函数的极值凸性

25.04.2024福州大学数学与计算机学院1关于函数的极值凸性25.04.2024福州大学数学与计算机学院21.求

;2.求的点和不存在的点:3.计算4.比较上述值的大小,有:第2页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院3例1解计算比较得第3页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院4最大值,最小值的特殊情形:第4页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院5例2设有一块边长为a的正方形铁皮,从其各个角截去同样的小正方形,做成一个无盖的方盒,问截去多少，才能使做成的盒子容积最大？解设截去的小正方形边长x，盒子的容积为第5页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院6（唯一驻点）故截去为边长的小正方形时,所做盒子容积最大。第6页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院7第7页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院8就是最小点，此时所以唯一驻点

32pVd=第8页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院9实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;第9页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院102、利用最大、小值证明不等式第10页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院11第11页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院12小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.利用最大、小值证明不等式第12页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院13思考题第13页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院14思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但第14页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院15四、函数的凸性1.函数凹凸的定义2.函数凹凸的判定3.函数的拐点及其求法4.利用凹凸性证明不等式第15页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院161.函数凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第16页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院17此时,图形上任意弧段位于所张弦的下方定义:第17页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院18此时,图形上任意弧段位于所张弦的上方定义中的区间也可以是无穷区间第18页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院192.函数凹凸的判定第19页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院20定理4(判别法2)判别法1第20页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院21例1解注意到,第21页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院223、函数的拐点及其求法1)定义第22页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院23证第23页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院24求拐点的步骤：1

求二阶导数等于零和不存在的点2

判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号3

写出拐点

.第24页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院25例2解

拐点拐点第25页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院26第26页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院27例3解注意:第27页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院28方法2:例3解第28页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院29第29页,共32页，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大学数学与计算机学院30证4、利用凸性证明不等式第30页,共32页