高中数学人教A版必修2一课三测：4.1.2-圆的一般方程-

PAGE4．1.2圆的一般方程填一填1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如表：位置关系代数关系点M在圆外xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0判一判1.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(√)2．圆的一般方程和标准方程可以互化．(√)3．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(×)4．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)5．方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示一个圆．(×)6．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).(√)7．若D2＋E2－4F<0，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任意图形．(√)8．若直线l将圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0平分，则l必过圆心(4，－1)．(√)想一想1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？提示：x2＋y2＋F＝02．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．思考感悟：练一练1.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3答案：B2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(4，－6)，r＝16B．(2，－3)，r＝4C．(－2,3)，r＝4D．(2，－3)，r＝16答案：C3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))答案：A4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0.5．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．答案：eq\f(11,4)知识点一二元二次方程与圆的关系1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．解析：(1)D＝1，E＝0，F＝1，D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D＝2a，E＝0，F＝a2，D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)．2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋yt＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x2，y2的系数不相同．(2)不能表示圆，因为方程中含有xy项.知识点二求圆的方程3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是()A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.答案：B4．已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,9＋1＋3D－E＋F＝0，,－\f(D,2)＝－\f(E,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝1，,F＝－12.))所以所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．答案：D6.如图，经过圆x2＋y2＝4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q.求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝2y.))又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4.所以x2＋4y2＝4即为所求轨迹方程.综合知识圆的一般方程7.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．解析：方法一设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.方法二设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋2－b2＝r2，,5－a2＋3－b2＝r2，,3－a2＋－1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，,r2＝5.))故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.8．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.当点P在直线OM上时，有x＝－eq\f(9,5)，y＝eq\f(12,5)或x＝－eq\f(21,5)，y＝eq\f(28,5).因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).基础达标一、选择题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))和4B．(3,2)和4C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))和eq\f(\r(19),2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))和eq\r(19)解析：由一般方程的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，易知圆心的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))，半径为eq\f(\r(19),2).答案：C2．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O在()A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0－a)2＋(0－1)2＝a2＋1>2a，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x2＋y2＝0D．x2－y2＝0解析：圆心M的坐标(x，y)应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0.答案：D4．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为()A．(0,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(1,2)解析：由题意圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1))在直线x＋y－1＝0上，从而有－eq\f(a,2)＋1－1＝0，所以a＝0，所以圆C的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为()A．－4B．－2C．2D．4解析：由题知直线l1，l2过已知圆的圆心，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋4＝0，,－\f(D,2)＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝－2，))所以D＋E＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以eq\f(|3m＋4×0＋4|,\r(32＋42))＝2，整理，得|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选A.答案：A二、填空题8．圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)化为(x＋a)2＋y2＝a2其圆心为(－a,0)，半径为|a|.答案：(－a,0)|a|9．已知圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线ax－y＋1＝0的距离为1，则a＝________.解析：圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心C(1,4)，因为圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线ax－y＋1＝0的距离为1，所以d＝eq\f(|a－4＋1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)10．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析：圆x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x2－2x＋1)＋(y2＋2y＋1)＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可，kAB＝eq\f(2－0,0－－2)＝1，直线AB：y－2＝x，所以线段AB：y＝x＋2(－2≤x≤0)，圆心(1，－1)到其距离d＝eq\f(|1＋2－－1|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，所以圆上某点到线段AB的距离最小值为2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，因为|AB|＝eq\r(－2－02＋0－22)＝2eq\r(2)，所以S△ABCmin＝eq\f(1,2)|AB|×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2.答案：211．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.答案：512．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为________解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4m＋2,2)＝2m＋1，,y＝\f(2m,2)＝m，))整理得x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x2＋y2－x＋eq\f(1,4)＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.解析：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)后，D2＋E2－4F是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一(1)将原方程转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝0，表示一个点，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).(2)将原方程转化为(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，表示圆，圆心为(－a,0)，半径r＝|a|.(3)将原方程转化为x2＋(y＋a)2＝1＋a2，表示圆，圆心为(0，－a)，半径r＝eq\r(1＋a2).方法二(1)因为D2＋E2－4F＝(－1)2＋02－4×eq\f(1,4)＝0，所以表示一个点，其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).(2)因为D2＋E2－4F＝4a2＋0－0＝4a2>0(a≠0)，所以表示圆．又因为－eq\f(D,2)＝－a，－eq\f(E,2)＝0，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)·eq\r(4a2)＝|a|，所以圆心为(－a,0)，半径r＝|a|.(3)因为D2＋E2－4F＝02＋(2a)2＋4＝4(1＋a)2>0，所以表示圆．又因为－eq\f(D,2)＝0，－eq\f(E,2)＝－a，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\r(1＋a2)，所以圆心为(0，－a)，半径r＝eq\r(1＋a2).14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋5E＋F＝0，,16－4D＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－\f(9,5)，,F＝－16.))所以圆的方程为x2＋y2－eq\f(9,5)y－16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x2＋y2＋eq\f(9,5)y－16＝0.综上，它的外接圆的方程为x2＋y2－eq\f(9,5)y－16＝0或x2＋y2＋eq\f(9,5)y－16＝0.能力提升15.已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．解析：(1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；当a≠－1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,1＋a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4a,1＋a)))2＝eq\f(4＋16a2,1＋a2)表示圆．(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋8y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5).))故C过定点A(0,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(8,5))).(3)因为圆