高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》全集汇编附答案解析

【高中数学】高考数学《矩阵与变换》解析一、151．已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．【答案】x2＋y2＝2【解析】试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x＝y′，y＝，再代入已知曲线C方程，得x2＋y2＝2．试题解析：解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．则，即x＋2y＝x′，x＝y′，所以x＝y′，y＝．代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2．考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程2．已知直线：，：，分别求实数满足什么条件时，直线与相交？平行？重合？【答案】当且时，相交；当时，平行；当时，重合【解析】【分析】计算出，，讨论是否为0得到答案.【详解】，（1）当且时，，方程组有唯一解，与相交（2）当时，，与平行（3）当时，，与重合【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.3．用行列式解关于的二元一次方程组：.【答案】时,方程组无解;时,【解析】【分析】由题方程组中,的系数及常数项求出,然后再讨论的值进行求解方程组的解.【详解】由题意可得:=,,,∴当即时,方程组有唯一解即,;当即时,方程组无解.综上所述:时,方程组有唯一解;时,方程组无解.【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.4．设点在矩阵对应变换作用下得到点．（1）求矩阵；（2）若直线在矩阵对应变换作用下得到直线，求直线的方程．【答案】（1）；（2）3x-4y-10=0.【解析】【分析】（1）设出矩阵，利用矩阵变换得到关于、的方程组，利用等式恒成立求出矩阵；（2）设点在直线上，利用矩阵变换得到点，代入直线中，求得直线的方程．【详解】解：（1）设，由题意，，所以，且恒成立；所以，，，；所以矩阵；（2）设点在直线上，在矩阵对应变换作用下得到点在直线上，则，，所以，；代入直线中，可得；所以直线的方程为．【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知的顶点坐标分别为、、，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求的面积.【答案】【解析】【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线的方程、点到直线的距离及，利用计算即可.【详解】解法一：行列式求解，；解法二：平面解析几何知识求解，直线的方程为：，即：，点到直线的距离，，所以.【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.6．已知是关于的方程组的解.（1）求证：；（2）设分别为三边长，试判断的形状，并说明理由；（3）设为不全相等的实数，试判断是“”的条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析【解析】【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出0，即0，将行列式展开化简即可得出a＝b＝c；（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：（a+b+c）•．（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，∴0，由（1）可知（a+b+c）•0．∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，∴0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴（a+b+c）•0．∴a+b+c＝0或0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．7．用行列式法解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析【解析】【分析】写出，讨论，，时的三种情况得到答案.【详解】当时，，原方程组有唯一组解；当时，，，原方程组无解；当时，，，，原方程组有无穷组解.综上所述：是，有唯一解；时，无解；时，无穷组解.【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.8．设（，k为正整数）（1）分别求出当，时方程的解.（2）设的解集为，求的值及数列的前项和.【答案】（1）时,方程的解为，;时，的解为，（2）;前项和为【解析】【分析】（1）根据定义化简函数的解析式，然后根据一元二次方程求出当，时方程的解即可；（2）由即的解集为建立关系式，然后取，可求出的值，最后根据进行求解即可；【详解】解：（1），当时，所以方程的解为，；当时，所以方程的解为，；（2）由即的解集为.∴，∴时，，时，.∴.【点睛】本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题.9．关于的矩阵，列向量.（1）已知，，，计算，并指出该算式表示的意义；（2）把反比例函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，求得到曲线的方程；（3）已知数列，，猜想并计算.【答案】（1），表示把向量逆时针旋转得到的向量；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；（2）由题意，得旋转变换矩阵，设xy=1上的任意点在变换矩阵A作用下为，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；（3）分别求出n=1，n=2，n=3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n的表达式，从而可求得所求算式的结果.【详解】（1），该算式表示把向量逆时针旋转得到的向量；（2）由题意，得旋转变换矩阵，设xy=1上的任意点在变换矩阵A的作用下为，则，，则，将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转，所得曲线的方程为；（3）当n=1时，；当n=2时，，当n=3时，，由此猜想：当n=k时，，当时，，所以.【点睛】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.10．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据方程组有解得关系，再确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得关系，进而确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）因为方程组有解，所以而有这三种情况，所以所求概率为；（2）因为且，所以因此即有种情况，所以所求概率为；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.11．已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a、b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下像是M′(x′，y′)．由＝＝，得.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1即x＋(b＋2)y＝1.依题意，得解得(2)由A＝，得解得y0＝0.，又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．12．在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵.【答案】.【解析】试题分析：应用结合矩阵变换的定义可得：，据此求解逆矩阵可得：.试题解析：设是直线上任意一点，其在矩阵对应的变化下得到仍在直线上，所以得，与比较得，解得，故,求得逆矩阵.13．已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量为.（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线的方程为，求曲线C的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得的值，即可得到矩阵M；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C的方程．【详解】解：（1）依题意得，即，解得，所以；（2）设曲线C上一点在矩阵M的作用下得到曲线上一点，则，即，因为，所以，所以曲线C的方程为．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．14．已知矩阵，A的两个特征值为，=3.（1）求a，b的值；（2）求属于的一个特征向量.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求，的值；（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．【详解】（1）令，于是，．解得，.（2）设，则，故解得．于是．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．15．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．【答案】解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则＝λ，即因为k≠0，所以a＝2．5分因为，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝1．综上，a＝2，k＝1．10分【解析】试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k考点：特征向量,逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．16．已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．【答案】．【解析】试题分析：，所以．试题解析：B．因为，所以．17．己知矩阵.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得的逆矩阵.（2）设出上任意一点的坐标，设出其在矩阵对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入方程，化简后可求得的方程.【详解】解（1）设所求逆矩阵为，则，即，解得，所以.（2）设曲线上任一点坐标为，在矩阵对应的变换作用下得到点，则，即，解得.因为，所以，整理得，所以的方程为.【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.18．已知矩阵，（1）求逆矩阵；（2）若矩阵满足，试求矩阵．【答案】（1）（2）【解析】【分析】【详解】（1）设=，则==．∴解得∴=（2）19．已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求.【答案】（1）特征值为，，分别对应的特征向量为和，（2）.【解析】【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2），即可求．【详解】（1）矩阵的特征多项式为，令，可求得特征值为，，设对应的一个特征向量为，则由，得，可令，则，所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为．（2）所以．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．设函数（a为实数）.（1）若，解不等式；（2）若当时，关于x的不等式成立，求a的取值范围；（3）设，若存在x使不等式成立，求a的取值范围.【答案】(1)或;(2);(3)【解析