2022年中考数学压轴题押题及解析

2022年中考数学压轴题

1.如图1,抛物线产一孚/+竽X+2火与X轴相交于4、8两点(点/在点B的右侧)，

与y轴相交于点C,对称轴与x轴相交于点，，与/C相交于点厂

(1)点P是线段ZC上方抛物线上一点，过点尸作P。〃/C交抛物线的对称轴于点°,

当面积最大时，点M、N在y轴上(点”在点N的上方)，MN=a，点、G在直

线/C上，求PM+NG+^GA的最小值.

(2)点E为8c中点，EF_Lx轴于尸，连接E”，将△EFH沿EH翻折得4E尸H,如图

所示，再将沿直线8c平移，记平移中的为△£尸"/A在平移过程中，

直线与x轴交于点R,则是否存在这样的点R,使得△夫尸“为等腰三角形？若存在，

求出R点坐标.

解：⑴如图1,抛物线产一杀2+孥x+2b与x轴相交于48两点(点N在点2

的右侧)，

：.A(6,0)；B(-2,0)；C(0,2V3),

直线ZC的解析式为：丫=-苧尢+2通，

,.♦tanNC4O=塔，

NC4O=30°

过尸点作尸T'//QT,交AC于T,

设P(TH,-ni2+w+2A/3)>T'(TH,-+2^3),

则PT'=-m2+^^-m+2y/3—(—^-m+2y/3)=一与(w-3)

O□5OZ

♦：PQ〃AC,

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•••四边形Q7T'P是平行四边形，

:.QT=PT',

当面积最大时，，。最大，即尸〃最大，

即机=3时，△40〃面积最大，

此时尸点坐标为(3,季).

过点G作GEJ_x轴于E,作x轴关于直线4c的对称直线/,E的对称点为E',将尸例

沿y轴向下平移百个单位至P'N,作点P'关于y轴的对称点P",过P"作P'S，/

于S,则有

PM+NG吟GA=P"N+NG+GE'》P"S

373

・・・P(3,—),P"与P关于y轴对称

“3V3

:.P”(-3,—),

2

VZCAO=30°,直线/与x轴关于直线力。对称

：.ZCAS=ZCAO=30°,

：.ZSAO=60°

直线I的解析式为^二公;+6,则k=-tanZSAO=-tan60°=—V3

.・.尸一百了+4将力(6,0)代入得：0=—75x6+6,解得：b=65

・二直线/的解析式为y=-\/3x4-6V3,

•:P"S1.1

:・/P〃"=90°

9373

过点尸〃作P〃K〃工轴交ZS于K,则K(-,—),

22

9

z\

-l3)=125

2xz

YP"K〃工轴

:./P"KS=ZSAO=60°

P"S

*.*-----=sinZSL40

PHK

：.P"S=P"K・sin/"O=协1160°=

：.PM+NG+\GA的最小值=会省；

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(2)；产一32+竽x+2百=—噂(x-2)2+竽

•••抛物线对称轴为直线x=2,

：.H(2,0),

由(1)知：A(6,0)；5(-2,0)；C(0,2V3),

•.•点E为8c中点，EFLx轴于F,

：.E(-1,V3),F(-1,0)

1

，沿直线8c平移，各个点横纵坐标变化为石，设XEF”沿直线8C平移后

的AE'F"H'各顶点坐标分别为

E'(-\+t,V3+V3z),H'(2+f,V3r)

则直线£'H'解析式为卜=一聿+孥+竽/,令y=0,贝Ux=2+4f

：.R(2+430),

：.H'R2=[(2+t)-(2+4/)]2+(V3f-0)2=12尸，

H'F'2=[2+/-1)]2+(何—挈)2=4?-6Z+9,

F'R2=(2+4”#+(0—学/=16»+⑵+9,

•.♦△R产，'为等腰三角形，

：.H'R2=H，F'2或"'F'2=p解或/R2=H，R2,

①当屋="，尸，2时，贝i]i2p=4p-6什9,解得：“=-|,/2=,

此时，R(-4,0)或H(5,0)

②当"F，2=尸，小时，则"-6什9=16於+12什9,解得：f=0或-J,

，=0不符合题意，七一*与①重复

③当尸'd=卬小时，田+⑵+9=12p，解得：八=，2=-|，与①重复

综上所述，点A的坐标为A(-4,0)或R(5,0).

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图1

2.如图1,抛物线C：yuaf+fev经过点Z(-4,0)、8(-1,3)两点，G是其顶点，将

抛物线C绕点。旋转180°,得到新的抛物线C'.

(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；

(2)如图2,直线/：y=依-当经过点力,。是抛物线C上的一点，设。点的横坐标为

m连接。。并延长，交抛物线C'于点E,交直线/于点“，若DE=2EM,

求m的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接ZG、AB,在直线QE下方的抛物线C上是否存在

点、P,使得NDEP=NG4B?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

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解：⑴将N(-4,0)、8(-1,3)代入产a7+6x中，得｛:",普=。

解司：二:

二抛物线C解析式为：y=-x2-4x,

配方，得：y—~~4x—-(x+2)-+4,...顶点为：G(-2,4)；

(2)；抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C'.

，新抛物线C'的顶点为：G'(2,-4),二次项系数为：a'=1

•••新抛物线C的解析式为：7=(x-2)2-4=7-4x

将4(-4,0)代入y—kx—差中，得0=-4k—差，解得k=—5,

・・・直线/解析式为尸-|工-3

设。(〃?，-阳2-4加)，・・・Q、E关于原点。对称，

：.OD=OE

•；DE=2EM

：.OM=2OD,

过点。作。尸_Lx轴于R过/作轴于R,

：.ZOFD=ZORM,

,/ZDOF=ZMOR

:AODFsAOMR

ORRMOM

♦,-—--------o

••———4

OFDFOD

：・OR=2OF,RM=2DF

:.M(-2加,2〃/+8〃？)

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A2m2+Sm=一耳•(-2m)一可，

解得：加1=-3,加2=一引

♦：m<-2

的值为：-3；

(3)由(2)知：加=-3,

：.D(-3,3),E(3,-3),(9E=3V2,

如图3,连接8G,在△48G中，\'AB2=(-1+4)2+(3-0)2=18,BG2=2,AG2=

20

：.AB2+BG2=AG2

...△/8G是直角三角形，ZABG=90°,

•6/nAD鹿1

..tan/G/8=^=运，'

・；/DEP=NGAB

1

tanZZ)£P=tanZGAB=可

在x轴下方过点。作。〃_LOE,在OH上截取。〃=3。£=VL

过点E作歹轴于7,连接E〃交抛物线。于点P,点P即为所求的点；

■:EQ3,-3),

・・・ZEOT=45°

・.・/EOH=90°

：.ZHOT=45°

：.H(-1,-1),设直线E”解析式为丁=川+小

直线EH解析式为y=-3-

13

解方程组，y=R_],

y=—x2—4x

.7+>/73_,..\'"73-7

..x=--厂或丁一，

点尸的横坐标为：答或四二.

44

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图3

图1

3.如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标是（一遮，0）,点8的坐标是（0,1）.点8

和点C关于原点对称.点P是直线位于y轴右侧部分图象上一点，连接CP,已知S

S，

△BPC=2^ABC

（1）求直线NC的解析式；

（2）如图2,△NOC沿着直线NC平移得△/'O'C,平移后的点4,与点C重合点

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厂为直线ZC上的一动点,

当PF+#C的值最小时，请求出尸C'的最小值及此时点尸的坐标;

(3)如图3,将△尸8c沿直线以翻折得△尸8G,点N为平面内任意一动点，在直线RJ

上是否存在点M,使得以点M、N、P、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出

点"的坐标；若不存在，说明理由.

73

将点/、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得/°=一6m+n,解得:m=一手

m=-1n=-1

故直线/C的表达式为：y=-%-1；

(2)过点C'作直线/〃X轴，过点尸作P尸11,垂足为点F,交/C于点尸,

An一

tan/480=第=b，故/48。=60°,NB4O=30°,

1

VZOAB=30°=ZFC'F',:.FF=讨',

11

贝IJPF+尹C'=PF+FF'=PF',即此时，PF+^FC最小，最小值为尸F',

图2

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S^BPC=¥4BC，贝|Jlxp|=

y/33

故点P（——，一），

22

AC=CC'=2,则点C，（V3,-2）,

V3

则点r（―-2）,

2

一83、

点F（—,—5）＞

22

1

PF+抑J，最〃、值P产'7

2;

(3)存在，理由:

①当GMIPAI时,

贝I]GH=GSsinZGBH=2Xsin60°=遮,

故点G（-V3,2）；

M、N、P、G为顶点的四边形是矩形,

/o

点〃位置如下图所示，设点〃(如文+1),

y/3s+tV3

将点/、8的坐标代入一次函数：y=sx+t得:0=—解得：卜=可,

t=1

1=1

故直线43的表达式为：尸冬叶1…①,

・・,GA/，Z5,则设直线GM的表达式为：y=—瓜+b,

将点G的坐标代入上式得：2=-国x(-V3)+b,解得:-1,

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故：直线GA/的表达式为：y=—V3x-1

联立①②并解得：X=-亭，

叵1

故点M(一弓~，5)；

②当GM_LG尸时，

同理可得：点M(—苧，-1);

综上，点、M(一卓，一)或(一邛^，—

4.如图，在Rt/L42C中，ZACB=90°,。为月8边上的一点，以/。为直径的00交BC

于点£,交4C于点尸，过点C作CG_L/8交Z8于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交48于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结8P,8P恰好为的切线.

(1)求证：8c是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

3

(3)若sin//8C=^,/C=15,求四边形C〃0£的面积.

(1)证明：连接OP,

,：AD为直径，点Q为弦EP的中点,

PELAB,点Q为弦EP的中点，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

'：OE=OP,OB=OB,

：,/\BEO^/\BPOCSSS'),

.\ZBEO=ZBPO,

•.•8尸为。。的切线，

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AZBP0=9Q°,

：.ZBEO=90°,

：・OE工BC,

・・・8C是OO的切线.

(2)证明：9：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

•：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：・・1。为的O。直径，点。为弦改的中点,

：.EPLAB,

・；CG_L45,

：.CG//EP,

•；NACB=NBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEOf

•：OA=OE,

・•・NEAQ=NAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：./\ACE^/\AQE(AAS)f

**•CE=QE,

VZAEC^ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：・/CEH=/AHG,

•.*/AHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEH,

:.CH=CE,

.CH=EQ,

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・・・四边形CHQE是平行四边形,

,:CH=CE,

・・・四边形是菱形，

AG3

VsinZ.ABC=sinNACG—=一,

AC5

,・ZC=15,

：.AG=9,

：.CG=y/AC2-AG2=12,

/\ACE注LAQE,

：.AQ=AC=\5,

:・QG=6,

:.晦=（12-HQ）2+62,

解得:“苧，

5.如图，△28C中，AB=AC,。。是△/8C的外接圆，8。的延长线交边NC于点D

(1)求证：/BAC=2N4BD；

(2)当△88是等腰三角形时，求N8C。的大小；

(3)当工。=2,。£>=3时，求边8c的长.

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图1

*：AB=AC,

：.AB=AC,

J.OALBC,

・・・ZBAO=ZCAO,

*：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：./BAC=2/ABD.

(2)解：如图2中，延长/。交8C于〃.

①若BD=CB,则ZC=4BDC=NABD+/BAC=3NABD,

*：AB=AC,

：.NABC=NC,

：.NDBC=2NABD,

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•••/O8C+NC+N80c=180°,

・・・8N4BD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,则NC8O=N88=3NZ8。，

・•・ZC=4ZABDf

VZr>BC+ZC+ZCDB=180°,

：.\OZABD=1SO°,

AZBCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°♦

(3)如图3中，作力石〃8c交8。的延长线于瓦

图3

^AEAD2

则一=—=

BCDC3

A。AE4

—=—=一，设O8=CZ4=4a,OH=3a,

OHBH3

9：BH1=AB1-AH2=OB2-OH2,

・・・25-49。2=16。2-9。2,

.225

・・〃=弥'

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如图：△ZBC是等腰直角三角形，48c=90°,AB=\O,。为△48C外一点,

连接Z。、BD,过。作。垂足为“，交4c于E.

(1)若是等边三角形，求。E的长；

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Q

(2)若BD=4B,且tan/印加气，求。E的长.

【解答】解：(1)是等边三角形，48=10,

二408=60°,/£>=”=10,

:DHLAB,

:.AH=%B=5,

：.DH=yjAD2-AH2=V102-52=5V3,

•••△Z8C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即N4E〃=45°,

AAEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

2

(2)'：DHLAB,且

可设BH=3k,贝UDH=4k,

根据勾股定理得：DB=5k,

,:BD=4B=IQ,

.•.5%=10解得：k=2,

：.DH=8,BH=6,AH=4,

又,：EH=AH=4,

:.DE=DH-EH=4.