2024届辽宁省高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省2024届高三二模数学试题一､选择题1.某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（）A.100 B.101 C.101.5 D.102〖答案〗D〖解析〗先将数据由小到大排序:88，89，94，96，98，98，99，100，101，102，114，116，又，故这组数据的第80百分位数是第10个数据102.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，故选：B.3.展开式中的系数为（）A15 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗展开式中：若提供常数项3，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得．可知时，可得展开式中的系数为．可知时，可得展开式中的系数为．展开式中的系数为：．故选：A．4.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．5.已知是表面积为的球的球面上的三个点,且则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设球的半径为，因为球的表面积为，解得.在中，由余弦定理可得，所以的外接圆半径为，所以，设的外接圆的圆心为，则平面，则球心到平面的距离为，则，所以三棱锥的体积为.故选：D6.已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示由题意知，解得记的右焦点为，即，由双曲线的定义，得，即所以，当且仅当点在线段上时等号成立,所以的最小值为.故选：C.7.在中，内角的对边分别为，且，则的值为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，化简得，即，因为，当且仅当时等号成立，又，故，因为，故，则，由,则,整理得,故故选:A.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，综上所述，，故选：B.二､多选题9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若为异面直线，，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，若，是两个不同的平面，则可得，即A正确；对于B，若，当都平行于两平面的交线时，，可知B错误；对于C，若，则可能会，即C错误；对于D，若，又为异面直线，所以，即D正确.故选：AD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递减C.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗，对于A，的周期为，A正确，对于B，当，则，故B错误，对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确，对于D，，则，故，故，D正确，故选：ACD11.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意知，.设，，，，显然.那么由经过点，有，也就是，即，也就是，也就是，同时，经过点，所以，也就是，也就是，也就是，也就是，同理，，综上，我们有，，，，，，，，.故，，所以，，，.这就得到：，所以，A错误；，所以，B正确；由于，故，同理，这就说明，且相似比为.所以，，得C,D正确.故选：BCD.三､填空题12.若复数，则__________．〖答案〗〖解析〗,,故〖答案〗为：13.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，满足，且当,时，，，，，，，．故〖答案〗为：．14.如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗设，则，故，故，当时，，即时，此时取最小值.故〖答案〗为：．四､解答题15.已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1）因为，所以，则，因为函数在点处的切线与直线垂直，故，解得；（2）因为，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下：30+0↘极小值↗极大值↘故的单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.16.如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，点是棱的中点所以，所以,所以，设平面法向量为，则，令，则，，所以平面法向量．设平面法向量为，则，令，则，所以平面的法向量．由于，故，因此平面平面；（2）解：由（1）知平面的法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．解：（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，故这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估能被招飞院校录取的概率分别为，所以能被招飞院校录取的概率为，能被招飞院校录取的概率为，能被招飞院校录取的概率为，由题知，的可能取值为，所以，，，，所以的分布列为.18.如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．（1）记直线的斜率分别为，求的值；（2）求点到直线的距离的最大值．解：（1）设，所以又，所以，又，所以（2）由题意可知，解得所以椭圆的方程为当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去，得，则，所以，由（1）知，所以,整理得，所以，整理得，即，解得，或当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，舍去；当，直线的方程为，过定点当直线的斜率不存在时，易得，所以直线的方程为，由，消去，得，解得，或，所以，同理得，此时直线的方程是，过定点综上，直线过定点又，所以点到直线的距离的最大值为.19.如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．（1）若，求的值；（2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；（3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）（1）解：由题：令则，即，故，得，又，同理可得，.（2）证明：由题意，故，从而，即，因为，所以即，故数列是等差数列.（3）证明：因为,则，解得，又，故是以为首项，公比为的等比数列，则，即，当n为奇数时，，易知单调递减，故，得，进一步有；当n为偶数时，，易知单调递增，故，即，得，进一步有；综上，，易知当n为偶数时，由，得即，无解；当n为奇数时，由,得即，故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17.辽宁省2024届高三二模数学试题一､选择题1.某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（）A.100 B.101 C.101.5 D.102〖答案〗D〖解析〗先将数据由小到大排序:88，89，94，96，98，98，99，100，101，102，114，116，又，故这组数据的第80百分位数是第10个数据102.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，故选：B.3.展开式中的系数为（）A15 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗展开式中：若提供常数项3，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得．可知时，可得展开式中的系数为．可知时，可得展开式中的系数为．展开式中的系数为：．故选：A．4.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．5.已知是表面积为的球的球面上的三个点,且则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设球的半径为，因为球的表面积为，解得.在中，由余弦定理可得，所以的外接圆半径为，所以，设的外接圆的圆心为，则平面，则球心到平面的距离为，则，所以三棱锥的体积为.故选：D6.已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示由题意知，解得记的右焦点为，即，由双曲线的定义，得，即所以，当且仅当点在线段上时等号成立,所以的最小值为.故选：C.7.在中，内角的对边分别为，且，则的值为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，化简得，即，因为，当且仅当时等号成立，又，故，因为，故，则，由,则,整理得,故故选:A.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，综上所述，，故选：B.二､多选题9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若为异面直线，，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，若，是两个不同的平面，则可得，即A正确；对于B，若，当都平行于两平面的交线时，，可知B错误；对于C，若，则可能会，即C错误；对于D，若，又为异面直线，所以，即D正确.故选：AD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递减C.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗，对于A，的周期为，A正确，对于B，当，则，故B错误，对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确，对于D，，则，故，故，D正确，故选：ACD11.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意知，.设，，，，显然.那么由经过点，有，也就是，即，也就是，也就是，同时，经过点，所以，也就是，也就是，也就是，也就是，同理，，综上，我们有，，，，，，，，.故，，所以，，，.这就得到：，所以，A错误；，所以，B正确；由于，故，同理，这就说明，且相似比为.所以，，得C,D正确.故选：BCD.三､填空题12.若复数，则__________．〖答案〗〖解析〗,,故〖答案〗为：13.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，满足，且当,时，，，，，，，．故〖答案〗为：．14.如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗设，则，故，故，当时，，即时，此时取最小值.故〖答案〗为：．四､解答题15.已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1）因为，所以，则，因为函数在点处的切线与直线垂直，故，解得；（2）因为，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下：30+0↘极小值↗极大值↘故的单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.16.如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，点是棱的中点所以，所以,所以，设平面法向量为，则，令，则，，所以平面法向量．设平面法向量为，则，令，则，所以平面的法向量．由于，故，因此平面平面；（2）解：由（1）知平面的法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．解：（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，故这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估能被招飞院校录取的概率分别为，所以能被招飞院校录取的概率为，能被招飞院校录取的概率为，能被招飞