湖南省邵阳市苏河中学高三数学理测试题含解析

湖南省邵阳市苏河中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（A）[-3，-1]

（B）[-1，3]（C）[-3，1]

（D）（-，-3]U[，+）参考答案：C【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系，求解参数的值。圆的圆心到直线的距离为，则。2.函数的图象的大致形状是参考答案：D略3.设a=log3π，b=log2，c=log3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=log2=，c=log3=，=1，∴，∴c＜b＜1．又a=log3π＞1，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查对数函数的单调性，属于基础题．4.函数的图象为()参考答案：B5.下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，a?α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由线面垂直的几何特征，讨论a?α，但a与l不垂直时，a与β的位置关系，可得A的真假；根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，可得B的真假；根据面面垂直的性质可得C的真假，根据面面垂直的性质定理，可得D的真假，进而得到答案．【解答】解：若α⊥β，α∩β=l，当a?α，但a与l不垂直时，a与β不垂直，故A错误；若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又由m?α，则α⊥β，故B正确；若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故C正确；若α⊥β，α∩β=AB，a⊥AB，由面面垂直的性质定理可得a⊥β故选A6.已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故选：C．7.已知O为坐标原点，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则的值是（

）A．

B．－

C．3

D．－3参考答案：B抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以

8.已知集合，则A∩B的元素有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B9.已知，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知，，则A∪B=（

）A.(－1,0) B.(0,1) C.(－1,+∞) D.(－∞,1)参考答案：D【分析】利用并集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为

参考答案：12.设是函数，的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为

．参考答案：略13.已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.参考答案：2

略14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于

.参考答案：3略15.已知数列{an}满足：（n≥2），记Sn为{an}的前n项和，则S40=．参考答案：440【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16.函数f（x）=ax2﹣x﹣1仅有一个零点，则实数a的取值范围．参考答案：略17.如图4，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为

．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）（文）已知全集U=R，非空集合，.（1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：

：（1），当时，--------2分，所以-------------4分（2）若q是p的必要条件，即可知

------------------6分由，，----------------------8分所以，解得或

-----------------------12分19.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．参考答案：【知识点】导数最值的应用；利用导数研究函数的单调性．B12B3【答案解析】（Ⅰ）单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．（Ⅱ）lna＜－2b．解析：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝．……………2分∵a＝1，b＝－1，∴（x＞0）．………………3分令f′(x)＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；………………4分当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．…6分（Ⅱ）由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a．………………8分令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），则g′(x)＝．令g′(x)＝0，得x＝．

………………10分当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．………………12分∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0．∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，故lna＜－2b．……………………14分【思路点拨】（Ⅰ）a=1，b=-1时，得f（x）=x2-x-lnx，从而f′(x)＝，进而f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）由题意当a＞0时，x＝1是f(x)的极值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与-2b的大小构造函数g（x）=2-4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小20.（12分）

已知

（I）求a1、a2、a3；

（II）求数列的通项公式；

（III）求证：参考答案：解析：（I）由已知，得

…………3分

（II），

…………①，

…………②①—②，得

…………7分

（III），

③

④③—④，得

…………9分

…………12分21.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为[0，10],分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)

求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？(2)

用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)

从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.参考答案：【知识点】统计与概率.

I1

I2

K2【答案解析】(1)轻度拥堵的路段有6个，中度拥堵的路段有9个，严重拥堵的路段有3个；（2）2,3,1；（3）.解析：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）个，中度拥堵的路段有个，严重拥堵的路段有个.----------4分（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2,3,1.-------8分（3）记选出的2个轻度拥堵路段为,选出的3个中度拥堵路段为,选出的1个严重拥堵路段为,则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：,，共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：，共9种.所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是.

----------12分【思路点拨】（1）根据频数=频率交通路段总数，得各种路段得个数.(2)根据算式，得三个级别路段被抽取的个数 .（3）写出从6个路段