2024届新高考一轮复习人教A版 第三章 培优课(二) 隐零点与极值点偏移问

培优课(二)隐零点与极值点偏移问题[知识解读]1.隐零点利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点.(3)极值点偏移问题的一般题设形式①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);②若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点);关键能力·课堂突破类分考点,落实四翼隐零点问题[典例1]已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;函数最值中的“隐零点”解:(1)由题意,函数f(x)=(x-a)ex(a∈R),可得f′(x)=(x-a+1)ex,当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)<0;当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0,故函数f(x)在(-∞,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增.[典例1]已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).零点问题求解“三步曲”(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f′(x0)=0,并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点,说明导函数f′(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式.(3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.注意:当题设条件中出现“参数为整数”(如本题“b∈Z”)时,此类问题一般为隐零点的卡点问题,要利用零点存在定理,把隐零点的范围精准地找出来,才能正确求出参数的值.[拓展演练]设函数f(x)=e2x-alnx(a为大于零的常数),已知f′(x)=0有唯一零点,求f(x)的最小值.不等式证明中的“隐零点”解决“隐零点”问题的关键是利用隐零点等式进行零点的代换,从而达到“指、对转幂”的目的.把“隐零点”等式代入最值式是证明不等式的常用技巧.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)证明:f(x)-x<ln2-2.极值点偏移问题[典例3]已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2>2.对称化构造对称化构造,主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为x0),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.(3)判断单调性,即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小,即判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系.(5)转化,即利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求.[拓展演练]已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R.(1)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围;(1)解:由f(x)=0得a=(x-1)ex,令g(x)=(x-1)ex,因为g′(x)=ex+(x-1)ex=xex,由g′(x)>0得x>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g′(x)<0得x<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,所以当x=0时,函数g(x)有极小值同时也是最小值,g(x)min=g(0)=-1,当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞时,g(x)<0,且g(x)→0,则要使a=g(x)有两个不同的零点,则-1<a<0,即当-1<a<0时,函数f(x)有两个零点.[拓展演练]已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R.(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<0.(2)证明:因为x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以由(1)知x1x2<0,且f(x1)=f(x2)=0,不妨设x1<0,x2>0,则-x2<0,令F(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)ex+(1+x)e-x,则F′(x)=x(ex-e-x),当x<0时,F′(x)=x(ex-e-x)>0,此时F(x)在(-∞,0)上为增函数,所以F(x)<F(0),即F(x)=f(x)-f(-x)<0,即f(x)<f(-x),因为-x2<0,所以f(-x2)<f(x2),因为f(x1)=f(x2)=0,所以f(-x2)<f(x1),由(1)知,f(x)在(-∞,0)上为减函数,所以-x2>x1,即x1+x2<0.比值换元(2)若g(x)=f(x)-mlnx,存在x1,x2∈(0,+∞),且当x1≠x2时,g(x1)=g(x2),求证:x1x2<4m2.比值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比作为变量,从而实现消参、减元的目的