人教A版选择性7.1.2全概率公式课件（32张）

7.1.2全概率公式1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式.

通过上一节的学习，我们知道，在求一个复杂事件的概率时，可以先将其表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，我们再看一个求复杂事件概率的问题.思考：从有a个红球和b个篮球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导过程.

用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到篮球”，i=1，2.如图所示，事件

R2

可按第1次可能的摸球结果表示为两个互斥事件的并，即.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)

利用概率的加法公式和乘法公式，得

上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.

一般地，设A1，A2，···，An是一组两两互斥的事件，

，且

，

，则对任意的事件

，有全概率公式我们称上面的公式为全概率公式.

全概率公式是概率论中最基本的公式之一.对全概率公式的理解使用全概率公式计算目标事件

B的概率，必须是找到样本空间Ω的一个事件组

A1，A2，…，An，它们满足：①两两互斥；②

，而这一事件组恰恰可以理解为是事件

B产生的几个原因．全概率公式相当于将产生

B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在．直观解释为如图，B

发生的概率与

有关，且

B

发生的概率等于所有这些概率的和，即例1.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲班的人数占总数的

，乙班的人数占总数的

，其中甲班中女生占甲班人数的

，乙班中女生占乙班人数的

.

求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．两个事件的全概率公式解：设A1=“调查的是甲班的同学”，A2=“调查的是乙班的同学”，B=“调查的同学是女生”

，则

，且

A1，A2互斥，

，由题意可知，

，

，且

，

，由全概率公式可知

全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2(或

A

与

)；(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率就是各种可能情形

Ai发生的可能性与已知在

Ai发生的条件下事件

B发生的可能性的乘积之和，即

．解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则

，且A1与B1互斥.根据题意得

，

，.由全概率公式，得因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.多个事件的全概率公式例2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，则

，且A1，A2，A3两两互斥.根据题意得

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件A1

发生的概率.类似地，可得

，.“化整为零”求全概率问题(1)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，3)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形

Ai发生的可能性与已知在

Ai发生的条件下事件

B发生的可能性的乘积之和，即.(2)在上例中，P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，

是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么

，

，

就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.将上例中的问题一般化，就可以得到贝叶斯公式.

贝叶斯公式：设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，

，且

，则对任意的事件

，

，有变式2.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：(1)在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率；(2)如果买到的是优质品，计算它是品牌甲的概率.品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%解：设B=“任买一个手机为优质品”，A1

=“手机为甲品牌”，A2

=“手机为乙品牌”，A3

=“手机为其他品牌”，则

，且A1，A2，A3两两互斥.根据表格得

，

，

，

，

，.(1)由全概率公式，得

(2)“如果买到的手机是优质品，计算它是甲品牌的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件A1

发生的概率.1.已知事件A，B，且

，

，

，则()A. B. C. D.解：C2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为，第二台的废品率为，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(

)A．0.21B．0.06C．0.94D．解：令B=“取到的零件为合格品”，Ai=“零件为第i台机床的产品”，i=1，2.由全概率公式得：D3．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为_______．解：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi

＝“从甲袋中取出的2球恰有

i

个白球”，i＝0，1，2.

由全概率公式4．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为，客车为，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________．解：设

B

表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．解：(1)设

A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)6.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为，乙厂每箱装120个，废品率为，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任