2014年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷

2014年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题3分，共24分）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）如图的几何体是由四个同样大小的立方体搭成的，它的左视图为（）A． B． C． D．3．（3分）微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件的面积大约为0.0000007平方毫米，此数据可用科学记数法表示为（）平方毫米．A．7×107 B．7×10﹣6 C．7×10﹣7 D．7×10﹣84．（3分）下列运算正确的是（）A．a﹣2a＝a B．x6÷x3＝x2 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（x+y）2＝x2+y25．（3分）相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，则它可以变为（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形6．（3分）在网格中，△ABC如图放置，则tanA的值为（）A．1 B． C． D．7．（3分）将一副三角板如图叠放，问∠1的度数为（）A．60° B．30° C．75° D．55°8．（3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝2，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72需进行3次操作后变为1，类似地，对14需进行（）次操作后变为1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）分解因式：a3﹣2a2+a＝．10．（4分）的算术平方根是．11．（4分）若分式的值为0，则x的值为．12．（4分）已知一个不等式组的两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为．13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．14．（4分）某商店为尽快清空往季商品，采取如下销售方案：将原来商品每件m元，加价50%，再做降价40%．经过调整后的实际价格为元．（结果用含m的代数式表示）15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x﹣1）2+b与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边△ABC的周长为．16．（4分）如图，在△ABC和△BCE中，∠CBE＝30°，∠BEC＝90°，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P，与直线CB交于点Q，当△BPQ为等腰三角形时，α的大小是．三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）17．（8分）计算：（﹣π）0﹣（）﹣4﹣cos30°．18．（8分）把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当2张牌面数字相同时，小王赢；当2张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．19．（10分）如图，P为Rt△ABC外部的任意一点，∠ACB＝90°，M为AB边中点．以PA、FC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME＝PM，连接DE．（1）请猜想与线段DE有关的三个正确结论：①；②；③；（2）请选择（1）中任意一个结论，加以证明．四、（每小题10分，共20分）20．（10分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，国家环境检测中心今年在全国多数城市进行PM2.5检测，按PM2.5日平均浓度值的高低把城市空气质量分为A（好）、B（较好）、C（一般）、D（差）四个等级．某日工作人员随机抽取监测点的研究性数据，并按规定绘制成条形统计图和扇形统计图如下：根据下图中提供的信息解答下列问题：（1）一共随机抽查了个城市；（2）在扇形统计图中，A等级所对应的圆心角是72°，则随机抽查的城市在这个等级的有个；（3）在扇形统计图中，a＝．（4）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（5）我国PM2.5安全值的标准采用世卫组织（WHO）设定的最宽限值：若日平均浓度小于75微克/立方米，即A等级．请你估计当日环保监测中心在检测100个城市中，PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市约有多少个？21．（10分）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离．五、（本题10分）22．（10分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．六、（本题12分）23．（12分）为推销某优质品牌牛肉，大福源超市对牛肉价格采用灵活的销售方式吸引游客．牛肉定价为50元/斤．会员日打a折销售．平日按顾客购买量分段计价销售，即购买m斤以下（含m斤）的按原价销售；若购买多于m斤的，其中m斤仍按原价售卖，超过m斤部分的牛肉打b折销售．设顾客购买牛肉x斤，会员日的购肉款为y1（元），平日购肉款为y2（元）．y1、y2与x之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a＝；b＝；m＝；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）某食堂管理员小王近日分两次购买了这种牛肉50斤，第一次不是会员日，第二次恰逢会员日，两次一共付肉款1900元．求这两次小王分别买了多少斤牛肉？七、（本题12分）24．（12分）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把△DEF的直角顶点D放在AC的中点上（DE＜DF），△ABC绕D点按顺时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM＝DN；（2）如图2，AB的延长线与DE交于M，BC的延长线交DF于N，DM与BC交于点P．△DEF与△ABC重叠部分△DPC的面积为S，设BP＝x，求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．八、（本题14分）25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与反比例函数y＝（k＞0）相交于A，C，D三点，点A的坐标为（4，2），经过点A，C的直线解析式为y＝k1x，过点D与原点的直线y＝k2x（k1＞k2）交反比例函数图象一点B，且点B的纵坐标为4，连接AB，BC，CD，DA，线段AD交x轴于点E（备注：已知两直线l1：y＝mx（m≠0）和l2：y＝nx（n≠0），若l1∥l2，则m＝n，若l1⊥l2，则m•n＝﹣1）（1）由题意可得出k的值是，C点坐标是，B点的坐标是；（2）求出抛物线的解析式；（3）求四边形ABCD的面积；（4）点P为抛物线上一动点，当﹣2＜x＜4时，请你证明存在一点P，使得四边形AODP为菱形，并求点P的坐标．（5）在（4）的条件下，连接BE，交AC于点F，探究在y轴上是否存在某点Q，使得△OPQ与△AEF相似？若存在，请直接出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2014年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题3分，共24分）1．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数．2．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，是一列两个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．【分析】A．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；B．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；C．应用幂的乘法法则进行计算即可得出答案；D．应用完全平方公式进行计算即可出答案．【解答】解：A．∵a﹣2a＝﹣a，∴A选项计算错误，故A选项不符合题意；B．∵x6÷x3＝x6﹣3＝x3，∴B选项计算错误，故B选项不符合题意；C．∵（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6，∴C选项计算正确，故C选项符合题意；D．∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴D选项计算错误，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法运算法则进行求解是解决本题的关键．5．【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝DC＝2，BC＝AD＝3，∴当∠B＝90°时，四边形ABCD就是矩形，∵四边形邻边不相等，∴不能变成菱形，不能变成正方形，也不能变成梯形，故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形和梯形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．6．【分析】连接CD，先根据勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接CD，由题意得：AD2＝22+22＝8，AC2＝12+32＝10，CD2＝12+12＝2，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．【分析】由直角三角板的性质可知∠A＝60°，∠D＝45°，再根据直角三角形的性质可知∠AGE＝30°，进而得出∠DGB＝30°，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵这两个三角形是一副直角三角板，∴∠A＝60°，∠D＝45°，∵△AGE是直角三角形，∴∠AGE＝30°，∴∠DGB＝∠AGE＝30°，∵∠1是△DGH的外角，∴∠1＝∠D+∠DGB＝45°+30°＝75°．故选：C．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知直角三角板及三角形外角的性质是解答此题的关键．8．【分析】根据规律依次求出即可．【解答】解：14第一次[]＝3，第二次[]＝1，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．二、填空题（每小题4分，共32分）9．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．【分析】先将题目中的式子化简，然后根据算术平方根的计算方法即可解答本题．【解答】解：∵，，故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是明确算术平方根的计算方法．11．【分析】根据分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）列方程和不等式求解．【解答】解：由题意可得，解得：x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）是解题关键．12．【分析】根据同大取大的原则．【解答】解：不等式组的解集为：x≥﹣1．【点评】注意数轴上空心和实心的区别，向右表示大于端点，向左表示小于端点．13．【分析】解决该题的关键是作出中位线，并且在图中找出规律，解决问题，做MN平行于AB，则MN为△ABC的中位线．【解答】解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB，∴∠NMC＝∠B，MN＝AB，又∵MF∥AD，∴∠FMC＝∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠FMN+∠NMC＝∠B+∠BAD，∴∠FMN＝∠BAD＝∠DAC＝∠MFN，所以．因此＝+＝9．故答案为9．【点评】该题考查了中位线在三角形中的应用，并且根据三角形中位线定理进行分析运算．14．【分析】先算出加价50%以后的价格，再求降价40%的价格，从而得出答案．【解答】解：m×（1+50%）×（1﹣40%）＝0.9m（元）．经过调整后的实际价格为0.9m元．故答案为：0.9m．【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出代数式解决问题．15．【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则AB的长度即可求解．【解答】解：抛物线y＝a（x﹣1）2+b的对称轴是直线x＝1，作CD⊥AB于点D，则AD＝1，则AB＝2AD＝2，则AB为边的等边△ABC的周长为3×2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．16．【分析】根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图1、答图2和图3所示．【解答】解：存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB＝QP时（如答图1），则QB1＝QC，∴∠B1CQ＝∠B1＝30°，即∠BCB1＝30°，∴α＝30°；（II）当BQ＝BP时，则B1Q＝B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图2），∵∠B1＝30°，∴∠B1CQ＝∠B1QC＝75°，即∠BCB1＝75°，∴α＝75°；若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图3），∵∠B1＝30°，∴∠B1CQ＝∠B1QC＝15°，即∠BCB1＝180°﹣∠B1CQ＝180°﹣15°＝165°，∴α＝165°．当α＝120时，PQ＝PB，也满足条件，综上所述，存在α＝30°或75°或120°或165°，使△BPQ为等腰三角形．故答案为：30°或75°或120°或165°．【点评】本题考查了旋转的性质以及运动型与几何变换综合题，难度较大．对存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点．三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）17．【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣81﹣×＝1﹣81﹣＝﹣81．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】（1）根据概率＝所求情况数与总情况数之比计算．（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：（1）P（抽到牌面数字是4）＝；（2分）（2）游戏规则对双方不公平．（5分）理由如下：或小李小王3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．P（抽到牌面数字相同）＝，P（抽到牌面数字不相同）＝．∵，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．（12分）（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【分析】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA＝DC，推出BE∥DC，BE＝DC，得出平行四边形CDEB即可写出正确的结论；（2）选择其一进行证明即可．【解答】（1）解：①DE∥BC；②DE＝BC；③DE⊥AC；故答案为：DE∥BC，DE＝BC，DE⊥AC；（2）证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM＝MB，在△PMA和△EMB中∵，∴△PMA≌△EMB（SAS），∴PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA＝DC，∴BE∥DC，BE＝DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．【点评】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．四、（每小题10分，共20分）20．【分析】（1）根据B等级的人数以及所占的百分比即可求出；（2）根据A等级的圆心角可得百分比，用总数×百分比可得答案；（3）根据总数减去其他三个等级的数目可得C等级的城市数，再除以总数可得百分比；（4）根据数据补图即可；（5）用100乘以A等级的百分比即可．【解答】解：（1）10÷40%＝25（个），故答案为：25；（2）72°÷360°×25＝5（个），故答案为：5；（3）C等级城市为：25﹣5﹣10﹣4＝6（个），6÷25×100%＝24%，故答案为：24；（4）补图如下：（5）100×＝20（个），答：符合安全值的城市约有20个．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．21．【分析】连接AN、BQ，过B作BE⊥AN于点E．在Rt△AMN和在Rt△BMQ中，根据三角函数就可以求得AN，BQ，求得NQ，AE的长，在直角△ABE中，依据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AN、BQ．∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，∴AN⊥l，BQ⊥l．（1分）在Rt△AMN中：tan∠AMN＝，∴AN＝米．（3分）在Rt△BMQ中：tan∠BMQ＝，∴BQ＝米．（5分）过B作BE⊥AN于点E．则：BE＝NQ＝30米，∴AE＝AN﹣BQ＝30（米）．（8分）在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，，∴AB＝60（米）．答：湖中两个小亭A、B之间的距离为60米．（10分）【点评】把图形转化为直角三角形问题，正确作出辅助线是解决本题的关键．五、（本题10分）22．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．六、（本题12分）23．【分析】（1）根据函数图象，根据“单价＝总价÷数量”可得a的值；用购买第11斤到20斤的总价除以数量可求出b的值，由图可求m的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设第一次买了n斤牛肉，则第二次买了（50﹣n）斤牛肉，然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解解即可．【解答】解：（1）∵＝0.6，∴会员日打6折，a＝6，∵＝0.8，∴平日打8折，b＝8，由图可知，10人以上开始打折，所以，m＝10；故答案为：6；8；10；（2）设y1＝k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，300），∴10k1＝300，∴k1＝30，∴y1＝30x；0≤x≤10时，设y2＝k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，500），∴10k2＝500，∴k2＝50，∴y2＝50x，x＞10时，设y2＝kx+b，∵函数图象经过点（10，500）和（20，900），∴，∴，∴y2＝40x+100；∴y2＝；（3）设第一次买了n斤牛肉，则第二次买了（50﹣n）斤牛肉，当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）＝1900，解得n＝20（不符合题意舍去），当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）＝1900，解得n＝30，∴50﹣n＝50﹣30＝20，答：第一次有30斤牛肉，第二次为30斤牛肉．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．七、（本题12分）24．【分析】（1）连接BD，证明△MDB≌△NDC（ASA），得出DM＝DN；（2）连接BD，过点D作DH⊥BC于点H，由三角形面积公式可得出答案；（3）连接BD，同理可得△MDB≌△NDC（ASA），可得出DM＝DN．【解答】（1）证明：连接BD，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，∠A＝∠C＝45°，∴BD＝AD＝CD，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴∠MBD＝∠C＝45°，∵∠MDB+∠BDN＝90°，∠NDC+∠BDN＝90°，∴∠MDB＝∠NDC，在△MDB和△NDC中，，∴△MDB≌△NDC（ASA），∴DM＝DN；（2）解：连接BD，过点D作DH⊥BC于点H，由（1）可知△BCD为等腰直角三角形，∵BC＝1，∴DH＝BC＝，∵BP＝x，∴CP＝1﹣x，∴＝，∴y＝（0＜x＜1）；（3）解：DM＝DN．证明：连接BD，同理可得△MDB≌△NDC（ASA），∴DM＝DN．【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，三角形斜边上中线性质，三线合一定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主