山东省威海市文登米山中学高三数学理测试题含解析

山东省威海市文登米山中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B将函数的图像向右平移个单位后得到,因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，故，解得，即，则正数的最小值为，故选B.

2.正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是(

)A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．3.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，若∥，则实数x的值为(

)A．8 B．2 C．－2 D．－8参考答案：B4.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜–5成立的自然数n（

）A．有最大值63

B．有最小值63

C．有最大值31

D．有最小值31参考答案：B5.△ABC中，“”是“”的（）条件．A．充要条件 B．必要不充分C．充分不必要 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在三角形中若，则＜A＜π，则，“”是“”的充要条件，故选：A．6.一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（

）A．2

B．1

C．

D．参考答案：C略7.在边长为2的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离都不小于1的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.记函数的最大值为M,最小值为m，则的值为(

)A.

B. C.

D.参考答案：A略9.已知,若对任意两个不等的正实数都有恒成立,则的取值范围是()A.[1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.(0,1]参考答案：【知识点】函数的导数；导数的几何意义.B11,B12【答案解析】A解析：由条件可知函数在定义域上的切线斜率大于等于2，所以函数的导数由函数的性质可知有最小值【思路点拨】根据函数的导数进行计算，注意函数的定义域的取值范围.10.已知、的取值如下表所示：若与线性相关，且，则（）01342.24.34.86.7

A．

B．

C．

D．参考答案：D，线性回归直线过样本中心点．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点，若，则点的坐标为__*___.参考答案：(0,3)略12.左面伪代码的输出结果为

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．参考答案：2613.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=

．参考答案：14.已知向量且，那么= 参考答案：15.若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=．参考答案：7,6.【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论．【解答】解：当a=4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域，由，解得，即A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y=a的下方，即满足不等式x+y＜a，即a＞1+1=2，由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S=（a﹣1﹣1）×（﹣1）=（a﹣2）2=4，即（a﹣2）2=16，即a﹣2=4或a﹣2=﹣4，解得a=6或a=﹣2（舍），故答案为：7，6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.在平面内，|AB|=4，P，Q满足kAP?kBP=﹣，kAQ?kBQ=﹣1，且对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，则|PQ|的取值范围是

．参考答案：[2﹣，2+]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），Q（s，t），由斜率公式可得P，Q的轨迹方程，对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，运用向量的坐标运算，结合二次函数的最值求法，可得m=﹣1，n=±，即P为定点，由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|，最大值为2+|OP|，进而得到所求范围．解答： 解：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），则kAP?kBP=﹣，可得?=﹣，化简可得m2+9n2=4，（m≠±2），设Q（s，t），由kAQ?kBQ=﹣1，可得s2+t2=4，（s≠±2），对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，=（m+2，n），=（4，0），即有|λ﹣|2=[（m+2）2+n2]λ2+16﹣8λ（m+2），配方可得最小值为16﹣=4，化简可得3n2=（2+m）2，又m2+9n2=4，解得m=﹣1，n=±，即有P（1，±），由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|=2﹣=2﹣；最大值为2+|OP|=2+．则有|PQ|的取值范围是[2﹣，2+]．故答案为：[2﹣，2+]．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查曲线的方程和运用，同时考查二次函数的最值的求法，圆的性质的运用，属于难题和易错题．17.设数集M=｛x|m≤x≤m+｝，N=｛x|n－≤x≤n｝，且M、N都是集合｛x|0≤x≤1｝的子集，如果把b－a叫作集合｛x|a≤x≤b｝的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是__________参考答案：__略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式选讲 设函数 （I）解不等式； （II）已知关于x的不等式a+3<f（x）恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案：

解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）------------------------（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）=f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min=﹣．∴a＜g（x）min=﹣------------------------------------------------（10分）

略19.（本小题满分12分）

已知函数，其中e为自然对数的底数

(I)当a=-1时，若不等式恒成立，求实数k的最大值；

(Ⅱ)若方程没有实数根，求实数a的取值范围参考答案：【知识点】函数恒成立问题

B9

B11(I)(II)﹣e2＜a＜0解析：（1）由题意得，﹣x+1≥kex恒成立，即k≤恒成立；令F（x）=，则F′（x）=；故F（x）=在（﹣∞，2）上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（2）=﹣e﹣2；故实数k的最大值为﹣e﹣2；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象没有交点；作g（x）=ex与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象如右图，设g（x）=ex与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）相切于点（x，ex）；则ex=，解得x=2；则结合图象可知，故0＜﹣a＜e2；故﹣e2＜a＜0．【思路点拨】（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化为k≤恒成立；令F（x）=，求导确定函数的最小值，从而求实数k的最大值；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象没有交点；结合图象求实数a的取值范围．20.(本小题满分12分)

如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。

(Ⅰ)证明：∥平面;

(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。参考答案：【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。21.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=2acosAcosB﹣2bsin2A．（1）求C；（2）若△ABC的面积为，周长为15，求c．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）a=2acosAcosB﹣2bsin2A，利用正弦定理，即可求C；（2）由△ABC的面积为得ab=15，由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），即可求c．【解答】解：（1）由正弦定理可得sinA=2sinAcosAcosB﹣2sinBsin2A…（2分）=2sinA（cosAcosB﹣sinBsinA）=2sinAcos（A+B）=﹣2sinAcosC．所以cosC=﹣，故C=．…（6分）（2）由△ABC的面积为得ab=15，…（8分）由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15﹣（a+b），解得c=7．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．22.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，不过原