高中数学知识点精讲精析-最大值-最小值问题

2.2最大值，最小值问题要点精讲1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值典型例题1．求函数在上的最大值和最小值。【解析】令，得，由于所以，在在上的最大值是，最小值是。2．已知某商品的需求函数为，从成本函数为。若工厂有权自定价格，每天生产多少个单位的产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？【解析】总收入利润由于令得。由于，所以为极大值点，也是最大值点。即每日生产个单位的产品时，利润最大，此时价格为：个价格单位。3．在边长为60cm【解析】解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？【解析】设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，从而h====2即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．5．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．【解析】收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大6．（Ⅰ）设函数，求的最小值；（Ⅱ）设正数满足，证明 。【解析】（Ⅰ）解：对函数求导数：于是，当时，，在区间是减函数，当时，，在区间是增函数，所以时取得最小值，，（II）用数学归纳法证明。(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立(ⅱ)假设当n=k时命题成立即若正数满足，则当n=k+1时，若正数满足，令，，……，则为正数，且，由归纳假定