2021-2022学年新疆乌鲁木齐五十四中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年新疆乌鲁木齐五十四中九年级第一学期期末数学

试卷

一、单选题（每小题5分，共75分）

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.(X-3)2=-3B.(x-3)2=6C.(x-3)2=3D.(*-3)2=12

3.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，着地时反面向上

B.星期天一定是晴天

C.在标准大气压下，水加热到100°会沸腾

D.打开电视机，正在播放动画片

4.不解方程，判断方程（2+^^2-2乂+2-a=0的根的情况（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根

C.无实根D.无法确定

5.如图，。。的内接四边形ABCO中，ZA=110°,则N3OO=（）

C.130°D.140°

6.二次函数（“VO）的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直

线元=2,下列结论正确的是（)

A.5〃+c=0

B.4〃-2b+c>0

C.2〃+b=0

D.若A(-0.5,yi),B(4,”)在该函数图象上，则yi>”

7.铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场.若整个比赛

一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是()

A.x(x+1)=45B,-yx(x+1)=45

C.x(x-1)=45D,yx(x-l)=45

8.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△O8E,点C的对应点E恰好落在AB延长线

上，连接AD下列结论一定正确的是()

A.NABD=/EB.NCBE=/CC.AD//BCD.AD=BC

9.如图1,在△ABC中，BA=BC,8£>J_AC于点。(A£»BQ),动点M从点A出发，沿

折线AB-BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x,ZVIM。的面积为y,

y与x的函数图象如图2所示，则AZ)+B£>的值为()

图1图2

A.3B.5C.6D.9

二、填空题(每小题5分，共30分)

10.若关于x的一元二次方程(2k-1)/-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是.

11.如图，Rt^ABC是一块草坪，其中/C=90°,AC=9m,AB=15〃?，阴影部分是AABC

的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率

为_______

12.某商品连续两次降价10%后的价格为m该商品的原价为.

13.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2机时，水面宽4m.若水面再上升1.5相，则水面

的宽度为m.

14.如图，在半径4C为2,圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点

D,连接CO,则图中阴影部分的面积是.

15.如图，直线与抛物线丫=(+法+。交于A,8两点，其中点A(2,-3),点B

(5,0),不等式x2+/?x+c<〃zx+〃的解集为.

y

O\/[B工

三、解答题(共75分)

16.解下列方程：

(1)4x2-5x+l=0；

(2)N+4x-3=0.

17.关于x的一元二次方程N-(m+])x+m=0

(1)求证：方程总有实数根；

(2)若方程的两个根中只有一个根小于2,求〃?的取值范围.

18.如图，AABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,

使得NCAF=NBAE,连接EF,EF与AC交于点G.

(1)求证：EF=BC；

(2)若/ABC=65。，NACB=28。，求NFGC的度数.

19.某景区检票口有4B,C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3

个检票通道中随机选择一个检票.

(1)甲选择A检票通道的概率是；

(2)求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

20.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29/77的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为

贫困户靠墙(墙长15〃?)围建一个矩形养鸡舍，门MN宽1〃?，如图所示.

(1)若要建的矩形养鸡舍面积为IO。，"，求AB的长；

(2)该鸡舍的最大面积可以达到m2.

AD

BMNC

21.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈

利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现

销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

(1)若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？

(2)若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？

(3)当每件商品降价多少元时，商店可获得最大利润？最大利润为多少元？

22.如图，在aABC中，AB=AC,。在A8上，以O为圆心，02为半径的圆与AC相切于

点、F,交BC于点D,交A8于点G,过。作Z)EJ_AC,垂足为E.

(1)OE与。0有什么位置关系，请写出你的结论并证明：

(2)若。。的半径长为3,AF=4,求CE的长.

23.如图，抛物线y=or2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点8(点A在原点的左侧，点8

在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)如图1,连接BC,点。是直线BC上方抛物线上的点，连接。。，CD,OD交BC

于点F,当S^COD：SACOB=1：3时，求点F的坐标；

(3)如图2,点E的坐标为(0,--1),在抛物线上是否存在点P,使NOBP=2NOBE?

若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

图1图2

参考答案

一、单选题(每小题5分，共75分)

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：4不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故。选项错误.

故选：C.

2.将方程9-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是()

A.(%-3)2=-3B.(%-3)2=6C.(x-3)2=3D.(%-3)2=12

【分析】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

解：移项，得*2-6X=-3,

等式两边同时加上一次项系数一半的平方(-3)2,得

N-6x+(-3)2=-3+(-3)2,

即(x-3)2=6.

故选:B.

3.下列事件中，必然事件是()

A.掷一枚硬币，着地时反面向上

B.星期天一定是晴天

C.在标准大气压下，水加热到100。会沸腾

D.打开电视机，正在播放动画片

【分析】根据必然事件的概念(必然事件指在一定条件下一定发生的事件)可判断正确

答案.

解：4、掷一枚硬币，着地时反面向上，是随机事件，不符合题意；

B、星期天一定是晴天，是随机事件，不符合题意；

C、在标准大气压下，水加热到100°会沸腾，是必然事件，符合题意；

。、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意.

故选：C.

4.不解方程，判断方程(2+V§)X2-2X+2-4§=0的根的情况()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根

C.无实根D.无法确定

【分析】根据根的判别式即可求解.

解：A=(-2)2-4X(2+73)X(2-V3)=4-4X(4-3)=0'

原方程有两个相等的实根，

故选：B.

5.如图，0。的内接四边形ABCD中，ZA=110°,则N8O£>=()

A.110°B.120°C.130°D.140°

【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案.

解：：。。的内接四边形ABC。，/A=110°,

AZA+ZC=180°,

VZA=110°,

AZC=180°-110°=70°,

：.ZBOD=2ZC=\40°,

故选：D.

6.二次函数尸以Mzr+c(a<0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0),对称轴为直

线x=2,下列结论正确的是()

A.5a+c=0

B.4a-2h+c>0

C.2a+b=0

D.若A(-0.5,yi),B(4,”)在该函数图象上，则

【分析】由二次函数了=〃/+法+0(〃vo)的图象过点(-1,0),可得a-b+c=0,由

对称轴为直线x=2,可得即略=2,-b=4a,代入可得。与c关系，当选项A正确时,

2a

以下选项可不必再做.

解：♦.•二次函数了=依2+灰+c(qVO)的图象过点(-1,0),代入得：

:.a-b+c=O,①

:对称轴是直线x=2,即」-=2,

2a

-b—4a,②代入①得：a+4a+c—0,即5a+c—0

故选：A.

1.铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场.若整个比赛

一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是()

A.x(x+1)=45B.yX(x+1)=45

C.x(x-1)=45D.(x-l)=45

【分析】设有x个球队参赛，那么第一个球队和其他球队打(x-1)场球，第二个球队

和其他球队打U-2)场，以此类推可以知道共打(1+2+3+…+x-1)场球，然后根据计

划安排15场比赛即可列出方程求解.

解：依题意得1+2+3+…+x-1=15,

BP—x（x-1）=45.

2

故选：D.

8.如图，将aABC绕点B顺时针旋转60°得△O8E,点C的对应点E恰好落在AB延长线

上，连接AD.下列结论一定正确的是（）

A.NABD=NEB.NCBE=NCC.AD//BCD.AD=BC

【分析】由旋转的性质得到NABO=NC8E=60°,推出△AB。是等边三角形,

得到NZMB=NC8E,于是得到结论.

解：；△ABC绕点B顺时针旋转60°得△OBE,

，/A8O=/CBE=60°,AB=BD,

.♦.△A8O是等边三角形，

AZDAB=60°,

:.NDAB=NCBE,

J.AD//BC,

故选：C.

9.如图1,在△ABC中，BA=BC,8O_LAC于点。，动点M从点A出发，沿

折线AB-BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMO的面积为y,

y与x的函数图象如图2所示，则AQ+8O的值为（）

A.3B.5C.6D.9

【分析】先根据48=BC结合图2得出48=后，进而利用勾股定理得，相＞2+802=13,

再由运动结合的面积的变化，得出点M和点8重合时，的面积最大，其

值为3,即争。・8。=3,进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论.

解：由图2知，A8+2C=2百E，

"：AB=BC,

:.AB=713,

'：AB=BC,BDLAC,

：.AC^2AD,ZADB=9Q°,

在Rt/XABD中，AD1+BD1=AS1=13①，

设点M到AC的距离为力，

SAADM-D,h,

2

:动点例从4点出发，沿折线ABfBC方向运动,

.•.当点用运动到点B时，△AOW的面积最大，即〃=B£),

由图2知，△AOM的面积最大为3,

：.—AD-BD=3,

2

：.AD'BD=6®,

①+2X②得，AD2+BD2+2AD-BD=13+2X6=25,

(AD+BD)2=25,

.\AD+BD=5(负值舍去)，

故选：B.

二、填空题(每小题5分，共30分)

10.若关于x的一元二次方程(2A:-1)x2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是kWl

且y上.

-----2~

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得出2k-1关0且/\=(-6)2-

4X(2A-1)X920,解不等式即可得出上的取值范围

解：；关于x的一元二次方程(2^-1)N-6x+9=0有实数根，

，2k-1#0且A=(-6)2-4X⑵-1)X920,

解得：kWl且％

故答案为：臼且A吟.

11.如图，Rt/VIBC是一块草坪，其中NC=90°,AC=9m,A8=15〃z,阴影部分是aABC

的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为

【分析】根据勾股定理的逆定理得到8c=12,于是得到AABC的内切圆半径，求得直角

三角形的面积和圆的面积，即可得到结论.

解：'：AB=15,AC=9,

，BC=12,

XABC的内切圆半径=12日二1§一=3,

2

：.S^ABC=—AC'BC=—X9X12=54,

22

S刖=971,

...小鸟落在花圃上的概率=等=?，

546

1T

故答案为：——.

6

12.某商品连续两次降价10%后的价格为“，该商品的原价为当久.

【分析】关系式为：原价x(1-降低率)2=4,求得合适的原价即可.

解:设原价为X.

XX(1-10%)2=〃,

x=---a--=-1-0-0--a

0.8181.

故答案为华■.

81

13.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2〃?时，水面宽4机.若水面再上升1.5〃?，则水面

的宽度为2m.

【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水

面的宽度增加了多少，本题得以解决.

解：如右图建立平面直角坐标系，

X

4射

设抛物线的解析式为>=以2,

由己知可得，点（2,-2）在此抛物线上,

则-2=4X22,

解得a=~

•力="家，

当y=-0.5时，-去』-0.5,

解得x=±l,

此时水面的宽度为2m,

故答案为：2.

14.如图，在半径AC为2,圆心角为90。的扇形内，以5c为直径作半圆，交弦A3于点

D,连接CO,则图中阴影部分的面积是TT-1

【分析】已知8c为直径，则NC£)8=90°,在等腰直角三角形ABC中，C。垂直平分

AB,CD=DB,力为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△4DC

的面积之差.

解：在RtZ\ACB中，/16^^22+22=2^2*

是半圆的直径，

：.ZCDB=90°,

在等腰RtZ\ACB中，CO垂直平分AB,CD=BD=Q

二。为半圆的中点，

S阳影部分=5星彩ACB-SAA£>C={nX22-《X(-y2)2=tt-1-

42

故答案为TT-1.

15.如图，直线y=e+〃与抛物线y=x2+bx+c•交于A,B两点,其中点A(2,-3),点8

(5,0),不等式x2+bx+c<mx+"的解集为2Vx<5.

【分析】根据图象及点A,8坐标求解.

解：由图象可得，在点A,2之间的抛物线在直线下方,

.".2<x<5时，x2+bx+c<mx+n,

故答案为：2Vx<5.

三、解答题(共75分)

16.解下列方程：

(1)4X2-5X+1=0；

(2)/+4x-3=0.

【分析】(1)利用因式分解法把方程转化为4x-1=0或x-1=0,然后解两个一次方程

即可；

(2)利用配方法得到(x+2)2=7,然后利用直接开平方法解方程.

解：(1)(4x-l)0-1)=0,

4x-1=0或x-1=0,

所以xi=±",X2—1；

4

(2)N+4x-3=0,

x2+4x—3,

x2+4x+4=7,

(x+2)2=7,

x+2=+yf^,

所以xi=-2+J7，X2=-2-ypj.

17.关于x的一元二次方程R-(nj+1)x+m=Q

(1)求证：方程总有实数根；

(2)若方程的两个根中只有一个根小于2,求〃?的取值范围.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△=〃-4ac,可得出A=(/«-1)22,

进而可证出：无论“为何值，方程总有实数根；

(2)利用因式分解法解方程可求出原方程的两个根，再结合方程的两个根中只有一个根

小于2,即可得出机的取值范围.

【解答】(1)证明：''a=1,b=-(m+1),c=m,

A—b2-4ac—[-(m+1)J2-4X1Xm=m2+2m+}-4m—m2-2m+\—(m-1)2>0,

...无论根为何值，方程总有实数根.

(2)解：*.,原方程为N-(/?z+l)x+m—Q,

即(x-1)(x-m)=0>

解得：xi=l,X2—m,

又•••方程的两个根中只有一个根小于2,

18.如图，ZVIBC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,

使得连接E凡E尸与AC交于点G.

(1)求证：EF=BC；

(2)若NABC=65°,NACB=28°,求NFGC的度数.

【分析】(1)由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明△ABC丝根据全等三

角形的对应边相等即可得出EF=BC；

(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出NBAE=180°-65°X2=

50°,那么NE4G=50°.由得出/F=/C=28°,再根据三角形外

角的性质即可求出/FGC=/E4G+/F=78°.

【解答】(1)证明：•.•/C4F=N84E,

：.ZBAC=ZEAF.

:将线段AC绕月点旋转到AF的位置，

：.AC=AF.

在AABC与△AEF中，

，AB=AE

,NBAC=NEAF，

AC=AF

AAABC^AAEF(SAS),

：.EF=BC；

9

(2)解：\AB=AEfZABC=65°,

AZBAE=180°-65°X2=50°,

：.ZFAG=ZBAE=50°.

*.•△ABC9XAEF,

：.ZF=ZC=2S°,

AZFGC=ZFAG+ZF=500+28°=78°.

19.某景区检票口有4,B,C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3

个检票通道中随机选择一个检票.

（1）甲选择A检票通道的概率是4；

一3-

（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

【分析】（1）因为景区检票口有A,B,C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可

能，甲选择A检票通道的概率是~

（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可.

解：（1）：景区检票口有A,B,C共3个检票通道，

...甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.

._1

•P（选择A）-------.

故答案为：

（2）由题意列树状图得，

甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，

其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，

.p_31

♦•r（中乙两人选择的通迨和同）--—

93

20.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29W的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为

贫困户靠墙（墙长15加）围建一个矩形养鸡舍，门宽如图所示.

（1）若要建的矩形养鸡舍面积为100〃落求的长；

（2）该鸡舍的最大面积可以达到2笑加2.

-2-

AD

BMNC

【分析】（1）根据矩形的面积公式进行解答;

(2)设AB=x,〃，鸡舍的面积为s/«2,根据矩形的面积公式得到S=x(30-2x),配方

后可得最大面积.

解：(1)设AB^xm,贝！|BC=(29+1-2x)机=(30-x)m,

根据题意得：x(30-2x)=100,

解之得：xi=5,X2=10,

当x=5时，BC=20>15(舍去)，

当x=10时，BC=10<15,符合题意；

答：AB的长为10〃?；

(2)设A8=X〃7,鸡舍的面积为S"2,

222

，S=x(30-2x)=-2x+30x=-2(%-15x+---)=-2(x-—)+^-;

4422

该鸡舍的最大面积可以达到竽〃.

21.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈

利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现

销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

(1)若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？

(2)若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？

(3)当每件商品降价多少元时，商店可获得最大利润？最大利润为多少元？

【分析】(1)利用平均每天的销售量=20+2X每件商品降低的价格，即可求出结论；

(2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40-x)元，平均每天可售出(20+2^)元，利

用总利润=每件盈利X平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可

得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件商品应降价10元；

(3)设每件商品降价x元，商店可获得利润为卬元，根据总利润=每件利润X销售量列

出函数解析式，根据函数的性质求最值.

解：(1)根据题意得：20+5X2=30(件)，

答：平均每天销售数量为30件；

(2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40-x)元，平均每天可售出(20+2.0元，

依题意得：(40-x)(20+2x)=1200,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：xi=10,X2=20,

又・・・40-x225,

.X5,

.\x=10.

答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；

(3)设每件商品降价x元，商店可获得利润为w元，

根据题意得：w=(40-x)(20+2%)=-2炉+60/800=-2(%-15)2+1250,

：-2<0,xW15,

.•.当x=15时，w有最大值，最大值为1250,

答：当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元.

22.如图，在△ABC中，AB^AC,。在AB上，以。为圆心，08为半径的圆与AC相切于

点F,交BC于点。，交AB于点G,过。作QELAC,垂足为E.

(1)QE与。。有什么位置关系，请写出你的结论并证明：

(2)若的半径长为3,AF=4,求CE的长.

【分析】由已知可证得OCOE,。。为圆的半径，所以。E与。O相切；连接0。，OF,

由已知可得四边形ODE尸为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得40的长，从

而可求得AC的长，此时CE就不难求得了.

解：(1)OE与。。相切；

理由如下：

连接OD,

•：OB=OD,

工ZABC=ZODB；

'：AB=AC,

J.ZABC^ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC；

'：DELAC,

：.ODA.DE,

...OE与O。相切.

(2)连接。£>,OF；

,:DE,4F是。。的切线，

AOFLAC,ODVDE,

XVDEIAC,

四边形ODEF为矩形，

:.EF=OD=3：

在Rt^OEA中，AO2=OF1+AF1,

AA0=V32+42=725=5'

：.AC=AB=AO+BO=S,CE=AC-AF-EF=8-4-3=1,

CE=1.

答：CE长度为1.

23.如图，抛物线y=aN+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点8(点A在原点的左侧，点、B

在原点的右侧)，与