离散时间信号的傅里叶变换

第五章离散时间傅立叶变换本章内容：离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换；对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的频域分析；通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通过系统传输的不失真条件。1可编辑ppt5.1非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换一、从DFS到DTFT让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40时，其频谱的变化情况如下图所示。2可编辑ppt在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。当时,有,而从时域看,当周期信号的周期时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱.（如动画5-1所示）对周期信号由DFS有3可编辑ppt当时，，令有————DTFT显然，对是以为周期的。参看动画5-24可编辑ppt将其与表达式比较有：于是：当时，，，，

。5可编辑ppt当k在一个周期范围内变化时，在范围内变化，所以积分区间是。表明:离散时间序列可以分解为频率在区间上连续分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：6可编辑ppt二.常用信号的离散时间傅立叶变换1.,通常是复函数。的模和相位：信号的幅频特性如下：7可编辑ppt由图可以得到:时,信号表现为低通特性,为单调指数衰减;时,信号表现为高通特性,为摆动指数衰减。8可编辑ppt2、9可编辑pptDTFT的收敛问题三、当序列是无限长序列时,由于

表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题.

，则

存在，且级数一致收敛于

。

，则级数以均方误差最小准则收敛于

。10可编辑ppt5.2周期信号的DTFT对连续时间信号,有

由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:

对其作反变换有:11可编辑ppt可见：

由DFS，有

，

因此,周期信号

可表示为DTFT12可编辑ppt从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的.例：

不一定是周期的,当

时，

才是周期的.

的频谱如图所示：13可编辑ppt14可编辑ppt5.3离散时间傅立叶变换的性质通过对DTFT性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。一.周期性:若

，则

。二.线性15可编辑ppt三.时移与频移若

，

则：四.时间反转若

，则

。五.共轭对称性若

，则

。16可编辑ppt六.时域差分与求和例：

，

∴

17可编辑ppt七.时域内插定义：

∴

18可编辑ppt信号时频域的约束关系可参见动画619可编辑ppt八.频域微分20可编辑ppt九.Parseval定理:对非周期离散时间信号：

称为

的能量谱密度函数。对周期离散时间信号：称为周期信号的功率谱。21可编辑ppt5.4卷积特性若

，则

。即是系统的频率特性。说明:该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。例:求和特性的证明22可编辑ppt5.5相乘性质如果:

则:23可编辑ppt由于

和

都是以

为周期的，因此上述卷积称为周期卷积。例：y(n)=x(n)·c(n)，其中

24可编辑ppt调制信号的过程可见动画725可编辑ppt5.7对偶性

一.DFS的对偶性，

由于

本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS形式

即：

或

这表明

序列的DFS系数就是

26可编辑ppt即：利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得到相应的性质.例1:从时移到频移，

利用时移性质有:27可编辑ppt由对偶性有:∴

∵

∴

即是频移特性。28可编辑ppt二.DTFT与CFS间的对偶由

知

是一个以

为周期的连续函数。若在时域构造一个以

为周期的连续时间信号

则可将其表示为CFS:，

比较

和

的表达式可以看出

，这表明：29可编辑ppt若

则

利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或者反之。

例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分————CFS的时域微分特性∵若

，则

∴

————DTFT的频域微分特性30可编辑ppt例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性由CFS的卷积特性：由对偶性：31可编辑ppt如图所示对偶关系示意图可参看动画5-85-932可编辑ppt例：求

的

。∵

，

∴

33可编辑ppt5.8由LCCDE表征的系统

工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程LCCDE来表征:一.系统的频域响应对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。

方法一:

可以从求解

时的差分方程得到

,而将

变换而求得

。方法二:

可以通过求出

时方程的解而得到

因为

是LTI系统的特征函数,此时的。34可编辑ppt方法三:

对方程两边进行DTFT变换,可得到:通过反变换求得

。35可编辑ppt例：36可编辑ppt本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT总是以2π为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析的方法.