辽宁省沈阳市新民实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷

2023年辽宁省沈阳市新民实验中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.4的相反数是(

)A. B. C.4 D.2.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(

)A. B. C. D.3.下列立体图形中，主视图是圆的是(

)A. B. C. D.4.如果不等式组有解，那么m的取值范围是(

)A. B. C. D.5.下列说法正确的是(

)A.为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式

B.掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为

C.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件

D.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定6.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围(

)A. B.且 C. D.且7.如图，将绕点O逆时针旋转，得到若，则的度数是(

)

A. B. C. D.8.若二次根式为常数且在实数范围内有意义，则a的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且9.如图，在中，，，点D在AC上，点E在AB上，将沿直线DE翻折，点A的对称点落在BC上，在，则的长是(

)

A.1 B. C. D.10.抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，y随x增大而减小；；若方程没有实数根，则；其中正确结论的个数是(

)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，31536000用科学记数法表示为______.12.如图，正方形ABCD的边长是，将对角线AC绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是______结果保留

13.一个不透明的布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个，某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，则可估计袋中球的总个数是______.14.某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为______.15.如图是按以下步骤作图：在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AB于点D；连接CD，若，，则CD的长为______.

16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时不与矩形顶点重合，则t的值为______.三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

计算：18.本小题8分

如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点

求证：≌；

若，，则ME的长是______.19.本小题8分

九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率．20.本小题8分

某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．

甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？21.本小题8分

小兵在学习完统计知识后，对自己班上的同学上学方式进行调查统计，他通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图如图所示．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

该班共有学生______名，图中______.

请计算该班“步行”上学的人数，并将表示“步行”部分的条形统计图补充完整．

在扇形统计图中，表示“骑车”部分的扇形所对应的圆心角是多少度？

若全年级共有800名学生，估计全年级步行上学的学生有多少名？22.本小题10分

如图，中，，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．

求证：EF为的切线；

已知的半径为1，求图中阴影部分的面积．23.本小题10分

如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点O和点

求直线和直线的表达式；

点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作轴，交直线OC于点G，以DE，DG为邻边作矩形

①当点F落在直线AC上时，直接写出OD长；

②当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．24.本小题12分

已知：在中，，，点F是线段BC上一点，D、E是射线AF上两点，且，

如图1，

①填空：______；填“>”或“=”或“<”

②判定三条线段AD，BD，CE的数量关系，并说明理由；

若，则直接写出的值．

25.本小题12分

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，连接

求点B，点C的坐标；

如图1，点在线段OB上点E不与点B重合，点F在y轴负半轴上，，连接AF，BF，EF，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；

如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：4的相反数是，

故选：

根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.【答案】A

【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O中心对称的点的坐标为

故选：

根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．

本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．3.【答案】D

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；

B.三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；

C.圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；

D.球的主视图是圆，因此选项D符合题意；

故选：

根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．4.【答案】C

【解析】【分析】

分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有解的条件求出m的取值范围即可．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组有解的条件是解答此题的关键．

【解答】

解：，

由①得，

由②得，

不等式组有解，

故选5.【答案】D

【解析】解：A、为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项错误；

B、利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项错误；

C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以C选项错误；

D、因为，，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，所以D选项正确．

故选：

根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用画树状图求概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计的有关概念．6.【答案】B

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

且，

解得：且，

故选：

根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可．

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．7.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．

根据旋转的性质得知，为旋转角等于，则可以利用三角形内角和度数为列出式子进行求解．

【解答】

解：将绕点O逆时针旋转，

，，

，

，

，

，

，解得，

故选：8.【答案】B

【解析】解：由题意可知：且

解得且

为常数且，

故选：

根据二次根式与分式有意义的条件即可求出a的范围．

本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．9.【答案】D

【解析】解：，，

将沿直线DE翻折，点A的对称点落在BC上，

在中，，

，

故选：

根据折叠的性质得出在中，利用勾股定理求出，那么

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．10.【答案】C

【解析】【解答】

解：二次函数与x轴有两个交点，，故①错误；

顶点坐标为

结合图象可知：当时，y随x增大而减小，故②正确；

由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在和之间，

时，，故③正确；

当时，抛物线与直线没有交点，

方程没有实数根，故④正确；

对称轴为直线，

，

当时，，

，故⑤正确，

故正确的有4个，

故选

【分析】

本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断.11.【答案】

【解析】解：将31536000用科学记数法表示为

故答案为：

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】

【解析】解：四边形ABCD为正方形，

，，

对角线AC绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，

的长度为

故答案为：

先根据正方形的性质得到，，然后利用弧长公式计算的长度．

本题考查了弧长的计算：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为也考查了正方形的性质．13.【答案】20

【解析】解：总的球数为：，

红球有20个．

故答案为：

用红球的个数除以红球的频率即可求得球的总数．

此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14.【答案】

【解析】解：采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，原计划每天生产零件x个，

采用新技术后实际每天生产零件2x个．

根据题意得：

故答案为：

根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零件2x个，利用工作时间=工作总量工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.【答案】4

【解析】解：由题意得MN垂直平分BC，

，

，

，，

，

，

，

故答案为：

利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质和判定证明，从而得到

本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质知识和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】2或

【解析】解：连接，如图

由翻折可得，

点E为BC中点，

，

，

又，

，

为AB中点，

，

如图，当时，作于点G，

所在直线斜率为，

所在直线斜率为，即，

，，

，

又，

，

解得

故答案为：2或

①连接，由翻折及点E为BC中点可得，即分别垂直EF，AC，再由平行线分线段成比例计求解．

②由两直线垂直，斜率互为负倒数求解．

本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．17.【答案】解：原式

【解析】利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．

本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．18.【答案】

【解析】证明：四边形ABCD是菱形，

，，，

，

又，

，

在和中，

，

≌，

解：，，

，

，，

∽，

，

，

，

，

故答案为：

由菱形的性质可得，，，由“ASA”可证≌；

通过证明∽，可得，可求BE的长，即可求解．

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：画树状图得：

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，

所以中奖的概率

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案．

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是元，

根据题意可得：，

解得：，

经检验得：是原方程的根，

则，

答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；

设购买甲图书本数为y本，则购买乙图书的本数为本，

故，

解得：，

故，

答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．

【解析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．

利用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出方程求出答案；

根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．21.【答案】解：；

30；

步行学生人数为：人，补全条形统计图，如图所示：

根据题意得：，

则“骑车”部分的扇形所对应的圆心角是；

根据题意得：名，

则全年级步行上学的学生有160名．

【解析】【分析】

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体.

由乘车人数除以占的百分比求出学生总数，进而确定出骑车学生的百分比，得到a的值；

求出步行学生人数，补全条形统计图即可；

由骑车学生百分比乘以360即可得到结果；

求出步行学生占的百分比，乘以800即可得到结果．

【解答】

解：根据题意得：，，

则该班学生共有40人，；

故答案为：40；30；

见答案

见答案；

见答案．22.【答案】证明：连接OD，如图所示：

四边形AOCD为平行四边形，

，，

，

，，

、都是等边三角形，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

点D在上，

为的切线；

解：在中，，

，

，

，，

，，

图中阴影部分的面积

【解析】连接OD，先由平行四边形的性质得，，再证、都是等边三角形，得，然后证≌，得，即可得出结论；

先求出，再由含角的直角三角形的性质得，，然后求出，，即可得出答案．

本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定和平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．23.【答案】解：由题意得，

，，

，，

，；

①设点，则，，

当时，，

点G和F的纵坐标相等，

，

，

；

②，，

当时，，

，

，

当时，

，

，

，

当时，

，

，

，

综上所述：点或或

【解析】将点A，C代入，求得k，b；将点C代入，求得m；

①设点D坐标表示出点F坐标，代入，进而求得结果；

②当时根据对称性可求得D点坐标；当时和当，列出方程求出a的值，从而得出结果．

本题考查了一次函数及其图象性质，等腰三角形的分类和判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是设出点坐标，根据勾股定理列出方程．24.【答案】=

【解析】解：①，

，

，，

，

，

故答案为：=；

②结论：

理由：如图1中，延长AD到T，使得，连接

，

，

，

是等边三角形，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

；

如图2中，当BD在BC的上方时，过点B作于点

是等边三角形，，

，

设，则，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

如图3中，当BD在BC的下方时，过点A作交BD的延长线于点

设，则，，

，

，

，

，

综上所述，的值为或

①证明，，可得结论；

②结论：如图1中，延长AD到T，使得，连接证明≌，推出，可得结论；

分两种情形：如图2中，