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文档简介
广东惠州光正实验学校2023-2024学年高考数学五模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误2.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④3.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()A. B.C. D.4.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.5.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.6.将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为()A. B. C. D.7.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.8.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A. B.0 C.1 D.39.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.210.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.311.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知命题:任意,都有;命题:,则有.则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.14.已知一组数据,1,0,,的方差为10,则________15.函数的值域为_____.16.满足约束条件的目标函数的最小值是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y关于x的线性回归方程;(2)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润w取到最大值?参考公式:18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;(2)已知点是曲线上的任意一点,又直线上有两点和,且,又点的极角为,点的极角为锐角.求:①点的极角;②面积的取值范围.19.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.20.(12分)如图,在正四棱柱中,已知,.(1)求异面直线与直线所成的角的大小;(2)求点到平面的距离.21.(12分)已知数列的通项,数列为等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)已知函数,.(1)求的值;(2)令在上最小值为,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.2、D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.3、C【解析】
根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.4、B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.5、C【解析】
计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.6、C【解析】
根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.【详解】解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,,因为是奇函数,所以,解得,因为,所以的最小值为.故选:【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.7、A【解析】
设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,,,四边形为平行四边形,,(或补角)为直线与所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.8、C【解析】
先根据奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数,,用替换,得,化简得,即令,所以,故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。9、A【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.10、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;11、D【解析】
设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.12、B【解析】
先分别判断命题真假,再由复合命题的真假性,即可得出结论.【详解】为真命题;命题是假命题,比如当,或时,则不成立.则,,均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性,判断简单命题的真假是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.14、7或【解析】
依据方差公式列出方程,解出即可.【详解】,1,0,,的平均数为,所以解得或.【点睛】本题主要考查方差公式的应用.15、【解析】
利用配方法化简式子,可得,然后根据观察法,可得结果.【详解】函数的定义域为所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题,属基础题。16、-2【解析】
可行域是如图的菱形ABCD,代入计算,知为最小.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当时,年利润最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得关于的回归直线方程,由此求得关于的回归直线方程.方法二:根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.(2)求得w的表达式,根据二次函数的性质作出预测.【详解】(1)方法一:取,则得与的数据关系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,关于的线性回归方程是即,故关于的线性回归方程是.方法二:因为,,,,,所以,故关于的线性回归方程是,(2)年利润,根据二次函数的性质可知:当时,年利润最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法,考查利用回归直线方程进行预测,考查运算求解能力,属于中档题.18、(1)曲线为圆心在原点,半径为2的圆.的极坐标方程为(2)①②【解析】
(1)求得曲线伸缩变换后所得的参数方程,消参后求得的普通方程,判断出对应的曲线,并将的普通方程转化为极坐标方程.(2)①将的极角代入直线的极坐标方程,由此求得点的极径,判断出为等腰三角形,求得直线的普通方程,由此求得,进而求得,从而求得点的极角.②解法一:利用曲线的参数方程,求得曲线上的点到直线的距离的表达式,结合三角函数的知识求得的最小值和最大值,由此求得面积的取值范围.解法二:根据曲线表示的曲线,利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值,进而求得面积的取值范围.【详解】(1)因为曲线的参数方程为(为参数),因为则曲线的参数方程所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点,半径为2的圆.所以的极坐标方程为,即.(2)①点的极角为,代入直线的极坐标方程得点极径为,且,所以为等腰三角形,又直线的普通方程为,又点的极角为锐角,所以,所以,所以点的极角为.②解法1:直线的普通方程为.曲线上的点到直线的距离.当,即()时,取到最小值为.当,即()时,取到最大值为.所以面积的最大值为;所以面积的最小值为;故面积的取值范围.解法2:直线的普通方程为.因为圆的半径为2,且圆心到直线的距离,因为,所以圆与直线相离.所以圆上的点到直线的距离最大值为,最小值为.所以面积的最大值为;所以面积的最小值为;故面积的取值范围.【点睛】本小题考查坐标变换,极径与极角;直线,圆的极坐标方程,圆的参数方程,直线的极坐标方程与普通方程,点到直线的距离等.考查数学运算能力,包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可;(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优,从而求出满足条件的概率即可;(Ⅲ)求出满足的成绩有16个,求出满足条件的概率即可.【详解】解:(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件,由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀,所以所求概率约为(Ⅱ)设从图中考核成绩满足的学生中任取2人,至少有一人考核成绩优秀为事件,因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优,所以基本事件空间包含15个基本事件,事件包含9个基本事件,所以(Ⅲ)根据表格中的数据,满足的成绩有16个,所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题考查了茎叶图问题,考查概率求值以及转化思想,是一道常规题.20、(1);(2).【解析】
(1)建立空间坐标系,通过求向量与向量的夹角,转化为异面直线与直线所成的角的大小;(2)先求出面的一个法向量,再用点到面的距离公式算出即可.【详解】以为原点,所在直线分别为轴建系,设所以,,所以异面直线与直线所成的角的余弦值为,异面直线与直线所成的角的大小为.(2)因为,,设是面的一个法向量,所以有即,令,,故,又,所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离,意
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