2024届陕西省部分学校高三下学期二模考试数学试题(文)（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题(文)一、选择题1.复数的虚部为（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得,故复数的虚部为4,故选：A.2.若，则a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，当时，可变为，符合题意；当时，由，得，即，解得或且；综上，实数a的取值范围为.故选：D.3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗模拟程序的运行，可得：，不满足条件，，不满足条件，，不满足条件，，满足条件，输出，故选：C4.某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（）A.19人 B.18人 C.17人 D.16人〖答案〗C〖解析〗由题意知某医院有医生750人，护士1600人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生抽取（人），护士抽取（人），故样本中，医生比护士少17人，故选：C5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，.故选:C.6.已知为等比数列，且，则（）A.216 B.108 C.72 D.36〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为，由题意，所以.故选：A7.已知曲线在点处的切线与圆相切，则的半径为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，故切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为.又因为与圆相切，所以的半径.故选：C.8.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，M是C上一点，垂直于x轴，N为x轴上一点，且，若的面积为45，则（）A.3 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗由题意知抛物线的焦点为,由于垂直于x轴，故令,代入得,不妨设M在第一象限，则，由于，故的斜率为，则的方程为，令，得，即，由的面积为45，得，即，故选：C9.在三棱锥中，平面，,且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，在三棱锥中，平面，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示：则体对角线即为外接球的直径，由于，，所以，即外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：A.10.已知正项数列满足对任意正整数n，均有，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知正项数列满足对任意正整数n，均有，，故，，故，故，故选：B11.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗双曲线的渐近线方程为，其中，所以到的距离为，因此，，，则，由，得，解得.故选：B12.已知，是函数的两个零点，则（）A.1 B.e C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可知，故时，则可得，而，是函数的两个零点，令，则图象必有两交点且，是两交点的横坐标，由于，即的图象关于点对称，而，即的图象也关于点对称，故的交点关于点对称，则，故，故选：D.二、填空题13.已知向量，，若，则__________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.故〖答案〗：.14.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为__________．〖答案〗〖解析〗甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有种方法，从4人中选2人，共有种方法，所以甲被选中的概率为，所以甲未被选中的概率为.故〖答案〗为：15.先将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，向左平移个单位长度得到，令，，解得，，可取，则.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.16.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：日降雨量等级小雨中雨大雨暴雨某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为______．参考公式：圆台的体积，其中h为圆台的高，，分别为圆台的上底面、下底面的面积．〖答案〗大雨〖解析〗由题意知，水桶的上底面半径为，下底面半径为，桶深为，则水面半径为，水深为，所以水桶水中的体积为，得当日降雨量为，所以当日的降雨量等级为大雨.故〖答案〗为：大雨三、解答题（一）必考题17.锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以.由为锐角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因为，，所以，所以的面积.18.为了提高市民参观的体验感，某博物馆需要招募若干志愿者对馆藏文物进行整理．已知整理所需时长y（单位：小时）与招募的志愿者人数x（单位：人）的数据统计如下表：志愿者人数x12345整理时长y70m504035（1）若，求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程，若博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，求博物馆至少需要招募的志愿者人数．附：线性回归方程中，，．解：（1）由于，故，则，，，故，，故y关于x的线性回归方程为；（2）令，解得，而，故，故博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，博物馆至少需要招募的志愿者人数为7.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，E是的中点．（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离．（1）证明：如图所示，连接交于F点，连接，由直四棱柱的性质可知F是及的中点，所以是的一条中位线，即，又平面，平面，所以平面；（2）解：如图所示，作，交延长线于M，由直四棱柱的特征易知底面，面，所以，又平面，故面，因为底面ABCD为菱形，，，所以，则，易知到平面的距离相等，设点B到平面的距离为，则，解之得.20.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论零点的个数．解：（1）当时，，定义域为，，令，则；令，则，故的单调递增区间为，递减区间为；（2）由，得，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，又，当时，，当时，，当x无限趋近于0时，无限接近于0，作出函数的图象如图：

故当或时，与的图象有1个交点，即有1个零点；当时，与的图象有2个交点，即有2个零点；当，与的图象无交点，即无零点.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8.（1）求的方程.（2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）将代入可得，所以解得，，故的方程为.（2）为定值，定值为.理由如下：依题可设直线的方程为，，，联立方程组整理得，则，.易知，，直线的方程为，则直线的方程为，令，得，同理可得..故定值，且该定值为.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若l与C没有公共点，求m的取值范围．解：（1）由题知：，即曲线C的普通方程为；因为直线l极坐标方程为，所以，又因为，所以直线l的直角坐标方程为，即．（2）由（1）可联立方程，则或.[选修4-5，不等式选讲]23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围．解：（1）当时，不等式，即，当时，有，解得，即；当时，有，得，此时；当时，有，得，此时；故不等式的解集为；（2）恒成立，即恒成立，而，当且仅当时取等号，故需恒成立，即或，解得或或；故a的取值范围为.陕西省部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题(文)一、选择题1.复数的虚部为（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得,故复数的虚部为4,故选：A.2.若，则a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，当时，可变为，符合题意；当时，由，得，即，解得或且；综上，实数a的取值范围为.故选：D.3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗模拟程序的运行，可得：，不满足条件，，不满足条件，，不满足条件，，满足条件，输出，故选：C4.某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（）A.19人 B.18人 C.17人 D.16人〖答案〗C〖解析〗由题意知某医院有医生750人，护士1600人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生抽取（人），护士抽取（人），故样本中，医生比护士少17人，故选：C5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，.故选:C.6.已知为等比数列，且，则（）A.216 B.108 C.72 D.36〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为，由题意，所以.故选：A7.已知曲线在点处的切线与圆相切，则的半径为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，故切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为.又因为与圆相切，所以的半径.故选：C.8.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，M是C上一点，垂直于x轴，N为x轴上一点，且，若的面积为45，则（）A.3 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗由题意知抛物线的焦点为,由于垂直于x轴，故令,代入得,不妨设M在第一象限，则，由于，故的斜率为，则的方程为，令，得，即，由的面积为45，得，即，故选：C9.在三棱锥中，平面，,且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，在三棱锥中，平面，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示：则体对角线即为外接球的直径，由于，，所以，即外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：A.10.已知正项数列满足对任意正整数n，均有，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知正项数列满足对任意正整数n，均有，，故，，故，故，故选：B11.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗双曲线的渐近线方程为，其中，所以到的距离为，因此，，，则，由，得，解得.故选：B12.已知，是函数的两个零点，则（）A.1 B.e C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可知，故时，则可得，而，是函数的两个零点，令，则图象必有两交点且，是两交点的横坐标，由于，即的图象关于点对称，而，即的图象也关于点对称，故的交点关于点对称，则，故，故选：D.二、填空题13.已知向量，，若，则__________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.故〖答案〗：.14.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为__________．〖答案〗〖解析〗甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有种方法，从4人中选2人，共有种方法，所以甲被选中的概率为，所以甲未被选中的概率为.故〖答案〗为：15.先将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，向左平移个单位长度得到，令，，解得，，可取，则.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.16.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：日降雨量等级小雨中雨大雨暴雨某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为______．参考公式：圆台的体积，其中h为圆台的高，，分别为圆台的上底面、下底面的面积．〖答案〗大雨〖解析〗由题意知，水桶的上底面半径为，下底面半径为，桶深为，则水面半径为，水深为，所以水桶水中的体积为，得当日降雨量为，所以当日的降雨量等级为大雨.故〖答案〗为：大雨三、解答题（一）必考题17.锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以.由为锐角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因为，，所以，所以的面积.18.为了提高市民参观的体验感，某博物馆需要招募若干志愿者对馆藏文物进行整理．已知整理所需时长y（单位：小时）与招募的志愿者人数x（单位：人）的数据统计如下表：志愿者人数x12345整理时长y70m504035（1）若，求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程，若博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，求博物馆至少需要招募的志愿者人数．附：线性回归方程中，，．解：（1）由于，故，则，，，故，，故y关于x的线性回归方程为；（2）令，解得，而，故，故博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，博物馆至少需要招募的志愿者人数为7.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，E是的中点．（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离．（1）证明：如图所示，连接交于F点，连接，由直四棱柱的性质可知F是及的中点，所以是的一条中位线，即，又平面，平面，所以平面；（2）解：如图所示，作，交延长线于M，由直四棱柱的特征易知底面，面，所以，又平面，故面，因为底面ABCD为菱形，，，所以，则，易知到平面的距离相等，设点B到平面的距离为，则，解之得.20.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论零点的个数．解：（1）当时，，定义域为，，令，则；令，则，故的单调递增区间为，递减区间为；（2）由，得，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，又，当时，，当时，，当x无限趋近于0时