2022-2023学年山东省泰安肥城市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安肥城市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限.故选：C.2.下列向量的运算结果不正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，所以A正确；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D正确.故选：B.3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，，则sinB=（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得.故选：A.4.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度〖答案〗B〖解析〗因为，所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象.故选：B.5.湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗因为，所以又可得米.故选：D.6.在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据向量的运算法则，可得，所以.故选：A.7已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A．8.已知，向量绕着点顺时针方向旋转角得到，则（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗作，设点在角的终边上，则，则，，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，是方程的两个虚数根，则（）A.的取值范围为 B.的共轭复数是C. D.为纯虚数〖答案〗BCD〖解析〗由，得，A错误；因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.10.已知向量，则（）A.当时，B.当时，三点共线C.当时，D.当时，是锐角〖答案〗ABC〖解析〗，所以，选项A正确；三点共线，所以选项B正确；，，，选项C正确；当时，三点共线，由B可知，选项D错误.故选：ABC.11.中，分别为内角的对边，则（）A.若，则为等腰直角三角形B.若，则等腰三角形C.若，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，得，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；对于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，所以B正确；对于C，由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，所以C错误；对于D，因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，因，所以，所以D正确.故选：BD.12.某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗设，由图知，，解得，所以，假设，则即，，，，，，，对于选项A：，，所以，故选项A正确；对于选项B：，，显然最大值为，所以不一定成立，故选项B错误；对于选项C：，，所以，故选项C正确；对于选项D：，，所以，因为，所以，即，所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，复数，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.14.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______.〖答案〗〖解析〗因为向量是平面内的一组基底，与共线，所以即，所以解得：.故〖答案〗为：.15.已知函数是偶函数，写出满足条件的角的一个取值______.〖答案〗（只需写出满足的一个值）〖解析〗，因为是偶函数，所以，得，故〖答案〗为：（只需写出满足的一个值）.16.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗因为等边三角形中，，点为的中点，设，则，所以当时，取最小值，最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，其中.（1）当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.（2）复数的长度记作，求的最大值.解：（1）因为当时，表示实数，所以，所以，又因为当时表示纯虚数，所以，且所以，从而.（2）因为，当时，，则取得最大值，此时的最大值为.18.已知梯形中，，，三个顶点.（1）求顶点的坐标；（2）求在上的投影向量.解：（1）设顶点，已知三个顶点，所以，因为且，所以，即，所以，解得：，即顶点的坐标为顶点.（2）可求得，设的夹角为，则，设，所以在上的投影向量为：或19.的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若点D在BC边的延长上，且，证明：.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以化简为，又，所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以，由（1）可知：，所以，所以，，所以.20.在直角坐标系中，以为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点，．（1）证明：；（2）已知，为锐角，，，求的值．解：（1）由三角函数的定义知，，，设，，设与的夹角为，则，得，又，所以，又，得，因此，所以.（2）由，为锐角，得，由，，得，，所以.21.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足.已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）（盛水筒在水面下时，则为负数）.（1）将距离表示成旋转时间的函数；（2）求筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？解：（1）由题意可知，由于，所以得，因为时，，所以，由，可求得，从而，所以，其中.（2）当盛水筒位于水面以下时，应满足，即，可列不等式，解得，因为，所以当时，；当时，；当时，，由，可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟.22.如图在五边形中，，，.（1）求线段的长；（2）设，的面积记为，则有，求的表达式，并求的最大值.解：（1）解法一：由题意可得与的夹角是，与的夹角是，与的夹角是，又知，所以，因为，所以有，所以.解法二：连接，在中，，所以，因为，所以，因为，所以，即，在中，.（2）在中，因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以当，即时，所以最大值是.山东省泰安肥城市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限.故选：C.2.下列向量的运算结果不正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，所以A正确；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D正确.故选：B.3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，，则sinB=（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得.故选：A.4.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度〖答案〗B〖解析〗因为，所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象.故选：B.5.湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗因为，所以又可得米.故选：D.6.在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据向量的运算法则，可得，所以.故选：A.7已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A．8.已知，向量绕着点顺时针方向旋转角得到，则（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗作，设点在角的终边上，则，则，，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，是方程的两个虚数根，则（）A.的取值范围为 B.的共轭复数是C. D.为纯虚数〖答案〗BCD〖解析〗由，得，A错误；因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.10.已知向量，则（）A.当时，B.当时，三点共线C.当时，D.当时，是锐角〖答案〗ABC〖解析〗，所以，选项A正确；三点共线，所以选项B正确；，，，选项C正确；当时，三点共线，由B可知，选项D错误.故选：ABC.11.中，分别为内角的对边，则（）A.若，则为等腰直角三角形B.若，则等腰三角形C.若，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，得，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；对于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，所以B正确；对于C，由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，所以C错误；对于D，因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，因，所以，所以D正确.故选：BD.12.某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗设，由图知，，解得，所以，假设，则即，，，，，，，对于选项A：，，所以，故选项A正确；对于选项B：，，显然最大值为，所以不一定成立，故选项B错误；对于选项C：，，所以，故选项C正确；对于选项D：，，所以，因为，所以，即，所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，复数，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.14.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______.〖答案〗〖解析〗因为向量是平面内的一组基底，与共线，所以即，所以解得：.故〖答案〗为：.15.已知函数是偶函数，写出满足条件的角的一个取值______.〖答案〗（只需写出满足的一个值）〖解析〗，因为是偶函数，所以，得，故〖答案〗为：（只需写出满足的一个值）.16.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗因为等边三角形中，，点为的中点，设，则，所以当时，取最小值，最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，其中.（1）当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.（2）复数的长度记作，求的最大值.解：（1）因为当时，表示实数，所以，所以，又因为当时表示纯虚数，所以，且所以，从而.（2）因为，当时，，则取得最大值，此时的最大值为.18.已知梯形中，，，三个顶点.（1）求顶点的坐标；（2）求在上的投影向量.解：（1）设顶点，已知三个顶点，所以，因为且，所以，即，所以，解得：，即顶点的坐标为顶点.（2）可求得，设的夹角为，则，设，所以在上的投影向量为：或19.的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若点D在BC边的延长上，且，证明：.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以化简为，又，所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以，由（1）可知：，所以，所以，，所以.20.在直角坐标系中，以为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点，．（1）证明：；（2）已知，为锐角，，，求的值．解：（1）由三角函数的定义知，，