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文档简介
2021-2022学年新疆乌鲁木齐五十四中九年级第一学期期末数学
试卷
一、单选题(每小题5分,共75分)
1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.(X-3)2=-3B.(x-3)2=6C.(x-3)2=3D.(*-3)2=12
3.下列事件中,必然事件是()
A.掷一枚硬币,着地时反面向上
B.星期天一定是晴天
C.在标准大气压下,水加热到100°会沸腾
D.打开电视机,正在播放动画片
4.不解方程,判断方程(2+^^2-2乂+2-a=0的根的情况()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根
C.无实根D.无法确定
5.如图,。。的内接四边形ABCO中,ZA=110°,则N3OO=()
C.130°D.140°
6.二次函数(“VO)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直
线元=2,下列结论正确的是()
A.5〃+c=0
B.4〃-2b+c>0
C.2〃+b=0
D.若A(-0.5,yi),B(4,”)在该函数图象上,则yi>”
7.铜罗中学组织一次乒乓球赛,比赛采用单循环制,要求每两队之间赛一场.若整个比赛
一共赛了45场,则有几个球队参赛?设有x个球队参赛,则下列方程中正确的是()
A.x(x+1)=45B,-yx(x+1)=45
C.x(x-1)=45D,yx(x-l)=45
8.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△O8E,点C的对应点E恰好落在AB延长线
上,连接AD下列结论一定正确的是()
A.NABD=/EB.NCBE=/CC.AD//BCD.AD=BC
9.如图1,在△ABC中,BA=BC,8£>J_AC于点。(A£»BQ),动点M从点A出发,沿
折线AB-BC方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,ZVIM。的面积为y,
y与x的函数图象如图2所示,则AZ)+B£>的值为()
图1图2
A.3B.5C.6D.9
二、填空题(每小题5分,共30分)
10.若关于x的一元二次方程(2k-1)/-6x+9=0有实数根,则k的取值范围是.
11.如图,Rt^ABC是一块草坪,其中/C=90°,AC=9m,AB=15〃?,阴影部分是AABC
的内切圆,一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上,则小鸟落在阴影部分的概率
为_______
12.某商品连续两次降价10%后的价格为m该商品的原价为.
13.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2机时,水面宽4m.若水面再上升1.5相,则水面
的宽度为m.
14.如图,在半径4C为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点
D,连接CO,则图中阴影部分的面积是.
15.如图,直线与抛物线丫=(+法+。交于A,8两点,其中点A(2,-3),点B
(5,0),不等式x2+/?x+c<〃zx+〃的解集为.
y
O\/[B工
三、解答题(共75分)
16.解下列方程:
(1)4x2-5x+l=0;
(2)N+4x-3=0.
17.关于x的一元二次方程N-(m+])x+m=0
(1)求证:方程总有实数根;
(2)若方程的两个根中只有一个根小于2,求〃?的取值范围.
18.如图,AABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
使得NCAF=NBAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若/ABC=65。,NACB=28。,求NFGC的度数.
19.某景区检票口有4B,C共3个检票通道,甲,乙两人到该景区游玩,两人分别从3
个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择A检票通道的概率是;
(2)求甲,乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.
20.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了29/77的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为
贫困户靠墙(墙长15〃?)围建一个矩形养鸡舍,门MN宽1〃?,如图所示.
(1)若要建的矩形养鸡舍面积为IO。,",求AB的长;
(2)该鸡舍的最大面积可以达到m2.
AD
BMNC
21.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈
利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现
销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若销售单价降低5元,那么平均每天销售数量为多少件?
(2)若该商店每天销售利润为1200元,问每件商品可降价多少元?
(3)当每件商品降价多少元时,商店可获得最大利润?最大利润为多少元?
22.如图,在aABC中,AB=AC,。在A8上,以O为圆心,02为半径的圆与AC相切于
点、F,交BC于点D,交A8于点G,过。作Z)EJ_AC,垂足为E.
(1)OE与。0有什么位置关系,请写出你的结论并证明:
(2)若。。的半径长为3,AF=4,求CE的长.
23.如图,抛物线y=or2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点8(点A在原点的左侧,点8
在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图1,连接BC,点。是直线BC上方抛物线上的点,连接。。,CD,OD交BC
于点F,当S^COD:SACOB=1:3时,求点F的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,--1),在抛物线上是否存在点P,使NOBP=2NOBE?
若存在,请求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
图1图2
参考答案
一、单选题(每小题5分,共75分)
1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解:4不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项错误;
8、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;
。、是轴对称图形,不是中心对称图形,故。选项错误.
故选:C.
2.将方程9-6x+3=0左边配成完全平方式,得到的方程是()
A.(%-3)2=-3B.(%-3)2=6C.(x-3)2=3D.(%-3)2=12
【分析】配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解:移项,得*2-6X=-3,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方(-3)2,得
N-6x+(-3)2=-3+(-3)2,
即(x-3)2=6.
故选:B.
3.下列事件中,必然事件是()
A.掷一枚硬币,着地时反面向上
B.星期天一定是晴天
C.在标准大气压下,水加热到100。会沸腾
D.打开电视机,正在播放动画片
【分析】根据必然事件的概念(必然事件指在一定条件下一定发生的事件)可判断正确
答案.
解:4、掷一枚硬币,着地时反面向上,是随机事件,不符合题意;
B、星期天一定是晴天,是随机事件,不符合题意;
C、在标准大气压下,水加热到100°会沸腾,是必然事件,符合题意;
。、打开电视机,正在播放动画片,是随机事件,不符合题意.
故选:C.
4.不解方程,判断方程(2+V§)X2-2X+2-4§=0的根的情况()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根
C.无实根D.无法确定
【分析】根据根的判别式即可求解.
解:A=(-2)2-4X(2+73)X(2-V3)=4-4X(4-3)=0'
原方程有两个相等的实根,
故选:B.
5.如图,0。的内接四边形ABCD中,ZA=110°,则N8O£>=()
A.110°B.120°C.130°D.140°
【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案.
解::。。的内接四边形ABC。,/A=110°,
AZA+ZC=180°,
VZA=110°,
AZC=180°-110°=70°,
:.ZBOD=2ZC=\40°,
故选:D.
6.二次函数尸以Mzr+c(a<0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直
线x=2,下列结论正确的是()
A.5a+c=0
B.4a-2h+c>0
C.2a+b=0
D.若A(-0.5,yi),B(4,”)在该函数图象上,则
【分析】由二次函数了=〃/+法+0(〃vo)的图象过点(-1,0),可得a-b+c=0,由
对称轴为直线x=2,可得即略=2,-b=4a,代入可得。与c关系,当选项A正确时,
2a
以下选项可不必再做.
解:♦.•二次函数了=依2+灰+c(qVO)的图象过点(-1,0),代入得:
:.a-b+c=O,①
:对称轴是直线x=2,即」-=2,
2a
-b—4a,②代入①得:a+4a+c—0,即5a+c—0
故选:A.
1.铜罗中学组织一次乒乓球赛,比赛采用单循环制,要求每两队之间赛一场.若整个比赛
一共赛了45场,则有几个球队参赛?设有x个球队参赛,则下列方程中正确的是()
A.x(x+1)=45B.yX(x+1)=45
C.x(x-1)=45D.(x-l)=45
【分析】设有x个球队参赛,那么第一个球队和其他球队打(x-1)场球,第二个球队
和其他球队打U-2)场,以此类推可以知道共打(1+2+3+…+x-1)场球,然后根据计
划安排15场比赛即可列出方程求解.
解:依题意得1+2+3+…+x-1=15,
BP—x(x-1)=45.
2
故选:D.
8.如图,将aABC绕点B顺时针旋转60°得△O8E,点C的对应点E恰好落在AB延长线
上,连接AD.下列结论一定正确的是()
A.NABD=NEB.NCBE=NCC.AD//BCD.AD=BC
【分析】由旋转的性质得到NABO=NC8E=60°,推出△AB。是等边三角形,
得到NZMB=NC8E,于是得到结论.
解:;△ABC绕点B顺时针旋转60°得△OBE,
,/A8O=/CBE=60°,AB=BD,
.♦.△A8O是等边三角形,
AZDAB=60°,
:.NDAB=NCBE,
J.AD//BC,
故选:C.
9.如图1,在△ABC中,BA=BC,8O_LAC于点。,动点M从点A出发,沿
折线AB-BC方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMO的面积为y,
y与x的函数图象如图2所示,则AQ+8O的值为()
A.3B.5C.6D.9
【分析】先根据48=BC结合图2得出48=后,进而利用勾股定理得,相>2+802=13,
再由运动结合的面积的变化,得出点M和点8重合时,的面积最大,其
值为3,即争。・8。=3,进而建立二元二次方程组求解,即可得出结论.
解:由图2知,A8+2C=2百E,
":AB=BC,
:.AB=713,
':AB=BC,BDLAC,
:.AC^2AD,ZADB=9Q°,
在Rt/XABD中,AD1+BD1=AS1=13①,
设点M到AC的距离为力,
SAADM-D,h,
2
:动点例从4点出发,沿折线ABfBC方向运动,
.•.当点用运动到点B时,△AOW的面积最大,即〃=B£),
由图2知,△AOM的面积最大为3,
:.—AD-BD=3,
2
:.AD'BD=6®,
①+2X②得,AD2+BD2+2AD-BD=13+2X6=25,
(AD+BD)2=25,
.\AD+BD=5(负值舍去),
故选:B.
二、填空题(每小题5分,共30分)
10.若关于x的一元二次方程(2A:-1)x2-6x+9=0有实数根,则k的取值范围是kWl
且y上.
-----2~
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得出2k-1关0且/\=(-6)2-
4X(2A-1)X920,解不等式即可得出上的取值范围
解:;关于x的一元二次方程(2^-1)N-6x+9=0有实数根,
,2k-1#0且A=(-6)2-4X⑵-1)X920,
解得:kWl且%
故答案为:臼且A吟.
11.如图,Rt/VIBC是一块草坪,其中NC=90°,AC=9m,A8=15〃z,阴影部分是aABC
的内切圆,一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上,则小鸟落在阴影部分的概率为
【分析】根据勾股定理的逆定理得到8c=12,于是得到AABC的内切圆半径,求得直角
三角形的面积和圆的面积,即可得到结论.
解:':AB=15,AC=9,
,BC=12,
XABC的内切圆半径=12日二1§一=3,
2
:.S^ABC=—AC'BC=—X9X12=54,
22
S刖=971,
...小鸟落在花圃上的概率=等=?,
546
1T
故答案为:——.
6
12.某商品连续两次降价10%后的价格为“,该商品的原价为当久.
【分析】关系式为:原价x(1-降低率)2=4,求得合适的原价即可.
解:设原价为X.
XX(1-10%)2=〃,
x=---a--=-1-0-0--a
0.8181.
故答案为华■.
81
13.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2〃?时,水面宽4机.若水面再上升1.5〃?,则水面
的宽度为2m.
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,设出抛物线的解析式,从而可以求得水
面的宽度增加了多少,本题得以解决.
解:如右图建立平面直角坐标系,
X
4射
设抛物线的解析式为>=以2,
由己知可得,点(2,-2)在此抛物线上,
则-2=4X22,
解得a=~
•力="家,
当y=-0.5时,-去』-0.5,
解得x=±l,
此时水面的宽度为2m,
故答案为:2.
14.如图,在半径AC为2,圆心角为90。的扇形内,以5c为直径作半圆,交弦A3于点
D,连接CO,则图中阴影部分的面积是TT-1
【分析】已知8c为直径,则NC£)8=90°,在等腰直角三角形ABC中,C。垂直平分
AB,CD=DB,力为半圆的中点,阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△4DC
的面积之差.
解:在RtZ\ACB中,/16^^22+22=2^2*
是半圆的直径,
:.ZCDB=90°,
在等腰RtZ\ACB中,CO垂直平分AB,CD=BD=Q
二。为半圆的中点,
S阳影部分=5星彩ACB-SAA£>C={nX22-《X(-y2)2=tt-1-
42
故答案为TT-1.
15.如图,直线y=e+〃与抛物线y=x2+bx+c•交于A,B两点,其中点A(2,-3),点8
(5,0),不等式x2+bx+c<mx+"的解集为2Vx<5.
【分析】根据图象及点A,8坐标求解.
解:由图象可得,在点A,2之间的抛物线在直线下方,
.".2<x<5时,x2+bx+c<mx+n,
故答案为:2Vx<5.
三、解答题(共75分)
16.解下列方程:
(1)4X2-5X+1=0;
(2)/+4x-3=0.
【分析】(1)利用因式分解法把方程转化为4x-1=0或x-1=0,然后解两个一次方程
即可;
(2)利用配方法得到(x+2)2=7,然后利用直接开平方法解方程.
解:(1)(4x-l)0-1)=0,
4x-1=0或x-1=0,
所以xi=±",X2—1;
4
(2)N+4x-3=0,
x2+4x—3,
x2+4x+4=7,
(x+2)2=7,
x+2=+yf^,
所以xi=-2+J7,X2=-2-ypj.
17.关于x的一元二次方程R-(nj+1)x+m=Q
(1)求证:方程总有实数根;
(2)若方程的两个根中只有一个根小于2,求〃?的取值范围.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△=〃-4ac,可得出A=(/«-1)22,
进而可证出:无论“为何值,方程总有实数根;
(2)利用因式分解法解方程可求出原方程的两个根,再结合方程的两个根中只有一个根
小于2,即可得出机的取值范围.
【解答】(1)证明:''a=1,b=-(m+1),c=m,
A—b2-4ac—[-(m+1)J2-4X1Xm=m2+2m+}-4m—m2-2m+\—(m-1)2>0,
...无论根为何值,方程总有实数根.
(2)解:*.,原方程为N-(/?z+l)x+m—Q,
即(x-1)(x-m)=0>
解得:xi=l,X2—m,
又•••方程的两个根中只有一个根小于2,
18.如图,ZVIBC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
使得连接E凡E尸与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若NABC=65°,NACB=28°,求NFGC的度数.
【分析】(1)由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明△ABC丝根据全等三
角形的对应边相等即可得出EF=BC;
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出NBAE=180°-65°X2=
50°,那么NE4G=50°.由得出/F=/C=28°,再根据三角形外
角的性质即可求出/FGC=/E4G+/F=78°.
【解答】(1)证明:•.•/C4F=N84E,
:.ZBAC=ZEAF.
:将线段AC绕月点旋转到AF的位置,
:.AC=AF.
在AABC与△AEF中,
,AB=AE
,NBAC=NEAF,
AC=AF
AAABC^AAEF(SAS),
:.EF=BC;
9
(2)解:\AB=AEfZABC=65°,
AZBAE=180°-65°X2=50°,
:.ZFAG=ZBAE=50°.
*.•△ABC9XAEF,
:.ZF=ZC=2S°,
AZFGC=ZFAG+ZF=500+28°=78°.
19.某景区检票口有4,B,C共3个检票通道,甲,乙两人到该景区游玩,两人分别从3
个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择A检票通道的概率是4;
一3-
(2)求甲,乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.
【分析】(1)因为景区检票口有A,B,C共3个检票通道,所以供甲选择的有三种可
能,甲选择A检票通道的概率是~
(2)利用树状图把所有可能的情况一一列举出来,然后利用概率公式求解即可.
解:(1):景区检票口有A,B,C共3个检票通道,
...甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.
._1
•P(选择A)-------.
故答案为:
(2)由题意列树状图得,
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况,
其中甲,乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种,
.p_31
♦•r(中乙两人选择的通迨和同)--—
93
20.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了29W的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为
贫困户靠墙(墙长15加)围建一个矩形养鸡舍,门宽如图所示.
(1)若要建的矩形养鸡舍面积为100〃落求的长;
(2)该鸡舍的最大面积可以达到2笑加2.
-2-
AD
BMNC
【分析】(1)根据矩形的面积公式进行解答;
(2)设AB=x,〃,鸡舍的面积为s/«2,根据矩形的面积公式得到S=x(30-2x),配方
后可得最大面积.
解:(1)设AB^xm,贝!|BC=(29+1-2x)机=(30-x)m,
根据题意得:x(30-2x)=100,
解之得:xi=5,X2=10,
当x=5时,BC=20>15(舍去),
当x=10时,BC=10<15,符合题意;
答:AB的长为10〃?;
(2)设A8=X〃7,鸡舍的面积为S"2,
222
,S=x(30-2x)=-2x+30x=-2(%-15x+---)=-2(x-—)+^-;
4422
该鸡舍的最大面积可以达到竽〃.
21.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈
利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现
销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若销售单价降低5元,那么平均每天销售数量为多少件?
(2)若该商店每天销售利润为1200元,问每件商品可降价多少元?
(3)当每件商品降价多少元时,商店可获得最大利润?最大利润为多少元?
【分析】(1)利用平均每天的销售量=20+2X每件商品降低的价格,即可求出结论;
(2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2^)元,利
用总利润=每件盈利X平均每天的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可
得出x的值,再结合每件盈利不少于25元,即可得出每件商品应降价10元;
(3)设每件商品降价x元,商店可获得利润为卬元,根据总利润=每件利润X销售量列
出函数解析式,根据函数的性质求最值.
解:(1)根据题意得:20+5X2=30(件),
答:平均每天销售数量为30件;
(2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2.0元,
依题意得:(40-x)(20+2x)=1200,
整理得:x2-30x+200=0,
解得:xi=10,X2=20,
又・・・40-x225,
.X5,
.\x=10.
答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元;
(3)设每件商品降价x元,商店可获得利润为w元,
根据题意得:w=(40-x)(20+2%)=-2炉+60/800=-2(%-15)2+1250,
:-2<0,xW15,
.•.当x=15时,w有最大值,最大值为1250,
答:当每件商品降价15元时,商店可获得最大利润,最大利润为1250元.
22.如图,在△ABC中,AB^AC,。在AB上,以。为圆心,08为半径的圆与AC相切于
点F,交BC于点。,交AB于点G,过。作QELAC,垂足为E.
(1)QE与。。有什么位置关系,请写出你的结论并证明:
(2)若的半径长为3,AF=4,求CE的长.
【分析】由已知可证得OCOE,。。为圆的半径,所以。E与。O相切;连接0。,OF,
由已知可得四边形ODE尸为矩形,从而得到EF的长,再利用勾股定理求得40的长,从
而可求得AC的长,此时CE就不难求得了.
解:(1)OE与。。相切;
理由如下:
连接OD,
•:OB=OD,
工ZABC=ZODB;
':AB=AC,
J.ZABC^ZACB,
:.ZODB=ZACB,
:.OD//AC;
':DELAC,
:.ODA.DE,
...OE与O。相切.
(2)连接。£>,OF;
,:DE,4F是。。的切线,
AOFLAC,ODVDE,
XVDEIAC,
四边形ODEF为矩形,
:.EF=OD=3:
在Rt^OEA中,AO2=OF1+AF1,
AA0=V32+42=725=5'
:.AC=AB=AO+BO=S,CE=AC-AF-EF=8-4-3=1,
CE=1.
答:CE长度为1.
23.如图,抛物线y=aN+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点8(点A在原点的左侧,点、B
在原点的右侧),与
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