高考等比数列专题及答案

一、等比数列选择题1．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．72．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A． B． C． D．13．已知数列满足：，．则（）A． B． C． D．4．已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（）A．是等差数列 B． C． D．是等比数列5．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为6．已知公比大于1的等比数列满足，.则数列的前项的和为（）A． B．C． D．7．设数列的前n项和为，且，则（）A． B． C．3 D．78．在数列中，，，则（）A．32 B．16 C．8 D．49．记为正项等比数列的前项和，若，则（）.A． B． C． D．10．在数列中，，，若，则的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．1211．等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（）A． B． C． D．12．.在等比数列中，若，，则（）A．2 B．2或 C． D．13．设数列，下列判断一定正确的是（）A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列14．若数列是等比数列，且，则（）A．1 B．2 C．4 D．815．已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（）A．32 B．31 C．16 D．1516．已知等比数列的公比为2，其前n项和为，则=（）A．2 B．4 C． D．17．已知正项等比数列满足，，又为数列的前n项和，则（）A．或 B．C．15 D．618．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．19．已知等比数列中，，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．520．已知数列，满足，，，，则使成立的最小正整数为（）A．5 B．7 C．9 D．11二、多选题21．题目文件丢失！22．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列23．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A． B． C． D．当时，24．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．当 B． C． D．25．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．26．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为27．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为28．将个数排成行列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）A． B．C． D．29．设数列，若存在常数，对任意正数，总存在正整数，当，有，则数列为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A．等差数列不可能是收敛数列B．若等比数列是收敛数列，则公比C．若数列满足，则是收敛数列D．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列30．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（）A． B．C． D．31．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（）A． B． C． D．32．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（）A．数列是等差数列 B．数列是等比数列C．数列的通项公式为 D．33．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A．8 B．9 C．10 D．1134．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若，，则C．若，则数列是递增数列D．若数列的前和，则35．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值；C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；…第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，，即，即，解得：，又为整数，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力，属于中档题.2．D【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.3．C【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得，构造为等比数列，求解出通项，进而求出.【详解】因为，所以两边取倒数得，则，所以数列为等比数列，则，所以，故.故选：C【点睛】方法点睛：对于形如型，通常可构造等比数列（其中）来进行求解.4．C【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D．【详解】时，因为，所以，所以，所以是等差数列，A正确；，，公差，所以，所以，B正确；不适合，C错误；，数列是等比数列，D正确．故选：C．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式中，不包含，因此由求出的不包含，需要特别求解检验，否则易出错．5．B【分析】根据，，分，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断.【详解】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定.6．D【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列满足，，所以，解得，，所以，，是以8为首项，为公比的等比数列，，故选：D【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.7．A【分析】先求出，再当时，由得，两式相减后化简得，，则，从而得数列为等比数列，进而求出，可求得的值【详解】解：当时，，得，当时，由得，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A8．C【分析】根据，得到数列是公比为2的等比数列求解.【详解】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．因为，所以．故选：C9．D【分析】利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．【详解】为正项等比数列的前项和，，，，解得，，．故选：．10．C【分析】根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.【详解】因为，所以，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.则，即.因为，所以，所以，所以.故选：C11．D【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项.【详解】设等比数列的公比为.∵，∴，即.∴，∴或（舍去），∵，∴，∴，故选：D.12．A【分析】由等比数列的性质可得，且与同号，从而可求出的值【详解】解：因为等比数列中，，，所以，因为，所以，所以，故选：A13．C【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.【详解】对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.14．C【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.15．B【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出的值.【详解】因为等比数列的前n项和为，公比，所以，又因为，所以.故选：B.16．C【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得答案【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以，故选：C17．B【分析】首先利用等比数列的性质求和公比，再根据公式求.【详解】正项等比数列中，，，解得或（舍去）又，，解得，，故选：B18．B【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项、使得，可得，．对，分类讨论即可得出．【详解】解：设正项等比数列的公比为，满足：，，解得，存在两项、使得，，，，的取值分别为，，，，，则的最小值为．故选：B．19．B【分析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.20．C【分析】令，由，可知数列是首项为1.8，公比为的等比数列，即，则，解不等式可得n的最小值.【详解】令，则所以数列是首项为1.8，公比为的等比数列，所以由，即，整理得由，，所以，即故选：C.【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题.二、多选题21．无22．ABC【分析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.23．ABC【分析】由题意，设数列的公比为，利用等比数列单调递增，则，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列的公比为，因为，可得，当时，，此时，当时，，故不正确的是ABC.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题.24．BCD【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项，公比不同情况的讨论即可求得答案．【详解】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；，当，时，为摆动数列，故错误；，当，时，数列为递减数列，故错误；，若，且取负数时，则为摆动数列，故错误，故选：BCD．【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题．25．ACD【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.【详解】因为，所以有，因此选项A正确；因为，所以，因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；，因为当时，，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.26．AD【分析】根据题意，，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确.，故B错误；因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.27．ABD【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【详解】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；，因此，即B正确；因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.28．ACD【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，可得，，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则，所以选项D是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.29．BCD【分析】根据等差数列前和公式以及收敛数列的定义可判断A；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B；根据收敛的定义可判断C；根据等差数列前和公式以及收敛数列的定义可判断D.【详解】当时，取，为使得，所以只需要.对于A，令，则存在，使，故A错；对于B，，若，则对任意正数，当时，，所以不存在正整数使得定义式成立，若，显然符合；若为摆动数列，只有两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若，取，，当时，，故B正确；对于C，，符合；对于D，，，当时，单调递增并且可以取到比更大的正数，当时，，同理，所以D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.30．BD【分析】设等差数列的公差为,根据,,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.【详解】设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项,即,化简得：,所以或1,故或,所以或,设的前项和为,①当时,；②当时,（1）,（2）,（1）（2）得：,所以,故选：BD【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.31．ABD【分析】由条件可得，解出，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.32．BCD【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得