考研数学二(解答题)模拟试卷219(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷219(题后含答案及解析)题型有：1.1．设y=x2ln(1+2x)，求y(6)．正确答案：y(5)=C50x2[ln(1+2x)](5)+C512x[ln(1+2x)](4)+C522[ln(1+2x)](3)，涉及知识点：高等数学2．设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．正确答案：涉及知识点：高等数学部分3．设z=z(x，y)是由f(y-x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求正确答案：f(y—x，yz)=0两边关于x求偏导得涉及知识点：高等数学4．设F(χ)＝，求F〞(χ)正确答案：涉及知识点：一元函数微分学5．设α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A＝ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝∧为对角矩阵．正确答案：(1)Am＝(ααT)(ααT)…(ααT)＝α(αTα)m-1αT＝(αTα)m-1(ααT)＝A＝rm-1A，其中t＝ai2(2)A≠O，1≤秩(A)＝秩(ααT)≤秩(α)＝1，秩(A)＝1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n－1重特征值λ1＝λ2…＝λn-1＝0．设a1≠0，由0E－A→A＝得属于特征值0的特征值可取为：由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0＋0＋…＋0＋λn＝ai2，得λn＝ai2＝αTα，由Aα＝(ααT)α＝α(αTα)＝αλn＝λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P＝[ξ1ξ2…ξn-1α]，则有P-1AP＝diag(0，0，…，0，ai2)为对角阵．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量6．求正确答案：因为涉及知识点：函数、极限、连续7．设f(x)在[0，1]上可微，当0≤x≤1时，x＜f(x)＜1，f’(x)≠1，试证在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=z．正确答案：考虑F(x)=f(x)一x．涉及知识点：高等数学8．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使eη一ξ[f’(η)+f(η)]=1．正确答案：对F(x)=exf(x)和g(x)=ex分别在[a，b]上用拉格朗日中值定理．涉及知识点：高等数学9．计算正确答案：令由A(1＋χ2)＋(2χ＋1)(Bχ＋c)＝3＋3χ－χ2得解得A＝1，B＝－1，C＝2．涉及知识点：不定积分10．正确答案：涉及知识点：二重积分11．设f(x)=ex-(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．正确答案：由f(x)=ex-，两边对x求导，得f’(x)=ex-，两边再对x求导得f’’(x)+f(x)=ex，其通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex-中，令x=0得f’(0)=1，于是有C1=涉及知识点：常微分方程12．设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．正确答案：由泰勒公式当x→0时，y(x)与x3同阶→y(0)=0，y’(0)=0，y”(0)=0，y”‘(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)一y”=0两边积分得∫0xy(4)(t)dt一∫0xy”(t)dt=0，即y”‘(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx．易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1一C2=C因此最后得其中C为任意非零常数．涉及知识点：微分方程设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点13．试求曲线L的方程；正确答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y—y=y’(X—x)．令X=0，则该切线在y轴上的截距为y—xy’．由题设知令则此方程可化为解之得由L经过点于是L方程为涉及知识点：微分方程14．求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．正确答案：设第一象限内曲线在点P(x，y)处的切线方程为即它与x轴及y轴的交点分别为则所求面积为上式对x求导，得令S’(x)=0，解得当时，S’(x)＜0；当时，S’(x)＞0，因而是S(x)在内的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线为即涉及知识点：微分方程15．设B=2A一E，证明：B2=E的充分必要条件是A2=A．正确答案：B=一2A一E，B2=(2A—E)(2A—E)=4A2一4A+E．4A2…4A+E=一E←→4A2一4A=O←→A2=A涉及知识点：线性代数16．曲线的极坐标方程为r=a(1+cosθ)，求该曲线上对应于处的切线的直角坐标方程．正确答案：由直角坐标与极坐标的关系，有x=a(1+cosθ)cosθ，y=a(1+cosθ)sinθ，所以涉及知识点：一元函数微分学17．设α是一个n维非零实列向量．构造n阶实对称矩阵A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值为非零实数A．正确答案：ααT是n阶实对称矩阵，秩为1，并且α是ααT的特征向量，特征值为αTα=(α，α)．和题目要求只差在α的特征值上．于是记c=λ／(α，α)，设A=cααT，则A是n阶实对称矩阵，秩=1，并且Aα=cααTα=c(α，α)α=λα．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化18．设A是一个n阶正定矩阵，B是一个n阶实的反对称矩阵，证明A+B可逆．正确答案：证明(A+B)X=0没有非零解．设n维实列向量α满足(A+B)α=0，要证明α=0．注意B是反对称矩阵，αTBα=0(因为αTBα=(αTBα)T=-αTBα．)αTAα=αTAα+αTBα=αT(A+B)α=0由A的正定性得到α=0．涉及知识点：二次型19．设A为，2阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．正确答案：首先AT=A，因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠