2024年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷含答案

年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C． D．2．（3分）2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目.2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（）A．902×104 B．90.2×105 C．9.02×106 D．0.902×1073．（3分）中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使得操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°5．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a（a﹣1）＝a2﹣1 B． C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b26．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．7．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖．截止目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：30，28，31，31，31，29，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和平均数是（）A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．31，318．（3分）直线y＝kx沿y轴向下平移2个单位后与x轴的交点坐标是（﹣2，0），以下各点在直线y＝kx上的是（）A．（﹣3，0） B．（0，﹣3） C．（﹣2，2） D．（2，2）9．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．5 B．6 C． D．10．（3分）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段AB的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段AC的中点，△OAB的面积是6，则k的值为（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：3a2﹣12＝．12．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为．13．（3分）圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是．14．（3分）若抛物线y＝（a+1）x2﹣2x+3与x轴有交点，则整数a的最大值是．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交BC，AB于点D，E，若∠B＝32°，则∠CAD的度数是．16．（3分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第三局的裁判是．三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3，y＝6．19．（6分）人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：①对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．请你根据提供的材料完成下面的问题．（1）填空：＝；（2）求∠ABN的度数．20．（8分）长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．（1）求长沙第一高楼国金大厦的高度DG；（2）小明还要走多远（CD的距离）才能到达国金大厦？21．（8分）3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（1）m＝，n＝，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为；（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．22．（9分）某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花架5个，乙种花架12个，共需资金1656元．（1）甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少费用．23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的长．24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E且AC为直径，延长DA、CB交于点F，连接OD，若∠AOD＝∠ACB，请回答下列问题：（1）求证：△OAD∽△CBE；（2）若，求的值；（3）设，△ABF与四边形ABCD的面积之比为h，请求出h关于t的函数关系式．25．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则称该函数为“X（n）函数”．（1）在下列函数中，是“X（n）函数”的有（填序号）．①y＝x；②y＝2024x+1；③；④y＝x2（2）若关于x的函数y＝（x﹣h）2+k是“X（0）函数”，且图象与直线y＝4相交于A，B两点，函数y＝（x﹣h）2+k图象的顶点为P，当∠PBA＝45°时，求h，k的值．（3）若关于x的函数y＝ax2+bx+4（a≠0）是X（1）函数，且过点（3，1），当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值y1与最小值y2的差为2，求t的值．2024年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据相反数的定义进行判断即可．【解答】解：有理数﹣3的相反数是3，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：9020000＝9.02×106．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C中的剪纸图案都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项D中的剪纸图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．4．【分析】先根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝35°，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝35°，∴∠3＝∠1＝35°，∵直角三角形的直角顶点在直线b上，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．5．【分析】运用单项式乘单项式、二次根式和完全平方公式的知识进行逐一计算、辨别．【解答】解：∵a（a﹣1）＝a2﹣a，∴选项不符合题意；∵＝3，∴选项不符合题意；∵和不是同类二次根式不能合并，∴选项不符合题意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴选项不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了单项式乘单项式、二次根式和完全平方公式的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．6．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键．7．【分析】根据平均数和众数的概念求解．【解答】解：∵数据31出现了4次，最多，∴众数为：31，平均数为：（28+29×2+30+31×4）＝30．故选：C．【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．8．【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：直线y＝kx沿y轴向下平移2个单位后与x轴的交点坐标是（﹣2，0），把x＝﹣2，y＝0代入y＝kx﹣2中，﹣2k﹣2＝0，解得：k＝﹣1，所以直线y＝kx的解析式为：y＝﹣x，当x＝﹣3时，y＝3，当x＝0时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝2，当x＝2时，y＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟知函数图象上点的坐标满足解析式是解答此题的关键．9．【分析】取AD的中点O，连接OB，OM，证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝4，点M在以O为圆心，4为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝4，∴OM＝AD＝4，∴点M在以O为圆心，4为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝2，∴BM≥OB﹣OM＝2﹣4，∴BM的最小值为2﹣4．故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．10．【分析】设点C的坐标为（n，0），利用中点坐标公式建立方程2xB＝xA+xC，求出k值即可．【解答】解：设点C的坐标为（n，0），∵B是AC的中点，∴S△ABO＝S△BCD＝6，∵S△OBC＝yB＝yB＝6，∴yB＝，代入y＝中，∴xB＝，∴B（，），∵S△AOC＝12＝yA，∴yA＝，代入y＝中，∴xA＝，∴A（，），∵B是AC的中点，∴＝xB，即2xB＝xA+xC，∴2×＝+n，∴k＝8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．12．【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．【解答】解：把0代入方程有：a2﹣4＝0，a2＝4，∴a＝±2；∵a﹣2≠0，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．13．【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．【解答】解：由勾股定理得：母线l＝＝＝5，∴S侧＝•2πr•l＝πrl＝π×3×5＝15π．故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．14．【分析】根据抛物线与x轴有交点，可求出a的取值范围，再由a为整数，即可解决问题．【解答】解：因为抛物线与x轴有交点，所以（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0，解得，又a+1≠0，即a≠﹣1，所以a的取值范围是：．又a为整数，则a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，能根据b2﹣4ac≥0及a+1≠0求出a的取值范围是解题的关键．15．【分析】由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，∠BAD＝∠B＝32°，由AB＝AC，得∠C＝∠B＝32°，根据∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，计算求解即可．【解答】解：由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝32°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝32°，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，∴∠CAD＝84°，故答案为：84°．【点评】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．16．【分析】由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．【解答】解：由题意，知：由丙当了3次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛分别是第一局，第三局，第五局：第一局：甲VS乙，丙当裁判；第三局：甲VS乙，丙当裁判；第五局：甲VS乙，丙当裁判；则第三局的裁判是丙．故答案为：丙．【点评】此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2+2×﹣1+（3﹣）＝2+﹣1+3﹣＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．【分析】先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．【解答】解：＝＝＝，当x＝﹣3，y＝6时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【分析】（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；（2）由（1）可知，可得到∠ENB＝30°，即可得到∠EBN，然后在根据折叠计算∠ABM，因为折叠，即可知答案．【解答】解：（1）由折叠可知：AB＝BN，，∴；故答案为：；（2）在Rt△BEN中，，∴∠BNE＝30°，∴∠EBN＝90°﹣∠BNE＝60°，由折叠可得：．∴∠ABN＝60°．【点评】本题主要考查折叠的性质，根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．20．【分析】（1）根据题意可得：AB＝EC＝FD＝1.6米，AE＝BC＝900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，先根据三角形的外角性质可得∠AGE＝∠GAE＝15°，从而可得AE＝EG＝900.8米，然后在Rt△GEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出GF的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；（2）根据题意可得：EF＝CD，然后在Rt△GEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：AB＝EC＝FD＝1.6米，AE＝BC＝900.8米，GF⊥AF，GD⊥BD，∵∠GEF是△AEG的一个外角，∠GEF＝30°，∠GAE＝15°，∴∠AGE＝∠GEF﹣∠GAE＝15°，∴∠AGE＝∠GAE＝15°，∴AE＝EG＝900.8米，在Rt△GEF中，GF＝GE＝450.4（米），∴DG＝GF+DF＝450.4+1.6＝452（米），∴长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米；（2）由题意得：EF＝CD，在Rt△GEF中，∠GEF＝30°，GE＝900.8米，∴EF＝GE•cos30°＝900.8×＝450.4（米），∴EF＝CD＝450.4米，∴小明还要走450.4米才能到达国金大厦．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．【分析】（1）用频数分布直方图中80～90的频数除以扇形统计图中80～90的百分比可得n的值；用频数分布直方图中60～70的频数除以n再乘以100%可得m%，即可得m的值；求出测试成绩为90～100（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．（2）用360°乘以“70～80”的人数所占的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）n＝12÷24%＝50．m%＝×100%＝16%，∴m＝16．故答案为：16；50．测试成绩为90～100（含100）的人数为50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人）．补全频数分布直方图如图所示．（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为360°×＝72°．故答案为：72°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共2种，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．22．【分析】（1）设甲种花架每个的价格为x元，乙种花架每个的价格为y元，根据题意得，即可解得答案；（2）由乙种花架的数量不少于10个，可得a≤18，而w＝72a+108（28﹣a）＝﹣36a+3024，根据一次函数性质可得答案．【解答】解：（1）设甲种花架每个的价格为x元，乙种花架每个的价格为y元，根据题意得：，解得：，答：甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元；（2）∵甲种花架购买a个，∴乙种花架购买（28﹣a）个，∵乙种花架的数量不少于10个，∴28﹣a≥10，解得：a≤18，根据题意得：w＝72a+108（28﹣a）＝﹣36a+3024，∵﹣36＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝18时，w取最小值，最小值为w＝﹣36×18+3024＝2376，∴当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元．【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．23．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴，在Rt△AOB中，，OB＝1，∴，∴OE＝OA＝2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键．24．【分析】（1）由＝，得到∠CAD＝∠CBD根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）设AE＝3a，CE＝8a，则AC＝11a，OA＝OD＝OC＝5.5a，根据相似三角形的性质得到＝，根据等腰三角形的性质得到CB＝CE，得到AD＝DE，于是得到＝＝；（3）由，设AE＝mt，则CE＝m，AB＝（1+m）t，则OA＝OC＝OD＝t，证得△CBE∽△DAE，于是得到OAD∽△DAE，根据等腰三角形的性质得到＝，于是得到AD＝DE＝，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠CAD＝∠CBD，又∵∠ACB＝∠AOD，∴△OAD∽△CBE；（2）解：设AE＝3a，CE＝8a，则AC＝11a，OA＝OD＝OC＝5.5a，由（1）△OAD∽△CBE可得，OA＝OD，∴＝＝，∴＝，同时可得：△CBE和△OAD都是等腰三角形，∴CB＝CE，∴∠CBD＝∠CEB＝∠CAD，又∠CEB＝∠AED，∴∠CAD＝∠AED，∴AD＝DE∴＝＝；（3）解：由，设AE＝mt，则CE＝m，AB＝（1+m）t，