湖南省永州市逍遥岩中学高一数学理测试题含解析

湖南省永州市逍遥岩中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在边长为1的正方形ABCD中，等于（

）A.1 B. C. D.2参考答案：A【分析】利用向量內积的计算公式得到答案.【详解】答案为A【点睛】本题考查了向量乘积公式，属于简单题.2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且，则（）A.8 B.2 C.4 D.1参考答案：D【分析】根据条件解得首项，再求【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题3.（5分）已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（） A． B． C． D． 参考答案：C考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 由lga+lgb=0，则得到lgab=0，即ab=1，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．解答： 解；解：∵lga+lgb=0，∴lgab=0，即ab=1，b=∵函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx∴函数f（x）=ax与函数g（x）=logax，a＞1，f（x）与g（x）都是单调递增，0＜a＜1，f（x）与g（x）都是单调递减，∴f（x）与g（x）单调相同，故选：C点评： 本题主要考查指数函数和对数函数的图象的判断，利用对数的运算法则确定ab=1是解决本题的关键，根据函数单调性的对应关系解决本题即可．4.已知角的终边上一点，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.（5分）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A． （4）（1）（2） B． （4）（2）（3） C． （4）（1）（3） D． （1）（2）（4）参考答案：A考点： 函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．解答： 解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；（3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）．故答案为：（4）（1）（2），故选：A．点评： 本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．6.在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，则△ABC的面积是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点

（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A略8.已知函数在（5，10）上有单调性，则实数的取值范围是（

）A.（，20]

B.（

C.[20,40]

D.参考答案：B略9.函数f（x）=loga2x（a＞0，且a≠1）的图象与函数g（x）=log22x的图象关于x轴对称，则a=（）A． B． C．2 D．4参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用两个函数的图象关于x轴对称，得到关系式f（x）=﹣g（x）．【解答】解：因为数f（x）=loga2x（a＞0，且a≠1）的图象与函数g（x）=log22x的图象关于x轴对称，所以f（x）=﹣g（x）．即loga2x=﹣log22x=log2x，所以a=．故选B．【点评】本题主要考查函数图象的关系以及对数的运算性质．10.已知函数f（x）=7+ax﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8） B．（1，7） C．（0，8） D．（8，0）参考答案：A【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．【解答】解：由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=7+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移7个单位．则（0，1）点平移后得到（1，8）点．点P的坐标是（1，8）．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小值为

参考答案：112.已知曲线在处的切线互相垂直，则

。参考答案：13.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中

▲

．参考答案：略14.已知函数图象的对称中心与函数图象的对称中心完全相同，且当时，函数取得最大值，则函数的解析式是

.参考答案：15.已知4a=2，lgx=a，则x=

．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．16.当时，函数的最小值为____________________参考答案：5【分析】利用基本不等式即可求得答案．【详解】y=x+=x+-1+1≥2+1=5，当且仅当x=3时取等号，故函数y=x+的最小值为5．故答案为：5.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为＿＿＿（平方单位）.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，（1）若;(2)若,求实数的取值范围．参考答案：19.一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时

间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见

下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯

(2)黄灯

(3)

不是红灯参考答案：解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，（1）出现红灯的概率（2）出现黄灯的概率（3）不是红灯的概率略20.已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，a∈R．（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数；（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最大值是关于a的函数M（a），求M（a）．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为，结合二次函数的性质可得或，从而解得．（2）由二次函数的性质知，讨论0，2与对称轴的距离，从而确定最大值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为，∵f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数，∴或，∴a≤﹣6或a≥2．（2）当，即a≥﹣2时，由二次函数的性质可得，M（a）=f（2）=7+a，当﹣＞1，即a＜﹣2时，M（a）=f（0）=3﹣a，故M（a）=．【点评】本题考查了二次函数的图象及性质应用，同时考查了分类讨论的思想应用．21.两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去.试求这两人能会面的概率？参考答案：.解：以X、Y分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：

则0≤X≤60，0≤Y≤60。两人能会面的充要条件是|X-Y|≤20∴P=

-----------------10分

略22.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A1AB∥平面CDD1C1．证得A1B∥平面CDD1C1．（2）设A1A=h，已知几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，进行求解．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D1C，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴A1D1∥BC且A1D1=BC．∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C．∵A1B?平面CDD1C1，D1C?平面CDD1C1，∴A1B∥平面CDD1C1．证法二：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴平面A1AB∥平面CDD1C1．∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1．∴A1B∥平面CDD1C1．解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即SABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为