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文档简介
专题16几何压轴题1.(2022•杭州)在正方形中,点是边的中点,点在线段上(不与点重合),点在边上,且,连接,以为边在正方形内作正方形.(1)如图1,若,当点与点重合时,求正方形的面积.(2)如图2,已知直线分别与边,交于点,,射线与射线交于点.①求证:;②设,和四边形的面积分别为,.求证:.【答案】见解析【详解】(1)解:如图1,点是边的中点,若,当点与点重合,,,,在中,,正方形的面积;(2)如图2,①证明:四边形是正方形,,,四边形是正方形,,,,,,,,,,;②证明:四边形是正方形,,,四边形是正方形,,,,,,在和中,,,,,,,,,,,.2.(2021•杭州)如图,锐角三角形内接于,的平分线交于点,交边于点,连接.(1)求证:.(2)已知,,求线段的长(用含,的代数式表示).(3)已知点在线段上(不与点,点重合),点在线段上(不与点,点重合),,求证:.【答案】见解析【详解】(1)证明:平分,,又,;(2)解:由(1)知,,,,,;(3)证明:,,,,,又,,,.3.(2020•杭州)如图,已知,为的两条直径,连接,,于点,点是半径的中点,连接.(1)设的半径为1,若,求线段的长.(2)连接,,设与交于点,①求证:.②若,求的度数.【答案】见解析【详解】(1)解:,,,,,,是直径,,,,是等边三角形,,,,,.(2)①证明:过点作于,交于,连接.,,,,同理,,.,,四边形是平行四边形,.解法二:可以作中点,连接,,证明是平行四边形即可,得对角线互相平分.②,,,,,,,,,,是等腰直角三角形,.解法二:可以过点作交于点,连接.,,,,,,,,,,,,,,,,4.(2019•杭州)如图,已知锐角三角形内接于圆,于点,连接.(1)若,①求证:.②当时,求面积的最大值.(2)点在线段上,,连接,设,,是正数),若,求证:.【答案】见解析【详解】(1)①连接、,则,,;②长度为定值,面积的最大值,要求边上的高最大,当过点时,最大,即:,面积的最大值;(2)如图2,连接,设:,则,,则,,,,,即:,化简得:.备注:此题还可采用以下解法:连接,延长交于点,设,则,,则,.5.(2018•杭州)如图,在正方形中,点在边上(不与点,重合),连接,作于点,于点,设.(1)求证:.(2)连接,,设,.求证:.(3)设线段与对角线交于点,和四边形的面积分别为和,求的最大值.【答案】见解析【详解】(1)四边形是正方形,,,,,,,,,,,(2)由(1)知,,,,,在中,,在中,,,;(3)方法1、如图,四边形是正方形,,,,,,,,,设的边上的高为,的边上的高为,,,,,,,时,的最大值为,方法2、如图1,设正方形的边长为1,连接交于,过作交于,于,设,,,,,,,,,时,的最大值为.方法3、如图,连接,是正方形的对角线,,,,,,,,,时,的最大值为.6.(2022•上城区一模)如图1,已知矩形对角线和相交于点,点是边上一点,与相交于点,连结.(1)若点为的中点,求的值.(2)如图2,若点为中点,求证:.(3)如图2,若,,且,请用的代数式表示.【答案】见解析【详解】(1)解:矩形对角线和相交于点,点是的中点,点为的中点,是的中位线,,,,,;(2)证明:如图2,过作交于,矩形对角线和相交于点,,,,点为中点,,,,,;(3)解:如图3,过作交于,,,且,,,矩形对角线和相交于点,,,,,,,,,.7.(2022•拱墅区一模)如图,在锐角三角形中,,以为直径作,分别交,于点,,点是的中点,连接,交于点.(1)求证:.(2)若,,求线段的长(用含的代数式表示).(3)若,探索与的数量关系,并说明理由.【答案】见解析【详解】(1)证明:是的直径,,又,,;(2)解:如图,连接,是直径,,,,,;(3)解:,理由如下:如图,连接,,,点是的中点,,,,,,,,,,,.8.(2022•西湖区一模)如图,已知扇形的半径,,点,分别在半径,上(点不与点重合),连结.(1)当,时,求的长.(2)点是弧上一点,.①当点与点重合,点为弧的中点时,求证:.②当,时,求的值.【答案】见解析【详解】(1)解:,设,,,,,,;(2)①证明:连接,过点作于,于,点为弧的中点,,,又,,,又,,,,,,,,;②如图,过点作于,,,四边形是矩形,,,设,,则有,可得(不合题意的已经舍弃),,.9.(2022•钱塘区一模)如图,在中,,以为直径的分别交,于点,,连结,,与交于点.(1)求证:.(2)当时,求的度数.(3)连结,若,,求的长.【答案】见解析【详解】(1)证明:,,,,,;(2)解:为直径,,,,,,;(3)解:如图,连接,,是的中点,是的中点,是直径,,,,,,,,,,,,,即,,.10.(2022•淳安县一模)如图,在的外接中,交于点,延长至点,使得,连结,,其中与相交于点,连结交于点.(1)求证:四边形为菱形.(2)当和都与相切时,若的半径为2,求的长.(3)若,求的值.【答案】见解析【详解】(1)证明:如图1中,在的外接圆中,,,,四边形是平行四边形,,四边形是菱形;(2)解:如图2中,四边形是菱形,,,是的切线,,,,,,,,,,,,;(3)解:如图1中,,,,,,即,,且,,,,四边形是菱形;,,,由(2)知,,即,,,是的黄金分割点,且,.11.(2022•富阳区一模)如图,锐角的三边长分别为,,,的平分线交于点.交的外接圆于点,边的中点为.(1)求证:垂直;(2)求的值(用,,表示);(3)作的平分线交于点,若点关于点的对称点恰好落在的外接圆上,试探究,,应满足的数量关系.【答案】见解析【详解】(1)证明:平分,,,又是的中点,;(2)解:与分别是与所对的圆周角,,又是公共角,,,即,;同理,,,,,,;(3)如图,是的中点,点与点关于点对称,四边形是平行四边形,,点在圆上,,点是两个内角与的角平分线交点,平分,,设,则,,作,垂足为,在中,,,,,在中,根据勾股定理得,,.12.(2022•临安区一模)如图,的直径垂直于弦于点,,,点是延长线上异于点的一个动点,连结交于点,连结交于点,则点的位置随着点位置的改变而改变.(1)如图1,当时,求的值;(2)如图2,连结,,在点运动过程中,设,.①求证:;②求与之间的函数关系式.【答案】见解析【详解】(1)解:连接,如图,的直径垂直于弦于点,,,,,,,.,;(2)①证明:连接,如图,为的直径,,,,,,,.②解:,.四边形为圆的内接四边形,,,,,,与是等高的三角形,,,,.与之间的函数关系式为.13.(2022•钱塘区二模)已知,线段是的直径,弦于点,点是优弧上的任意一点,,.(1)如图1,①求的半径;②求的值.(2)如图2,直线交直线于点,直线交于点,连结交于点,求的值.【答案】见解析【详解】(1)如图1,连接、.①,,在中,设,,则,,,解得,即的半径为5;②,是直径,,.,,.(2)如图2,连接、.,,,,.是直径,,.,,.,,,,.14.(2022•西湖区校级一模)如图,是的直径,线于点,是弧上任意一点,延长,与的延长线交于点,连接,,.(1)求证:;(2)求证:;(3)若,,求的半径.【答案】见解析【详解】(1)证明:连接,,,,,,,,,,,即:;(2)解:,,,,,,,,,(3)解:,,,,在中,,,,,易知,,,的半径为4.15.(2022•萧山区校级一模)如图,、是的两条弦,的延长线交于点,连结、,若,则:(1)求证:;(2)当时,求;(3)若,且面积为2,求的面积.【答案】见解析【详解】(1)证明:,,,,,,,,,,,,;(2)解:如图2中,,,,,是等边三角形,;(3)解:,,,,,,,,(负值舍去),,,,,,,的面积.16.(2022•萧山区一模)如图,已知半径为的中,弦,交于点,连结,.设.(1)若.①求证:;②若,且,求的值;(2)若,且,求的值.【答案】见解析【详解】(1)①证明:如图,,.,,;②解:若,,.,.经过圆心,,,均为的直径,点与圆心重合,如图,,,;(2)解:连接,,,如图,若,为的直径,..,,,,..,,,,,,..17.(2022•滨江区一模)如图,在等边三角形中,点,分别是边,上的点,且,连接,交于点.(1)求证:;(2)若,求的值;(3)若点恰好落在以为直径的圆上,求的值.【答案】见解析【详解】(1)证明:是等边三角形,,,,,在与中,,;(2)解:过点作交于,,,设,,,,,,,的值;(3)连接,由(1)知:,,,,,、、、四点共圆,点恰好落在以为直径的圆上,,点也落在以为直径的圆上,,,连接,则,,,,.18.(2022•上城区二模)正方形边长为3,点是上一点,连结交于点.(1)如图1,若,求的值;(2)如图1,若,求证:点是的中点;(3)如图2,点为上一点,且满足,设,,试探究与的函数关系.【答案】见解析【详解】(1)解:四边形是正方形,,,,,,在中,由勾股定理得:,,解得:;(2)证明:由(1)得:,如图1,过点作于,,,,四边形是正方形,,,,,即,解得:,由(1)可知,,,即,解得:,,,即点是的中点;(3)解:由(1)得:,四边形是正方形,,,,,即,解得:,,,,,即,,,,,,与的函数关系为:.19.(2022•余杭区一模)如图1,在正方形中,点在射线上,从左往右移动(不与点,重合),连结,作于点,于点,设.(1)求证:;(2)连结,,设,,求证:点在射线上运动时,始终满足;(3)如图2,设线段与对角线交于点,和以点,,,为顶点的四边形的面积分别为和,当点在的延长线上运动时,求(用含的代数式表示).【答案】见解析【详解】(1)证明:四边形是正方形,,,,,,,,,在和中,,,;(2)证明:在中,,在中,,,,四边形是正方形,,,,,,,,,点在射线上运动时,始终满足;(3)解:过点作于,如图2所示:四边形是正方形,,,,又,,,,,,设正方形的边长为,则,,,,,,,是等腰直角三角形,,,,,.20.(2022•富阳区二模)如图1,在矩形中,与交于点,为上一点,与交于点.(1)若,,①求.②如图2,连接,当时,求的值.(2)设,记的面积为,四边形的面积为,求的最大值.【答案】见解析【详解】(1)①,,,,,,即,,,,,,;②过点作于点,在中,,,,在中,,,,,在中,,,,,;(2)设,,,,,,,,,,又,,,,,,,当时,的最大值为.21.(2022•西湖区校级模拟)如图所示,已知是的直径,、是上的两点.(1)若,求的度数;(2)当时,连接、,其中与直径相交于点,求证:;(3)在(2)的条件下,若,,求的值.【答案】见解析【详解】(1)解:如图1,是直径,,,,;(2)证明:如图2,,,,,,,,,;(3)解:如图3,过点作于点,,,,,,是直径,是等腰直角三角形,,,,,,,平分,,,,设,则,,,即,解得:,,.22.(2022•富阳区一模)如图1,已知,,,,点是射线上的一个动点,连接,点是线段的中点,连接,过点作,交的延长线于点.设,.(1)求关于的函数关系式;(2)如图2,为的中点,连接,若与相似,求的长;(3)若为等腰三角形,请直接写出的正切值.【答案】见解析【详解】(1)如图1,延长交于点,,,点是线段的中点,,在和中,,,,,,,,在中,,,,,,,,,,,,,;(2)如图2,过点作于点,则,,四边形是矩形,,,,在中,,,,与相似,或,当时,,,,,由(1)知:,,解得:,经检验,是原方程的根,;当时,,,点是线段的中点,,,,解得:,,经检验,,,均是原方程的解,但表示线段的长,,,;综上所述,的长为或;(3)如图1,为等腰三角形,或或,当时,,,,,;当时,,如图2,,,不符合题意;当时,如图3,,,,,,是的中点,,,,与重合,,;综上所述,或.23.(2022•西湖区校级二模)如图1,在中,,,于点,是边上(与点,不重合)的动点,连接交于点,过,,三点作交的延长线于点,连接,.(1)①线段的长为;②求证:;(2)如图2,连接,若与相切,求此时的半径;(3)在点的运动过程中,试探究线段与半径之间的数量关系,并说明理由.【答案】见解析【详解】(1)①解:如图1,,,,,,,,,,故答案为:4;②证明:如图1,连接,,,四边形是的内接四边形,,,,,,,,垂直平分,,,,,;(2)解:如图2,连接并延长交于,连接,由②得,,经过圆心,,是的切线,,,,又,,,,,,,,,,四边形是菱形,,,,,,,,在和中,根据勾股定理得,,,,即,解得,;(3)解:,理由如下:如图2,连接,由(2)可知,,,,,又,,,,,,,即,.24.(2022•西湖区校级模拟)如图在正六边形中,是边上一点,交于,交于.(1)求的度数;(2)记,,,求证:;(3)连结,,若,求的值.【答案】见解析【详解】(1)正六边形,,,,,同理,,所以的度数是;(2)解:如图,作交于,作交于,正六边形,,,,,,,,,,是等边三角形,,同理,是等边三角形,,设,,则,,,,,,,四边形是平行四边形,四边形是平行四边形,,,,即;(3)解:如图,延长、交于点,过点作于,过点作于,正六边形,,,,,,,设,,则,由(2)知:,,,在中,,,,,,,在中,,,,在中,,,,在中,,,,,,,.所以的值等于.25.(2022•下城区校级二模)如图所示,已知是的直径,、是上的两点,连结、,,线段与直径相交于点.(1)若,求的值.(2)当时,①若,,求的度数.②若,,求线段的长.【答案】见解析【详解】(1)是的直径,,,,,,,答:的值是;(2)①,,,,,,,,,即的度数为;②,,,,,,,,,线段的长为.26.(2022•杭州模拟)如图1所示,已知,是的直径,是延长线的一点,的弦交于点,且,.(1)如图1,求证:是的切线;(2)在图1中连结,,若,求的值;(3)如图2,连结交于点,过作于点,若,.求的长.【答案】见解析【详解】(1)证明:是的直径,,,,,是圆的直径,,又,,,为的半径,是的切线.(2)是的直径,,又,,,,,,,,设,则,,,,.(3),.在中,由勾股定理得,,,,,即,,在中,由勾股定理得,于点,,,,,设为,则为,,,,,解得,在中,由勾股定理得
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