2022-2023学年山东省青岛市莱西市高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省青岛市莱西市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中错误的为（）A.圆心和圆上的两点可确定一个平面B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形〖答案〗A〖解析〗对于A：由不在同一直线上的三个点可以确定一个平面，如果圆心和圆上的两点在圆的同一条直径上时，这时三点共线，此时过三点的平面有无数个，故A选项错误；对于B：根据棱锥的定义，其底面是多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形，所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B选项正确；对于C：由正棱锥的定义和性质可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C选项正确；对于D：由平行六面体的概念和性质可得，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故D选项正确.故选：A.2.在中，，若，则下列结论正确的为（）A.一定为钝角三角形 B.一定不为直角三角形C.一定为锐角三角形 D.可为任意三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D.3.下列等式成立的为（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗A选项：，A错误；B选项：，B错误；C选项：，C正确；D选项：，D错误.故选：C.4.在中，，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理及得：，不妨记，因为，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.5.已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示：因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，由图象知：，所以.故选；C.6.如图，在正方体中，下列结论错误的为（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成的角为C.直线平面D.平面与平面所成的二面角为〖答案〗D〖解析〗对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故，故直线与直线所成的角为，故A正确；对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确；对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故，同理，又，平面，故平面，故C正确；对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.故选：D.7.已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量与向量垂直，所以，所以，因为向量与向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即与的夹角为.故选：C.8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（）A. B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，由正弦定理得，又，所以，所以当即时，面积的最大值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则且B.若，则C若，则D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，若，则结论不成立，错误；对于B，如图：设，在l上选一点S，分别在平面内作，在PS和QS上分别选点P，Q，过P，Q作的垂线，则有，所以四边形SQTP是平行四边形，相交于T点，又，四边形是矩形，，又，正确；对于C，如图：，在n上选一点S，在平面内作直线SP，使得，令为，在平面内作直线QS，使得，由于，则根据二面角的定义有，，又，正确；对于D，如图：，在平面内作直线，使得，如果不平行于n，则由于同在平面内，则必定相交于一点P，则，在平面内，过P点作直线，使得，则有，与平行线的传递性质矛盾，，正确.故选：BCD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.函数的单调增区间为D.为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度〖答案〗AD〖解析〗，A选项，，A选项正确；B选项，，所以B选项错误；C选项，由，解得，所以的单调递增区间是，C选项错误；D选项，将函数的图象向右平行移动个单位长度，得到的图象，D选项正确.故选：AD.11.已知，则下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，则C.若，则的值域为 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，且，所以，所以，所以，错误；对于B，因为，所以，所以，即，所以，所以，正确；对于C，，其中，因为，所以，错误；对于D，因为，所以，平方得，即，所以，正确.故选：BD.12.在中，三个内角所对的边分别为，若，则下列结论一定正确的为（）A. B.C.为直角三角形 D.〖答案〗AC〖解析〗因为，由正弦定理得，因为，化简得，则，，所以，故A正确；由余弦定理得，即，即，解得或，当时，，则，，当时，，则，，故BD错误，C正确.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设，则与的夹角为_________．〖答案〗〖解析〗设与的夹角为，，.故〖答案〗为：.14.如果一个圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么这个圆锥的侧面积和球的表面积之比为______.〖答案〗〖解析〗设球的直径为，则球的表面积，又圆锥的底面直径和高是，所以圆锥的侧面积为，所以圆锥的侧面积和球的表面积之比为.故〖答案〗为：.15.在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则_________．〖答案〗5〖解析〗因为，所以的最大内角为边长的边所对应的角，因为最大角的正弦值为，又对于非等边三角形，最大角大于，所以最大角的余弦为，由余弦定理可得，又，所以.故〖答案〗为：.16.如果平面，直线，点满足：，且直线与所成的角为直线与直线所成的角为，那么与所成角的大小为_________．〖答案〗〖解析〗如图，设在平面上的投影为，在平面上的投影为直线，其中为与在平面上的投影直线的交点，则，由题意，与所成的角为，且，故与所成的角，由，，故，又，，故，又，平面，故平面，过作于，连接，则因为，故，又，平面，故平面，又平面，故，又与直线所成的角为，即，则，，，故，即，故，则，又平面，平面，故，则，又，故与所成角为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面∥平面．解：（1）连接，交于，连接，在平行六面体中，为平行四边形，为中点，为的中点，平面平面，平面.（2）在平行六面体中，，，为的中点，为的中点，，为平行四边形，从而，平面平面，平面，由（1）可知：平面，平面平面，且，平面平面.18.试分别解答下列两个小题：（1）已知，设与的夹角为，求；（2）已知，若与共线，且，求的坐标．解：（1），∴，，，从而.（2）设，，，解得：，从而，与共线，设，则，，或.19.如图，在四面体，分别是的中点．（1）求证：；（2）在上能否找到一点，使平面？请说明理由；（3）若，求证：平面平面．解：（1）取的中点，连接，在中，，同理，而平面，又平面.（2）在上能找到一点，使平面，此时为的中点，证明如下：连接，是的中点，，平面平面，平面，的中点即为所求．（3），公共边，，从而，由（1）可知：，，即，，平面，∴平面，面，∴平面平面．20.在中，内角的对边分别为，若.（1）求的值；（2）若的周长为5，求外接圆的半径与内切圆半经的比值.解：（1）因为，所以，所以，即，所以，所以，即.（2）由（1）知，所以，又的周长为5，所以，由余弦定理得，所以，解得，因为，且，所以，所以，从而，由正弦定理得，所以，所以.21.在中，三个内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）延长至点，使满足：，求.解：（1）因为，由余弦定理可变形为，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，又，所以.（2）在中，由（1）可知，所以，由正弦定理可得，所以，在中，因为，所以，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以，即，整理化简得，所以.22.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为．（1）求证：平面平面；（2）求四棱倠内切球的表面积．解：（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）是边长为2的一个菱形，，正三角形，从而，因为，所以为异面直线与所成的角，所以，设，在中，，在中，，在中，由余弦定理可得：，即，，，设四棱锥的内切球的半径为，由（1）可知：，又为中点，，，同理：，，四棱锥体积：，，从而．山东省青岛市莱西市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中错误的为（）A.圆心和圆上的两点可确定一个平面B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形〖答案〗A〖解析〗对于A：由不在同一直线上的三个点可以确定一个平面，如果圆心和圆上的两点在圆的同一条直径上时，这时三点共线，此时过三点的平面有无数个，故A选项错误；对于B：根据棱锥的定义，其底面是多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形，所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B选项正确；对于C：由正棱锥的定义和性质可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C选项正确；对于D：由平行六面体的概念和性质可得，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故D选项正确.故选：A.2.在中，，若，则下列结论正确的为（）A.一定为钝角三角形 B.一定不为直角三角形C.一定为锐角三角形 D.可为任意三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D.3.下列等式成立的为（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗A选项：，A错误；B选项：，B错误；C选项：，C正确；D选项：，D错误.故选：C.4.在中，，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理及得：，不妨记，因为，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.5.已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示：因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，由图象知：，所以.故选；C.6.如图，在正方体中，下列结论错误的为（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成的角为C.直线平面D.平面与平面所成的二面角为〖答案〗D〖解析〗对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故，故直线与直线所成的角为，故A正确；对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确；对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故，同理，又，平面，故平面，故C正确；对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.故选：D.7.已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量与向量垂直，所以，所以，因为向量与向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即与的夹角为.故选：C.8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（）A. B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，由正弦定理得，又，所以，所以当即时，面积的最大值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则且B.若，则C若，则D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，若，则结论不成立，错误；对于B，如图：设，在l上选一点S，分别在平面内作，在PS和QS上分别选点P，Q，过P，Q作的垂线，则有，所以四边形SQTP是平行四边形，相交于T点，又，四边形是矩形，，又，正确；对于C，如图：，在n上选一点S，在平面内作直线SP，使得，令为，在平面内作直线QS，使得，由于，则根据二面角的定义有，，又，正确；对于D，如图：，在平面内作直线，使得，如果不平行于n，则由于同在平面内，则必定相交于一点P，则，在平面内，过P点作直线，使得，则有，与平行线的传递性质矛盾，，正确.故选：BCD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.函数的单调增区间为D.为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度〖答案〗AD〖解析〗，A选项，，A选项正确；B选项，，所以B选项错误；C选项，由，解得，所以的单调递增区间是，C选项错误；D选项，将函数的图象向右平行移动个单位长度，得到的图象，D选项正确.故选：AD.11.已知，则下列命题是真命题的为（）A.若，则 B.若，则C.若，则的值域为 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，且，所以，所以，所以，错误；对于B，因为，所以，所以，即，所以，所以，正确；对于C，，其中，因为，所以，错误；对于D，因为，所以，平方得，即，所以，正确.故选：BD.12.在中，三个内角所对的边分别为，若，则下列结论一定正确的为（）A. B.C.为直角三角形 D.〖答案〗AC〖解析〗因为，由正弦定理得，因为，化简得，则，，所以，故A正确；由余弦定理得，即，即，解得或，当时，，则，，当时，，则，，故BD错误，C正确.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设，则与的夹角为_________．〖答案〗〖解析〗设与的夹角为，，.故〖答案〗为：.14.如果一个圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么这个圆锥的侧面积和球的表面积之比为______.〖答案〗〖解析〗设球的直径为，则球的表面积，又圆锥的底面直径和高是，所以圆锥的侧面积为，所以圆锥的侧面积和球的表面积之比为.故〖答案〗为：.15.在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则_________．〖答案〗5〖解析〗因为，所以的最大内角为边长的边所对应的角，因为最大角的正弦值为，又对于非等边三角形，最大角大于，所以最大角的余弦为，由余弦定理可得，又，所以.故〖答案〗为：.16.如果平面，直线，点满足：，且直线与所成的角为直线与直线所成的角为，那么与所成角的大小为_________．〖答案〗〖解析〗如图，设在平面上的投影为，在平面上的投影为直线，其中为与在平面上的投影直线的交点，则，由题意，与所成的角为，且，故与所成的角，由，，故，又，，故，又，平面，故平面，过作于，连接，则因为，故，又，平面，故平面，又平面，故，又与直线所成的角为，即，则，，，故，即，故，则，又平面，平面，故，则，又，故与所成角为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面∥平面．解：（1）连接，交于，连接，在平行六面体中，为平行四边形，为中点，为的中点，平面平面，平面.（2）在平行六面体中，，，为的中点，为的中点，，为平行四边形，从而，平面平面，平面，由（1）可知：平面，平面平面，且，平面平面.18.试分别解答下列两个小题：（1）已知，设与的夹角为，求；（2）已知，若与共线，且，求的坐标