湖南省怀化市李树中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省怀化市李树中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=Z，集合A={0，1}，B={-1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为

(A){-l，2}

(B){1，0}

(C){0，1}

(D){1，2}参考答案：2.设是第二象限的角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=，则tan=A.

B.

C.

D.参考答案：A3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.【详解】连接交于点，取中点，连接

设三棱柱为直三棱柱

四边形为矩形为中点

且又，

异面直线和所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.4..定义：的运算原理如图所示，设，则在区间上的最小值为

▲

．

参考答案：－6略5.已知实数满足条件,则的最小值为A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A由；由；由；由约束条件做出(x，y)的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点O的连线的斜率，观察图形可知OA的斜率最小，所以()min=1.故选A.

6.函数（）的反函数是（

）

（A）（）

（B）（）（C）（）

（D）（)参考答案：A7.由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（

）A.

B.4

C.

D.6参考答案：C8.已知:命题：“是的充分必要条件”；

命题：“”．则下列命题正确的是（）

A．命题“∧”是真命题

B．命题“（┐）∧”是真命题

C．命题“∧（┐）”是真命题

D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B9.已知集合.且,的最小值为A. B.C.3 D.5参考答案：B【知识点】线性规划的应用.

E5

解析：画出集合A表示的可行域，由图可知，圆心（2,2）到可行域的顶点（1,0）的距离为R的最小值，故选B.【思路点拨】利用图形分析R取得最小值的条件.10.设为等比数列的前项和，已知：，，则公比=（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x与日销售量y之间的一组数据满足：，，，

，则当销售单价x定为（取整数）

元时，日利润最大．参考答案：712.已知kCnk=nCn﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：Cnk，将n+1赋给n，就得到kCn+1k=（n+1）Cnk﹣1，…，进一步能得到：1Cn1+2Cn2?21+…+nCnn?2n﹣1=nCn﹣10+nCn﹣11?21+nCn﹣12?22+…+nCn﹣1n﹣1?2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：Cn0×+Cn1×（）2+Cn2×（）3+…+Cnn×（）n+1=

．参考答案：【考点】组合及组合数公式；类比推理．【分析】由，可得，即，再利用二项式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案为：．13.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月

份1234用水量4.5432.5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是__________________________．参考答案：略14.设函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]

【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的解析式、一元二次函数的单调性、函数单调性的性质，列出不等式组，求出实数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．15.设实数x，y满足则的取值范围是．参考答案：略16.已知，若函数的最小值为1，则_______．参考答案：略17.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F1，F2关于l的对称点恰好为圆C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F1A，F1B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆心与半径，由c=2，根据离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）求得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算?＜0，代入即可求得求得．【解答】解：（1）将圆C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，则圆心C（2m，m），半径为2，由椭圆的焦距为2c=d=4，c=2，由e==，则a=3，b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为；（2）由F1，F2关于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，故l方程为y=﹣2x+，，整理得2y2+2py﹣5pm=0，则△=（2p）2+4×2×5p＞0，则p+10m＞0，设A（x1，y1），B（x1，y1），则y1+y2=﹣p，y1y1=﹣，由F1的坐标为（﹣2，0），则=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），由与同向，与同向，则点F1在以线段MN为直径的圆内，则?＜0，则?＜0，则（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，则+10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，当且仅当△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，总存在m使得②成立，当p＞5时，由韦达定理可知+10（2﹣p）m+4（p+4）=0的两个根为正数，故使②成立的m＞0，从而满足①，故存在整数集D=（5，+∞），当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在线段MN为直径的圆内．19.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，M是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥面AB1M；（Ⅱ）在棱CC1上找一点N，使MN⊥AB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角M－AB1－N的大小．参考答案：（Ⅰ）证明：连结A1B，交AB1于P，则PM//A1C，又PMì面AB1M，A1C?面AB1M，∴A1C∥面AB1·····································································································4分（Ⅱ）解：取B1C1中点H，连接MH，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，、、两两垂直，故分别以、、为x、y、z轴，建立如图空间坐标系．设()，则，，，，∴，．由，有，解得，故在棱CC1上的点N满足，使MN⊥AB1．···························································································································8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），，，则，，又，则面AB1M一个法向量．设面AB1N的一个法向量，，，由即取，······························10分则，故二面角M－AB1－N的大小为．····················································12分略20.(本大题满分12分)

某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90,120)，[120，l50)，[150，180),[180，210)，[210,240)，得到频率分布直方图如右图．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．

(1)求n的值并求有效学习时间在[90，120)内的频率；(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，下列2×2列联表．问：是否有95％的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?

利用时间充分利用时间不充分合计走读生50a

住宿生b15

合计

40n(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为x，求x的分布列及期望．参考公式：K2=参考列表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024参考答案：(1)解：设第i组的频率为Pi(i=1，2，…，8)

由由频率分布直方图知：

∴有效学习时间少于60分钟的频率为，故，∴n=100

2分

又

∴

∴有效学习时间在[90，120)内的频率为．

4分(2)解：抽取的100人中，走读生有人，住读生25人，∴a=25，b=10

6分

由于K2>3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．

8分(3)解：由(1)知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人

∴

10分

∴X的分布列为

12分21.如图：椭圆顶点为,左右焦点分别为，，（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点，试探究在x轴上是否存在定点Q，使得为定值？若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由？参考答案：（1）；（2）在x轴上存在定点，使得为定值【分析】（1）根据，和可构造出关于的方程组，求解可得标准方程；（2）当直线斜率不为时，设，，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出，代入韦达定理的结果可整理出，根据可求得和的值；当直线斜率为时，可知所求的依然满足是上面所求的值，从而可得结果.【详解】（1）由知：……①由知：，即……②又……③由①②③得：，所求方程为：（2）①当直线的斜率不为时设，，，直线的方程为由得：

由，得：，故此时点，②当直线的斜率为时，综上所述：在轴上存在定点，使得为定值【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定点定值问题.解决定点定值问题的关键是建立起关于变量的等量关系式，通过化简、消元消去变量，从而得到定值；通常采用先求一般再求特殊的方式，对于直线斜率为零或不存在的情况，通常最后验证一般情况下得到的结论适合特殊情况即可.22.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品中质量指标值落在区间内的产品件数；（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间内的件数为，求随机变量的概率分布列.参考答案：（1）275；（2）见解析【知识点】频率分布直方图I2解析：（1）产品质量指标值落在区间内的频率为（0.022+0