湖南省郴州市月峰中心学校高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省郴州市月峰中心学校高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.函数的定义域为(

)A.

B.(-2,1)

C.

D.

(1,2)参考答案：D略3.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是A.21 B.39 C.81 D.102参考答案：D本题考查流程图。循环1次，s=3，n=2；循环2次，s=21，n=3；循环3次，s=102，n=4，此时不满足条件，结束循环，输出102.选D。5.异面直线所成角为，直线，且也与异面，则直线与所成的角的范围为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.设变量满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C7.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】定积分在求面积中的应用．B13D

解析：作出对应的图象如图：则对应的区域面积，故选：D【思路点拨】先根据题意画出直线及所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．8.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：B【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知等差数列的前项和为，＝4，＝110，则的最小值为（

）

A．7

B. C．8

D.参考答案：D由＝4，＝110，得，所以，

解得，，所以，。因此（时取等号），故选择D。10.已知是等差数列,,则该数列前10项和等于（

）A.64

B.100

C.110

D.120参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读图的程序框图,该程序运行后输出的的值为

__.参考答案：略12.已知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=

．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等比数列的性质求出公比，由此能求出答案．【解答】解：∵等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，∴2+2q2+2q4=14，解得q2=2或q2=﹣3（舍），∴++=++=，故答案为：．13.在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．参考答案：2因为，所以，所以，因为，所以，所以△的面积。14.已知x，y满足则的取值范围是________．参考答案：

15.已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P的坐标为(3,－4)，则______.参考答案：【分析】根据三角函数的定义，求出，，利用诱导公式即可求解.【详解】由题意有，，则.故答案为【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.16.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为．参考答案：16【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．17.在中，已知分别是所对的边，为的面积，若向量，满足，则

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.解不等式|x－1|＋2|x|≤4x．参考答案：[，＋∞)．

考点：解绝对值不等式．19.已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，即可求出|PQ|；（2）求出A，B，D的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，∴|PQ|=2﹣2；（2）证明：由题意，A（﹣，1），B（，1），D（0，﹣2），设P（x，y），则|PA|2+|PB|2+|PD|2=（x+）2+（y﹣1）2+（x﹣）2+（y﹣1）2+x2+（y+2）2=3（x2+y2）+12=24，为定值．【点评】本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．20.已知函数.(1)若函数有且只有一个零点，求实数的值；(2)证明：当时，.参考答案：：(1)方法1：，，时，；时，；时，；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵有且只有一个零点，故，∴.方法2：由题意知方程仅有一实根，由得()，令，，时，；时，；时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，所以要使仅有一个零点，则.方法3：函数有且只有一个零点即为直线与曲线相切，设切点为，由得，∴，∴，所以实数的值为1.(2)由(1)知，即当且仅当时取等号，∵，令得，，，即.21.（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）

求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.参考答案：（I）由得

()因为直线与抛物线C相切,所以,解得…………5分（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为…….12分22.数列的各项都是正数，前项和为,且对任意，都有.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求数列的通项公式.参考答案：证明：（I）在已知式中，当时，

因为，