2023-2024学年江苏省东台市高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3江苏省东台市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上．一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）1.已知直线与直线互相垂直，则m为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗两直线垂直，则有，即，解得.故选：C2.在等比数列中，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在等比数列中，，由等比数列的基本性质可得，故.故选：A.3.已知函数的导数为，则＝（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗则.故选：D.4.已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（）．A. B. C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗由题意知圆，即圆，圆心为，半径，圆，即圆，圆心为，半径，则，即两圆相交，将圆和圆的方程相减，可得直线的方程为，则到直线的距离为，故弦的长为，故选：A5.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗抛物线的准线方程为，焦点为，由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故.故选：B.6.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（）A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤〖答案〗C〖解析〗设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列为公差为等差数列.因为绵的总数为斤，所以，解得.故选：C.7.设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，由椭圆和双曲线的定义得，解得，在中，由余弦定理得，代入得，整理得，同除以得，即，所以，又，所以，故选：B.8.设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（）．A. B.C D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为：，且，.因为函数存在两个极值点，所以方程：在有两个不同的解，所以：，且，.所以：.设，则，由，得，由得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为：.所以.故选：B二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）9.已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（）．A.的取值范围是B.若直线l经过圆M的圆心，则的值为C.当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为D.若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A项，圆的标准方程为：，圆心为，半径，因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离，即，解得，所以取值范围是，故A项正确；对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确；对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线，则圆心M到直线l的距离，得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误；对于D项，因为，所以为等边三角形，则圆心M到直线CD的距离为：，所以，得或，故D项错误，故选：AB10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对；，，代入C，D选项验证，C正确；D选项右边，D错误.故选：BC11.己知直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（）．A.B.为定值C.线段AB的中点在一条定直线上D.为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）〖答案〗ACD〖解析〗联立直线方程与抛物线方程，可得；对A：由直线与抛物线交于A,B两点，可得，解得，故A正确；对B：因为、，故可得，故B错误；对C：设中点为，故可得；故中点在定直线上，故C正确；对D：为定值，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，其中，则（）．A不等式对恒成立B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.不需写出解答过程，请把〖答案〗写在答题纸的指定位置上.）13.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．〖答案〗〖解析〗根据题意可得，故可得，则，则右焦点坐标为，一条渐近线为，右焦点到一条渐近线的距离.故〖答案〗为：.14.在数列中，，则_________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，所以数列的周期为3，所以.故〖答案〗为：15.已知为椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________．〖答案〗2〖解析〗由椭圆定义可知，，有，由，P，Q关于坐标原点对称，故四边形为矩形，则有，故，四边形的面积.故〖答案〗为：2.16.已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗由，在存在零点，即在上有解，令，，则恒成立，故在上单调递增，故，即，令，，则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，当时，，即有，故，即实数a的最大值是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把〖答案〗写在答题纸的指定区域内.）17.在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．己知等差数列的前n项和为，，__________，__________．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由于是等差数列，设公差为d，当选①②，，解得所以的通项公式选①③，，解得，所以的通项公式选②③，，解得，所以的通项公式（2）由（1）知，，所以，所以．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：在上单调递增．解：（1）因为，所以,所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知，，因为所以，又，所以，所以在上单调递增.19.已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值．解：（1）由条件知，，故．即双曲线标准方程为.（2）设，O到直线l的距离为h，联立得，由，解得，而又由，故弦长，解得，故．20.已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8．（1）求，的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值．解：（1）由可得，当时，，两式相减得，，即，，即可得是等差数列．由，得，即．由题意得，即，解得或，是递增的等比数列，，所以，得，，即；（2）由（1）得：若存在使得成立，等价于存在使得能成立，设，则，是递减数列，故的最大值为，因此的最大值为.21.已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由条件，即，解得．故椭圆C的方程．（2）方法一：当直线l的斜率不存在时，，，；当直线l的斜率存在时，不妨设，联立直线和椭圆方程可得，显然，且，从而综上所述，存在常数，使得.方法二：不妨设，，联立直线和椭圆方程可得，显然，，，又，故.故存在常数，使得.22.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若，函数有两个零点，且，求证：．解：（1）当时，，，令，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，从而，即恒成立，则的单调增区间为，无单调减区间．（2）当时，，，令，则，令，解得，由，解得，由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，由于，则，，要证，则证即可．又，则，代入，则证即可．构造函数，则，故为增函数，，即在时成立．从而成立，即成立，即成立．江苏省东台市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上．一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）1.已知直线与直线互相垂直，则m为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗两直线垂直，则有，即，解得.故选：C2.在等比数列中，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在等比数列中，，由等比数列的基本性质可得，故.故选：A.3.已知函数的导数为，则＝（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗则.故选：D.4.已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（）．A. B. C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗由题意知圆，即圆，圆心为，半径，圆，即圆，圆心为，半径，则，即两圆相交，将圆和圆的方程相减，可得直线的方程为，则到直线的距离为，故弦的长为，故选：A5.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗抛物线的准线方程为，焦点为，由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故.故选：B.6.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（）A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤〖答案〗C〖解析〗设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列为公差为等差数列.因为绵的总数为斤，所以，解得.故选：C.7.设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，由椭圆和双曲线的定义得，解得，在中，由余弦定理得，代入得，整理得，同除以得，即，所以，又，所以，故选：B.8.设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（）．A. B.C D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为：，且，.因为函数存在两个极值点，所以方程：在有两个不同的解，所以：，且，.所以：.设，则，由，得，由得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为：.所以.故选：B二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）9.已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（）．A.的取值范围是B.若直线l经过圆M的圆心，则的值为C.当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为D.若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A项，圆的标准方程为：，圆心为，半径，因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离，即，解得，所以取值范围是，故A项正确；对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确；对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线，则圆心M到直线l的距离，得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误；对于D项，因为，所以为等边三角形，则圆心M到直线CD的距离为：，所以，得或，故D项错误，故选：AB10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对；，，代入C，D选项验证，C正确；D选项右边，D错误.故选：BC11.己知直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（）．A.B.为定值C.线段AB的中点在一条定直线上D.为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）〖答案〗ACD〖解析〗联立直线方程与抛物线方程，可得；对A：由直线与抛物线交于A,B两点，可得，解得，故A正确；对B：因为、，故可得，故B错误；对C：设中点为，故可得；故中点在定直线上，故C正确；对D：为定值，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，其中，则（）．A不等式对恒成立B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.不需写出解答过程，请把〖答案〗写在答题纸的指定位置上.）13.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．〖答案〗〖解析〗根据题意可得，故可得，则，则右焦点坐标为，一条渐近线为，右焦点到一条渐近线的距离.故〖答案〗为：.14.在数列中，，则_________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，所以数列的周期为3，所以.故〖答案〗为：15.已知为椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________．〖答案〗2〖解析〗由椭圆定义可知，，有，由，P，Q关于坐标原点对称，故四边形为矩形，则有，故，四边形的面积.故〖答案〗为：2.16.已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗由，在存在零点，即在上有解，令，，则恒成立，故在上单调递增，故，即，令，，则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，当时，，即有，故，即实数a的最大值是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把〖答案〗写在答题纸的指定区域内.）17.在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．己知等差数列的前n项和为，，__________，__________．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由于是等差数列，设公差为d，当选①②，，解得所以的通项公式选①③，，解得，所以的通项公式选②③，，解得，所以的通项公式（2）由（1）知，，所以，所以．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：在上单调递增．解：（1）因为，所以,所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知，，因为所以，又，所以，所以在上单调递增.19.已知双曲线，焦点为