高等数学：微分在近似计算中的运用

一、计算函数增量的近似值若y=/*⑴在点必处的导数f'（兀°）工0,且|Ar|很小时，4y|x=Xo»dy\x=XQ=/r（x0）-Ax・例1半径10厘米的金属圆片加热后半径伸长了0・05厘米问面积增大了多少?解设4=时訂r=10厘米，Ar=0.05厘米.•••AA=27cr•Ar=27rxl0x0・05=兀（厘米？）•

J二、计算函数的近似值T1•求/*(")在点兀=兀0附近的近似值；士Ay=/(x0+Ar)-/(x0) ・/(x0+Ar)»/(x0)+广(a：0)・Ax・(|Ax很小时)计算cos60°30'的近似值.设/*(%)=COSX,/./r(x)=-sinx,(x为弧度)X干例1干解X干例1干解王•••碍弓,广（护-亨7t7tn.•.cos60»30-cos(^^)«cos^-sin^36•••碍弓,广（护-亨7t7tn=--^1•工»0.4924.2 23602•求f(兀)在点x=0附近的近似值；令兀°=0,Ax=兀・/(x0+Ar)«/(x0)+广(兀°)・Ar,.\/(x)«/(0)+/\0)-x・

常用近似公式31很小时）(1)a/1+x«l+-x; (2)sinx»x(兀为弧度)；n(3)tanx«x(兀为弧度)；(4)盯«l+x;(5)ln(l+x)«x・ 1--1证明⑴设/(兀)=也寸，广(兀)=—(1+兀)"，1/(0)=l,/\0)=-・nA/(X)«/(O)+/W=1+-・

干例2计算下列各数的近似值干 ⑴炳菇；⑵严.X解⑴^/9985=V1000-1.51000(1-1000(1-竺)=10^1-0.001510001«10(l--x0.0015)=9.995・X(2)e-003(2)e-003®1-0.03=0.97.王

三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：如果某个量的精度值为它的近似值为a,那末|A-⑷叫做a的绝对误差.而绝对误差牛的比值I叫做Q的相对误差问题:在实际工作中，绝对误差与相对误差无法求得?

而绝对误差牛的比值办法:将误差确定在某一个范围内•如果某个量的精度值是4,测得它的近似值是I,又知道它的误差不超过5“即|A-a|<5A,那末■叫做测量4的绝对误差而》叫做测量A的相对误差限通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差专相对误会.

例3正方形边长为2・41±0・005米，求出它的面稅并估计绝对误差与相对误差.解设正方形边长为兀,面积为y,则y=当工=2.41时,j=(2.41)2=5.8081(加彳).x=2.41=x=2.41=4・82.v边长的绝对误差为8X=0.005,・•・面积的绝对误差为Sy=4.82x0.005=0.0241(m2).5.8081皿％・・•・面积的相对误差为J002415.8081皿％・近似计算的基本公式当|Ar|很小时，Av|x=xo«^|x=Xo=广(心)・心・/(x)«/(x0)+/r(x0)•(x-x0),当兀=0时，/•(兀)Q/(0)+广(0)•兀・

练习题一、填空题：练习题1、 利用公式/（x）«/（x0）+/\x0）（x-X。）计算f（兀）时，要求 很小.2、 当兀"时，由公式可近似计算ln（l-x）« ；tanxa ,由此得tan45°a ；In1.002q li二、 利用微分计算当兀由45。变到45。10'时，函数J=COSX的增量的近似值（1°=£.017453弧度）.li三、 已知单摆的振动周期T=2it 其中g=980厘\；g米/秒2,Z为摆长（单位为厘米），设原摆长为20厘米，为使周孵增大0.05秒，摆长约需加长多少？

3、3、V996.1、tan136°•2、arcsin0.5002；五、 设4>0,且\B\«Anf证明VAn+B«A+-4r，并计算烦而的近似值.mA1六、 已知测量球的直径）有1%的相对误差，问用公式V=^D3计算球的体积时，相对误差有多大？6I=.l=.七、 某厂生产（教材2-18图）所