2024届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2北京市昌平区2024届高三上学期期末质量抽测数学试题第一部分（选择题共40分）一､选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意全集，集合，.故选：B.2.在复平面内，复数和对应的点分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，，则.故选：A3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.4.已知，则（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，则；令，可得，则；令，，则.故选：C.5.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A选项，在上单调递增，不合要求，错误；B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误；D选项，令得，，在上单调递增，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D6.设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（）A.充分必要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，则，作出函数图象，，由图象可知成立，但显然不为减函数；若为减函数，又，则，所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.故选：B7.已知点在圆上，点坐标为为原点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，因点的坐标为，所以，则，设，即，依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，即圆心到的距离，解得，所以的取值范围为，故选：D.8.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根据正弦定理可知，不妨设，由，所以的周长是.故选：C9.已知函数，则（）A.B.不是周期函数C.在区间上存在极值D.在区间内有且只有一个零点〖答案〗D〖解析〗对于A，，所以，故A错误；对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.故选：D.10.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为正方体棱长为1，，所以，不妨设，所以，而，所以点到直线的投影数量的绝对值为，所以点到直线距离，等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.故选：C.第二部分（非选择题）二､填空题11.已知，则__________．〖答案〗〖解析〗由题知，，又，所以，所以.故〖答案〗为：12.抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______．〖答案〗7〖解析〗设，抛物线的焦点为，则由抛物线的定义可得，所以，故点到轴的距离为7，故〖答案〗为：7.13.已知数列的前项和满足，且成等差数列，则__________；__________．〖答案〗〖解析〗由数列的前项和满足，当时，，两式相减可得，又由成等差数列，所以，即，解得，所以数列是以2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.故〖答案〗为：；.14.若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题知，当时，递增，当时，递增，又在定义域上不是单调函数，所以，即.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）15.已知数列．给出下列四个结论：①；②；③为递增数列；④，使得．其中所有正确结论的序号是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根据题意可知，因为，所以，即①正确；则，即，故③错误；依次递推有，，，，故②正确；因为，所以，则，依次可知，所以，故④正确.故〖答案〗为：①②④三､解答题16.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是中点，直线交平面于点．（1）求证：点是的中点；（2）求二面角的大小．（1）证明：由题意，面，平面，所以面，又直线交平面于点，即面面，所以，又因为，所以，又因为点是的中点，所以点是的中点.（2）解：因为平面，平面，所以，又因为，所以两两垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为底面是直角梯形，，，点是的中点，点是的中点.所以，所以，不妨设面和面的法向量分别为，所以有和，不妨令，则解得，即取面和面的一个法向量分别为，不妨设面和面的夹角为，则，所以，而显然二面角是钝角，所以其大小为.17.在中，．（1）求角的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．解：（1）由正弦定理得，因为在中，，所以，又因为，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若选条件①：，条件②：，则由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面积存在但唯一确定，故不符合题意；若选条件①：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意；若选条件②：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意.18.某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研,统计该款车车主对所购汽车性能的评分,将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明解：（1）由频率分布直方图可知；（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比，任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四种情况，，，，，故的分布列为：90008000700060000.0270.1890.4410.343则；（3）由题意可知，可知当时取得最大值.证明如下：设最大，即，所以，化简得，因为，故.19.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值．解：（1）由题意可知，又离心率为，即椭圆方程为：；（2）设直线，，则，因为以线段为直径的圆恒过点，所以，联立直线与椭圆，所以，则，由，，整理得或，易知时不符题意，所以.20.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求的单调区间；（3）判断极值点的个数，并说明理由．解：（1）由题意知，定义域为，所以，所以直线的斜率，，所以切线方程为，即.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，当，，当，，当，，所以在，单调递增，在单调递减.（3）个极值点，理由如下：由（2）知当时，区间上单调递增，，，所以存在唯一，使；当时，在区间上单调递减，，，所以存在唯一，使；当时，，，所以所以在区间无零点；综上，当，，当，，当，，所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；故有个极值点.21.已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．（1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；（2）若，证明：；（3）设，若，求的最小值．（1）解：31是，1024不是，理由如下：由题意可知，当时，有，显然若时，，而，故31是可表数，1024不是可表数；（2）证明：由题意可知若，即，设，即使得，所以，且成立，故，所以若，则，即中的元素个数不能超过中的元素，对于确定的，中最多有个元素，所以；（3）解：由题意可设，使，又，所以，即，而，即当时，取时，为可表数，因为，由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，使，所以，令，则有，设，由的任意性，对任意的，都有，又因为，所以对于任意的，为可表数，综上，可知的最小值为，其中满足，又当时，，所以的最小值为.北京市昌平区2024届高三上学期期末质量抽测数学试题第一部分（选择题共40分）一､选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意全集，集合，.故选：B.2.在复平面内，复数和对应的点分别为，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，，则.故选：A3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.4.已知，则（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，则；令，可得，则；令，，则.故选：C.5.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A选项，在上单调递增，不合要求，错误；B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误；D选项，令得，，在上单调递增，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D6.设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（）A.充分必要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，则，作出函数图象，，由图象可知成立，但显然不为减函数；若为减函数，又，则，所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.故选：B7.已知点在圆上，点坐标为为原点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，因点的坐标为，所以，则，设，即，依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，即圆心到的距离，解得，所以的取值范围为，故选：D.8.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根据正弦定理可知，不妨设，由，所以的周长是.故选：C9.已知函数，则（）A.B.不是周期函数C.在区间上存在极值D.在区间内有且只有一个零点〖答案〗D〖解析〗对于A，，所以，故A错误；对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.故选：D.10.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为正方体棱长为1，，所以，不妨设，所以，而，所以点到直线的投影数量的绝对值为，所以点到直线距离，等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.故选：C.第二部分（非选择题）二､填空题11.已知，则__________．〖答案〗〖解析〗由题知，，又，所以，所以.故〖答案〗为：12.抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______．〖答案〗7〖解析〗设，抛物线的焦点为，则由抛物线的定义可得，所以，故点到轴的距离为7，故〖答案〗为：7.13.已知数列的前项和满足，且成等差数列，则__________；__________．〖答案〗〖解析〗由数列的前项和满足，当时，，两式相减可得，又由成等差数列，所以，即，解得，所以数列是以2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.故〖答案〗为：；.14.若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题知，当时，递增，当时，递增，又在定义域上不是单调函数，所以，即.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）15.已知数列．给出下列四个结论：①；②；③为递增数列；④，使得．其中所有正确结论的序号是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根据题意可知，因为，所以，即①正确；则，即，故③错误；依次递推有，，，，故②正确；因为，所以，则，依次可知，所以，故④正确.故〖答案〗为：①②④三､解答题16.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是中点，直线交平面于点．（1）求证：点是的中点；（2）求二面角的大小．（1）证明：由题意，面，平面，所以面，又直线交平面于点，即面面，所以，又因为，所以，又因为点是的中点，所以点是的中点.（2）解：因为平面，平面，所以，又因为，所以两两垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为底面是直角梯形，，，点是的中点，点是的中点.所以，所以，不妨设面和面的法向量分别为，所以有和，不妨令，则解得，即取面和面的一个法向量分别为，不妨设面和面的夹角为，则，所以，而显然二面角是钝角，所以其大小为.17.在中，．（1）求角的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．解：（1）由正弦定理得，因为在中，，所以，又因为，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若选条件①：，条件②：，则由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面积存在但唯一确定，故不符合题意；若选条件①：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意；若选条件②：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意.18.某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研,统计该款车车主对所购汽车性能的评分,将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明解：（1）由频率分布直方图可知；（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比，任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四种情况，，，，，故的分布列为：90008000700060000.0270.1890.4410.343则；（3）由题意可知，可知当时取得最大值.证明如下：设最大，即，所以，化简得，因为，故.19.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2