平面向量的数量积讲义-高一下学期数学人教A版

课题：平面向量的数量积知识点一：平面向量数量积及其含义1．两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量和，作，，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°．（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥2．平面向量数量积（1）已知两个非零向量与，则数量||||·cosθ叫做与的数量积，记作·，即·＝||||cosθ，其中θ是与的夹角．【规定·＝0．当⊥时，θ＝90°，这时·＝0】（2）的几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．要点诠释1．平面向量数量积的计算方法（1）已知向量，的模及夹角，利用公式·＝||||cosθ，求解；（2）已知向量，的坐标，利用数量积的坐标形式求解．2．对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．典例强化例1．已知向量=(1，2)，=(1，1)，则=（）A．2B．2C．3D．4例2．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则在方向上的投影为（）A．B．2C．D．3例3．在中，，AB=3，AC=2．若，且，则的值为___________．举一反三1已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF则的值为（）A． B． C． D．2．已知向量=(2，3)，=(4，7)，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．3．在矩形ABCD中，，点F在边CD上，若，则的值为（）A．0B．C．4D．4知识点二：平面向量数量积的坐标表示、摸、夹角1．向量数量积的性质（1）如果是单位向量，则（2）（3）||2，||=．（4）(为与的夹角)（5）|·|||||．2．数量积的运算律：（1）交换律：·＝·（2）分配律：(+)·＝·+·．（3）对∈R，(·)＝()·＝·()．3．数量积的坐标运算：设＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则：（1）·＝a1b1＋a2b2．（2）⊥a1b1＋a2b2＝0．（3）||＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))．（4）＝．(为与的夹角)要点诠释1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π．3．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．典例强化例1．2．已知向量的夹角为，且，，则||=（）A．B．C．D．例2．设向量，，且，则的值为__________．例3．已知向量的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．举一反三1．已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．2．已知非零向量，满足4││=3││，cos<，>=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．–4 C． D．–3．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是．随堂基础巩固1．若向量=(2，0)，=(1，1)，则下列结论正确的是（）A．=1B．||=||C．D．2．若SKIPIF1<0||=1，||=2，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．3．已知向量，||=3，则=．4．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么的值为________．5．已知，SKIPIF1<0||=2，||=3，且与垂直，则实数的值为．6．已知向量=(1，2)，=(3，4)．（1）求+与的夹角；（2）若，求实数的值．课时跟踪训练1．设=(1，2)，=(1，1)，．若，则实数的值等于（）A．B．C．D．2．已知向量=(3，1)，=(1，3)，=(k，2)，若，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．3．，是两个向量，||=1，||=2且(+)，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．若非零向量，满足||=||，=0，则与的夹角为A．B．C．D．5．已知向量=(1，1)，2+=(4，2)，则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知平面向量，夹角为，且||=1，||=，则+2与的夹角是（）A．B．C．D．7．已知=(，)，||=2，|+2|=2，则在方向上的投影为__________．8．设向量=(1，)，=(m