增加弓.由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分

支在上岸之幅角为o,因而此分支在Z=-1的幅角为故==扬.

《复变函数》考试试题（二）

三计算题.（40分）

1.求函数sinqzD的基级数展开式.

2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数

在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右

沿的点Z=，•处的值.

3.计算积分：/=J|z|dz,积分路径为（1）单位圆（|z|二l）

的右半圆.

rsinz」

il=2万2Z

4,求5夕.

四.证明题.（20分）

1.设函数Az）在区域。内解析，试证：/（z）在。内为常数的充要条件是病在

D内解析.

2.试用儒歇定理证明代数基本定理.

三.计算题

(~l),,(2?)2,1+l<(])“22"+?6"+3

解sin(2/)=Z

n=0(2〃+1)!(2/7+1)!

2.解令z=re,e.

,O+2k7r

则/（z）=V7=/e2,（k=0,1）.

又因为在正实轴去正实值，所以上=0.

.£

所以/（z）=e^.

3.单位圆的右半圆周为z=e〃，

22

所以』,牌=£血，=6%=2匚

22

4.解

fsinzj

，z|=2（z兀）2d'=2加（411z）'

冗-2mcosz71

z=一Z=一

22=0,

四.证明题._

1.证明（必要性）令/（z）=C[+巩,则/（2）=C]-心.（qg为实常数）.

令u（x,y）=G,u（x,y）=-c2,则ux=vv=uy=匕=0.

即w,u满足C-R.,且肛,vv,uy,vx.连续，故汨在。内解析.

（充分性）令/（z）="+ir,则/（Z）=M-ZV,

因为“Z）与汨在。内解析，所以

MVM

.r=r"v=一匕，且=_与，y=-（-VA.）=-Vv.

比较等式两边得％=「="、,=叭=0.从而在。内〃#均为常数，故/（z）在。内为常数.

nni

2.即要证“任一n次方程aoz+alz-+-+an_iz+an=O（470）有且只有〃个

根

⑷+…+冏

证明令/（z）=a（）z"+6z"T+…+。”_佟+4“=0,取R〉max«,iy,当z

同

在C:|z|=R上时,有|p（z）区同R=+…+|*]R+同<（同+…+同冰"T<|4|R".

=|/（z）|.

n

由儒歇定理知在圆|z|<R内，方程a（）z"+%z"T+…+。”_佟+。“=0与aoz=0有相

同个数的根.而aoz"=0在|z|<R内有一个n重根z=0.因此〃次方程在|z|<R

内有〃个根.

《复变函数》考试试题（三）

三.计算题.（40分）

1.将函数/（z）=Z2ez在圆环域0<|z|<8内展为Laurent级数.

铛n!

2.试求幕级数y—zn的收敛半径.

公/

rezdz「I-

3.算下列积分：~----，其中C是z=1.

%2（/5一9）

4.求z。-2z‘+z~—8z—2=0在|z|<1内根的个数.

四.证明题.（20分）

1.函数/（Z）在区域。内解析.证明：如果I/（z）|在。内为常数，那么它

在。内为常数.

2.设/([)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,

使得当时

n

\f(z)\<M\z\,

证明/(Z)是一个至多〃次的多项式或一常数。

三.计算题.

11117-n+2

1.解z2e^2(l+-+—-+•..)=¥--.

zZ2!z2士n\

2.解lim|回|=lim—•("+D"：=lim(—)n=lim(l+-)"=e.

"T8|c〃+J“T8〃〃(〃+l)!〃->8fl“T8"

所以收敛半径为e.

ezez1

3.解令f(z)=——；--,贝iJRe5f(z)=-z——=一一.

z2(z2-9)"-2_99

Z=v

2成

故原式=2疝Re^,f(z)=---.

4.解令f{z)=z-2z+z2-2,(p(z)=-8z.

则在C:|z|=l上〃z)与夕(z)均解析，且［〃z)146VM(z)|=8,故由儒歇定理有

N(/+°,C)=N(/+@C)=1.即在忖<1内，方程只有一个根.

四.证明题.

1.证明证明设在。内|/(z)|=C.

令/(z)=〃+iv,则|F(Z)『="+1?=。2.

两边分别对x,y求偏导数，得\八)二

uuy+wv=0(2)

因为函数在。内解析，所以k={,%*=-匕・代入(2)则上述方程组变为

uu+vvr=0、,

、、八.消去人得，(M2+V2X=O.

vux-uvx=0

1)/+»=0,则y(z)=o为常数.

2)若匕=0,由方程(1)(2)及。.一/?.方程有人=0,W=0,Vv=0.

所以“=q,v=C2.(c”C2为常数).

所以f(z)=q+ic2为常数.

2.证明取r>R,则对一切正整数k>w时，|尸“)(0)卜碧隅卜dz区”匚

于是由r的任意性知对一切女>〃均有/⑹(0)=0.

故/(z)=£c“z,,即/(z)是一个至多〃次多项式或常数・

k=0

《复变函数》考试试题(四)

三.计算题.(40分)

1.解方程F+IMO