专题16 【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年浙江杭州中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题16几何压轴题1．（2022•杭州）在正方形中，点是边的中点，点在线段上（不与点重合），点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．（1）如图1，若，当点与点重合时，求正方形的面积．（2）如图2，已知直线分别与边，交于点，，射线与射线交于点．①求证：；②设，和四边形的面积分别为，．求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，点是边的中点，若，当点与点重合，，，，在中，，正方形的面积；（2）如图2，①证明：四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，；②证明：四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．2．（2021•杭州）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．（1）求证：．（2）已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．（3）已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．【答案】见解析【详解】（1）证明：平分，，又，；（2）解：由（1）知，，，，，；（3）证明：，，，，，又，，，．3．（2020•杭州）如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接．（1）设的半径为1，若，求线段的长．（2）连接，，设与交于点，①求证：．②若，求的度数．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，，，，是直径，，，，是等边三角形，，，，，．（2）①证明：过点作于，交于，连接．，，，，同理，，．，，四边形是平行四边形，．解法二：可以作中点，连接，，证明是平行四边形即可，得对角线互相平分．②，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．解法二：可以过点作交于点，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，4．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．（1）若，①求证：．②当时，求面积的最大值．（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．【答案】见解析【详解】（1）①连接、，则，，；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，当过点时，最大，即：，面积的最大值；（2）如图2，连接，设：，则，，则，，，，，即：，化简得：．备注：此题还可采用以下解法：连接，延长交于点，设，则，，则，．5．（2018•杭州）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，作于点，于点，设．（1）求证：．（2）连接，，设，．求证：．（3）设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值．【答案】见解析【详解】（1）四边形是正方形，，，，，，，，，，，（2）由（1）知，，，，，在中，，在中，，，；（3）方法1、如图，四边形是正方形，，，，，，，，，设的边上的高为，的边上的高为，，，，，，，时，的最大值为，方法2、如图1，设正方形的边长为1，连接交于，过作交于，于，设，，，，，，，，，时，的最大值为．方法3、如图，连接，是正方形的对角线，，，，，，，，，时，的最大值为．6．（2022•上城区一模）如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连结．（1）若点为的中点，求的值．（2）如图2，若点为中点，求证：．（3）如图2，若，，且，请用的代数式表示．【答案】见解析【详解】（1）解：矩形对角线和相交于点，点是的中点，点为的中点，是的中位线，，，，，；（2）证明：如图2，过作交于，矩形对角线和相交于点，，，，点为中点，，，，，；（3）解：如图3，过作交于，，，且，，，矩形对角线和相交于点，，，，，，，，，．7．（2022•拱墅区一模）如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，，点是的中点，连接，交于点．（1）求证：．（2）若，，求线段的长（用含的代数式表示）．（3）若，探索与的数量关系，并说明理由．【答案】见解析【详解】（1）证明：是的直径，，又，，；（2）解：如图，连接，是直径，，，，，；（3）解：，理由如下：如图，连接，，，点是的中点，，，，，，，，，，，．8．（2022•西湖区一模）如图，已知扇形的半径，，点，分别在半径，上（点不与点重合），连结．（1）当，时，求的长．（2）点是弧上一点，．①当点与点重合，点为弧的中点时，求证：．②当，时，求的值．【答案】见解析【详解】（1）解：，设，，，，，，；（2）①证明：连接，过点作于，于，点为弧的中点，，，又，，，又，，，，，，，，；②如图，过点作于，，，四边形是矩形，，，设，，则有，可得（不合题意的已经舍弃），，．9．（2022•钱塘区一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，，与交于点．（1）求证：．（2）当时，求的度数．（3）连结，若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：为直径，，，，，，；（3）解：如图，连接，，是的中点，是的中点，是直径，，，，，，，，，，，，，即，，．10．（2022•淳安县一模）如图，在的外接中，交于点，延长至点，使得，连结，，其中与相交于点，连结交于点．（1）求证：四边形为菱形．（2）当和都与相切时，若的半径为2，求的长．（3）若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1中，在的外接圆中，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：如图2中，四边形是菱形，，，是的切线，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图1中，，，，，，即，，且，，，，四边形是菱形；，，，由（2）知，，即，，，是的黄金分割点，且，．11．（2022•富阳区一模）如图，锐角的三边长分别为，，，的平分线交于点．交的外接圆于点，边的中点为．（1）求证：垂直；（2）求的值（用，，表示）；（3）作的平分线交于点，若点关于点的对称点恰好落在的外接圆上，试探究，，应满足的数量关系．【答案】见解析【详解】（1）证明：平分，，，又是的中点，；（2）解：与分别是与所对的圆周角，，又是公共角，，，即，；同理，，，，，，；（3）如图，是的中点，点与点关于点对称，四边形是平行四边形，，点在圆上，，点是两个内角与的角平分线交点，平分，，设，则，，作，垂足为，在中，，，，，在中，根据勾股定理得，，．12．（2022•临安区一模）如图，的直径垂直于弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，则点的位置随着点位置的改变而改变．（1）如图1，当时，求的值；（2）如图2，连结，，在点运动过程中，设，．①求证：；②求与之间的函数关系式．【答案】见解析【详解】（1）解：连接，如图，的直径垂直于弦于点，，，，，，，．，；（2）①证明：连接，如图，为的直径，，，，，，，．②解：，．四边形为圆的内接四边形，，，，，，与是等高的三角形，，，，．与之间的函数关系式为．13．（2022•钱塘区二模）已知，线段是的直径，弦于点，点是优弧上的任意一点，，．（1）如图1，①求的半径；②求的值．（2）如图2，直线交直线于点，直线交于点，连结交于点，求的值．【答案】见解析【详解】（1）如图1，连接、．①，，在中，设，，则，，，解得，即的半径为5；②，是直径，，．，，．（2）如图2，连接、．，，，，．是直径，，．，，．，，，，．14．（2022•西湖区校级一模）如图，是的直径，线于点，是弧上任意一点，延长，与的延长线交于点，连接，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的半径．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，，，，，，，，，，，即：；（2）解：，，，，，，，，，（3）解：，，，，在中，，，，，易知，，，的半径为4．15．（2022•萧山区校级一模）如图，、是的两条弦，的延长线交于点，连结、，若，则：（1）求证：；（2）当时，求；（3）若，且面积为2，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，，，，，，；（2）解：如图2中，，，，，是等边三角形，；（3）解：，，，，，，，，（负值舍去），，，，，，，的面积．16．（2022•萧山区一模）如图，已知半径为的中，弦，交于点，连结，．设．（1）若．①求证：；②若，且，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】见解析【详解】（1）①证明：如图，，．，，；②解：若，，．，．经过圆心，，，均为的直径，点与圆心重合，如图，，，；（2）解：连接，，，如图，若，为的直径，．．，，，，．．，，，，，，．．17．（2022•滨江区一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点．（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若点恰好落在以为直径的圆上，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，，在与中，，；（2）解：过点作交于，，，设，，，，，，，的值；（3）连接，由（1）知：，，，，，、、、四点共圆，点恰好落在以为直径的圆上，，点也落在以为直径的圆上，，，连接，则，，，，．18．（2022•上城区二模）正方形边长为3，点是上一点，连结交于点．（1）如图1，若，求的值；（2）如图1，若，求证：点是的中点；（3）如图2，点为上一点，且满足，设，，试探究与的函数关系．【答案】见解析【详解】（1）解：四边形是正方形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：；（2）证明：由（1）得：，如图1，过点作于，，，，四边形是正方形，，，，，即，解得：，由（1）可知，，，即，解得：，，，即点是的中点；（3）解：由（1）得：，四边形是正方形，，，，，即，解得：，，，，，即，，，，，，与的函数关系为：．19．（2022•余杭区一模）如图1，在正方形中，点在射线上，从左往右移动（不与点，重合），连结，作于点，于点，设．（1）求证：；（2）连结，，设，，求证：点在射线上运动时，始终满足；（3）如图2，设线段与对角线交于点，和以点，，，为顶点的四边形的面积分别为和，当点在的延长线上运动时，求（用含的代数式表示）．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）证明：在中，，在中，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，点在射线上运动时，始终满足；（3）解：过点作于，如图2所示：四边形是正方形，，，，又，，，，，，设正方形的边长为，则，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，．20．（2022•富阳区二模）如图1，在矩形中，与交于点，为上一点，与交于点．（1）若，，①求．②如图2，连接，当时，求的值．（2）设，记的面积为，四边形的面积为，求的最大值．【答案】见解析【详解】（1）①，，，，，，即，，，，，，；②过点作于点，在中，，，，在中，，，，，在中，，，，，；（2）设，，，，，，，，，，又，，，，，，，当时，的最大值为．21．（2022•西湖区校级模拟）如图所示，已知是的直径，、是上的两点．（1）若，求的度数；（2）当时，连接、，其中与直径相交于点，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求的值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，是直径，，，，；（2）证明：如图2，，，，，，，，，；（3）解：如图3，过点作于点，，，，，，是直径，是等腰直角三角形，，，，，，，平分，，，，设，则，，，即，解得：，，．22．（2022•富阳区一模）如图1，已知，，，，点是射线上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接，过点作，交的延长线于点．设，．（1）求关于的函数关系式；（2）如图2，为的中点，连接，若与相似，求的长；（3）若为等腰三角形，请直接写出的正切值．【答案】见解析【详解】（1）如图1，延长交于点，，，点是线段的中点，，在和中，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，；（2）如图2，过点作于点，则，，四边形是矩形，，，，在中，，，，与相似，或，当时，，，，，由（1）知：，，解得：，经检验，是原方程的根，；当时，，，点是线段的中点，，，，解得：，，经检验，，，均是原方程的解，但表示线段的长，，，；综上所述，的长为或；（3）如图1，为等腰三角形，或或，当时，，，，，；当时，，如图2，，，不符合题意；当时，如图3，，，，，，是的中点，，，，与重合，，；综上所述，或．23．（2022•西湖区校级二模）如图1，在中，，，于点，是边上（与点，不重合）的动点，连接交于点，过，，三点作交的延长线于点，连接，．（1）①线段的长为；②求证：；（2）如图2，连接，若与相切，求此时的半径；（3）在点的运动过程中，试探究线段与半径之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析【详解】（1）①解：如图1，，，，，，，，，，故答案为：4；②证明：如图1，连接，，，四边形是的内接四边形，，，，，，，，垂直平分，，，，，；（2）解：如图2，连接并延长交于，连接，由②得，，经过圆心，，是的切线，，，，又，，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，，，，，在和中，根据勾股定理得，，，，即，解得，；（3）解：，理由如下：如图2，连接，由（2）可知，，，，，又，，，，，，，即，．24．（2022•西湖区校级模拟）如图在正六边形中，是边上一点，交于，交于．（1）求的度数；（2）记，，，求证：；（3）连结，，若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）正六边形，，，，，同理，，所以的度数是；（2）解：如图，作交于，作交于，正六边形，，，，，，，，，，是等边三角形，，同理，是等边三角形，，设，，则，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，，即；（3）解：如图，延长、交于点，过点作于，过点作于，正六边形，，，，，，，设，，则，由（2）知：，，，在中，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，，，．所以的值等于．25．（2022•下城区校级二模）如图所示，已知是的直径，、是上的两点，连结、，，线段与直径相交于点．（1）若，求的值．（2）当时，①若，，求的度数．②若，，求线段的长．【答案】见解析【详解】（1）是的直径，，，，，，，答：的值是；（2）①，，，，，，，，，即的度数为；②，，，，，，，，，线段的长为．26．（2022•杭州模拟）如图1所示，已知，是的直径，是延长线的一点，的弦交于点，且，．（1）如图1，求证：是的切线；（2）在图1中连结，，若，求的值；（3）如图2，连结交于点，过作于点，若，．求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：是的直径，，，，，是圆的直径，，又，，，为的半径，是的切线．（2）是的直径，，又，，，，，，，，设，则，，，，．（3），．在中，由勾股定理得，，，，，即，，在中，由勾股定理得，于点，，，，，设为，则为，，，，，解得，在中，由勾股定理得