2024届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末教学质量调测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题一、选择题1.已知集合或，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，则，由或，得，所以.故选：C2.若（，为虚数单位），则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，则.故选：B3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C.4.已知平面向量，，若，则（）A.或 B.或C.或3 D.或3〖答案〗A〖解析〗，且，，即，，即，或.故选：A.5.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D6.直线交曲线于点A，B，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗即，则直线恒过定点,且圆的圆心为,将点代入圆方程得，设圆心到直线的距离为，则，因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点到圆心的距离，即，故选：B.7.已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：B.8.若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，设，则，设，则在上恒成立，在上单调递增，且，当时，在单调递增，，即，当时，则，不妨取，即，当时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，，，，即，而有在上恒成立，，即，综上可得.故选：C.二、选择题9.已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗当时，；当时，或，故A正确；当时，，若，则解集为空集；若，则不等式的解为：，故C正确；若，则不等式的解为：，故D正确.故选：ACD10.已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗AD〖解析〗对AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，故AD正确；对C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，故C错误；对B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，故B错误.故选：AD.11.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.数列为等比数列 B.C.当且仅当时，取得最大值 D.〖答案〗AB〖解析〗等差数列中，，解得，，解得，于是等差数列的公差，，前项和，对于A，显然，，因此数列是等比数列，A正确；对于B，，B正确；对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，因此当或时，取得最大值，C错误；对于D，，显然数列是等差数列，因此，D错误.故选：AB12.双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（）A.当时，点在的内切圆上B.C.D.当时，〖答案〗AB〖解析〗对A，当点位于双曲线右支时，设的内切圆与分别切于点，，，根据圆的切线性质，有，再根据双曲线的定义，有，，得到，设，则有，解得，即，所以当时，点在的内切圆上，故A正确；对B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点，若点在双曲线左侧，此时左准线方程为，则，则，根据可得，若点在双曲线右侧，此时右准线方程为，则，则，根据可得，对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线，因此，结合，得到，同理当点在双曲线左支上时，由于为的角平分线，因此，解得，故B正确；对C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴，根据A选项的结论可知的横坐标为，设，根据三角形的面积公式，有，即得到，故C错误；对D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得，同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得，显然，，则，故D错误.故选：AB.三、填空题13.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为___________.〖答案〗270〖解析〗由展开式的二项式系数之和为，解得，所以展开式的通项公式为，令，解得，所以含项的系数为.故〖答案〗为：270.14.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是___________〖答案〗5〖解析〗，时，或，因为函数定义域为，则在左端点处无法取到极值，，故对于正整数取5，经检验满足题意，故〖答案〗为：5.15.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是___________.〖答案〗〖解析〗如图，因为，所以球心在的延长线上，因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，设，，则，解得，所以半径，所以外接球的表面积为.故〖答案〗为：16.已知为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过点的直线交C于A、B两点，直线、分别交C于M、N，则的最小值为___________〖答案〗9〖解析〗设，直线：，则，得，所以，则，由过焦点，设直线：，则，得，所以，则，同理可得，所以，，则，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周长的取值范围.解：（1）由已知得，，则根据正弦定理得，，为锐角三角形，．（2）由正弦定理得，即，则，，因为，解得，得，所以，得．18.已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.解：（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，，，，，则，，，又，，.（2）由（1）得，，当时，，当时，，.19.临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.解：（1）由题意知：，所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：，，，，，所以随机变量X的分布列为X01234P所以随机变量X的期望为；②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，所以.20.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.（1）求证：；（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.（1）证明：取的中点，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，，则，令，则，则设平面的法向量为则，令，所以，若平面平面，则，求得，此时，所以．即此时.21.已知椭圆：与圆交于M，N两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于D、E两点，记直线，的斜率分别为，.（1）求椭圆的离心率；（2）若，求的值.解：（1）由已知得，中点为，设，则，，，作差得，即，由得，，得.（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，则其右焦点，，，设，直线的方程为，，，过作轴的垂线交分别于点，，则直线，令，则，得同理直线，得得，所以由（※）知，，得．.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若方程有两个解，求证：.（1）解：函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）证明：由（1）知，函数在，上的取值集合均为，当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，即证，而，只证，又，即证，而，即证：，亦即，设，求导得，设，求导得，函数在上单调递增，即，而，于是，因此，函数在上单调递增，有，令，求导得，则函数在上单调递减，于是，即，从而，所以.

浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题一、选择题1.已知集合或，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，则，由或，得，所以.故选：C2.若（，为虚数单位），则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，则.故选：B3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C.4.已知平面向量，，若，则（）A.或 B.或C.或3 D.或3〖答案〗A〖解析〗，且，，即，，即，或.故选：A.5.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D6.直线交曲线于点A，B，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗即，则直线恒过定点,且圆的圆心为,将点代入圆方程得，设圆心到直线的距离为，则，因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点到圆心的距离，即，故选：B.7.已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：B.8.若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，设，则，设，则在上恒成立，在上单调递增，且，当时，在单调递增，，即，当时，则，不妨取，即，当时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，，，，即，而有在上恒成立，，即，综上可得.故选：C.二、选择题9.已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗当时，；当时，或，故A正确；当时，，若，则解集为空集；若，则不等式的解为：，故C正确；若，则不等式的解为：，故D正确.故选：ACD10.已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗AD〖解析〗对AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，故AD正确；对C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，故C错误；对B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，故B错误.故选：AD.11.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.数列为等比数列 B.C.当且仅当时，取得最大值 D.〖答案〗AB〖解析〗等差数列中，，解得，，解得，于是等差数列的公差，，前项和，对于A，显然，，因此数列是等比数列，A正确；对于B，，B正确；对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，因此当或时，取得最大值，C错误；对于D，，显然数列是等差数列，因此，D错误.故选：AB12.双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（）A.当时，点在的内切圆上B.C.D.当时，〖答案〗AB〖解析〗对A，当点位于双曲线右支时，设的内切圆与分别切于点，，，根据圆的切线性质，有，再根据双曲线的定义，有，，得到，设，则有，解得，即，所以当时，点在的内切圆上，故A正确；对B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点，若点在双曲线左侧，此时左准线方程为，则，则，根据可得，若点在双曲线右侧，此时右准线方程为，则，则，根据可得，对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线，因此，结合，得到，同理当点在双曲线左支上时，由于为的角平分线，因此，解得，故B正确；对C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴，根据A选项的结论可知的横坐标为，设，根据三角形的面积公式，有，即得到，故C错误；对D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得，同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得，显然，，则，故D错误.故选：AB.三、填空题13.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为___________.〖答案〗270〖解析〗由展开式的二项式系数之和为，解得，所以展开式的通项公式为，令，解得，所以含项的系数为.故〖答案〗为：270.14.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是___________〖答案〗5〖解析〗，时，或，因为函数定义域为，则在左端点处无法取到极值，，故对于正整数取5，经检验满足题意，故〖答案〗为：5.15.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是___________.〖答案〗〖解析〗如图，因为，所以球心在的延长线上，因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，设，，则，解得，所以半径，所以外接球的表面积为.故〖答案〗为：16.已知为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过点的直线交C于A、B两点，直线、分别交C于M、N，则的最小值为___________〖答案〗9〖解析〗设，直线：，则，得，所以，则，由过焦点，设直线：，则，得，所以，则，同理可得，所以，，则，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周长的取值范围.解：（1）由已知得，，则根据正弦定理得，，为锐角三角形，．（2）由正弦定理得，即，则，，因为，解得，得，所以，得．18.已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.解：（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，，，，，则，，，又，，.（2）由（1）得，，当时，，当时，，.19.临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.解：（1）由题意知：，所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：，，，，，所以随机变量X的分布列为X01234P所以随机变量X的期望为；②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质