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文档简介

1、第三章 纳维-斯托克斯方程组 的精确解 n在第二章里建立了粘性流体动力学的基本方程组,从 本章开始将讨论由此方程组描写的粘性流体运动的物 理属性和特征以及方程组的解法。一般情况下寻求纳 维-斯托克斯方程组精确解的问题在数学上遇到了巨大 的困难,这主要是由方程组的非线性引起的。由于这 些困难,迄今只在一些特定的条件下求得了方程组的 精确解。这些精确解从不同方面反映了粘性流体运动 的性质。由于对大多数实际关心的问题不能求得精确 解,因而不得不引入不同程度的物理的或数学的近似 以示得其近似解,其中边界层近似则是很好的例子。 随着高速计算机的发展,数值求解起着越来越大的作 用。这些将在以后各章中讨论。

2、 n迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的,这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合,可在解得速度、压力后单 独求解温度(2-4) n在第七章将说明,在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定,可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的,但这种解是不稳定的,因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效,即本质上是层流解。 n在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出, 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解,因为这时位势函数也使粘性项 变为零。 2 222 , grad

3、 (grad )0 (grad )grad()0 , 0 1 () u u u u u uup t 若存在位函数使 则由连续方程可得 于是得 可见 若此位函数 满足不可压无粘运动方程组 n但是位势解一般不能满足无滑移边界条件,因为, 若在固壁边界处保证法向速度为零,则由位势函数 可决定其切向分速,因而一般情况下不能保证为零。 所以,不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有 物理意义的解。但也有例外情况,当固体边界运动 时,位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际 意义的解(见3-3)。 2 2 0 1 () 0. u u uupu t u 则它也满足对应的粘性方程组 因它使 n本章讨论的精确

4、解包括两大类。第一类是解析 解,即未知函数完全由自变量解析地描述,且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解,它在二维(包括轴对称)问题时可以 化成一维问题,即可由常微分方程(组)的解 表示。在所得出的这些常微分方程(组)中, 有些至今未找到解析解,而只有数值解。由于 这些常微分方程(组)具有通用性,其数值解 也有通用性,故常列表给出。 3-1 平行定常流动中的 速度分布 , ,., ,(2.1.3),0, , ( , , ),0,0 , , u vw x ux uu y z t vw FH FH P PpH 平行流动是特别简单的一类流动 其定义是只有一个速度分量 不为零 所有流体微

5、团沿同一方向运动不失一般性 可设全流场 和 都为零 则由不可压流量连续方程式可知即 分量 不随 变化 所以对于平行流可得 设彻体力 有势 即存在势函数使 则可引入压力函数使 22 22 (2.2.8) /0/0, ,( , ). (3.1.1),(2.2.8) , d d ( , , ). . y zPyPz PxtPP t x x uPuu txyz u y z t 于是由不可压纳维斯托克斯方程关于 和 向的分量可得和即压力 函数 只是坐标 和时间 的函数由平 行流定义式可得 动量方程关于 向 的分量方程中平流项为零 于是 此即关于的线性微分方程以下分几种 情况分别求解 1.二维泊肃叶流动

6、2 2 ,(3.1.2) dd dd , 3.1.1, :0 2. Pu xy yh u h 对于两个平行直壁之间的定常二维流动 方程成为 若两平行壁面都是静止的 如图所示 则边界条件 为 其中为壁间距离 2 2 2 2 2 max 2 max ,(3.1.3) , dd dd ,(3.1.4), d 1 2d . d ., 2d 1 Pxuy Pu xy y hPy u xh hP u x y uu h 由于 只是 的函数 而 只是 的函数 若要方程 成立 必须 常数 将此式对 积分 考虑到边界条件则 可见速度剖面为抛物型等式右端的负号表示速度指向压力 降低的方向若用表示中线上的最大速度 则

7、 速度剖面可表示为 2.库埃特流动 n这是另一种平行直壁之间 的流动,其中一个直壁静 止不动,另一直壁在自身 所在平面内沿流向移动 (图3.1.2)。这时方程 (3.1.3)仍然成立,因而式 (3.1.5)也成立,但边 界条件应改为 :0 : . yh u yh uU U 其中 为上壁面平移速度 n这种特殊情况称为简单库埃特流动,即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这 简单流动上迭加一个由式(3.1.6)描写的有压力梯度 的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B 有关 2 2 (3.1.3) d 11 22d 1 2 UyhPy u hxh Uy u h 方程满足

8、此边界条件的解为 当压力梯度为零时 2 d d hP B Ux n图(3.1.2)上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B 0,即压力沿流动方向下降,称为顺压力梯度,在整个 槽道内速度为正值。当B0,压力沿流动方向增加,称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后,槽道内靠近静止壁 面的某些区域内的速度为负,即出现逆流。开始出现逆 流的条件是 2 d 0 d (3.1.8) d d2 1/2 1 , 2 yh u y PU xh B B 由式可知此条件对应于 当时 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的 拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流. 3.哈根-泊肃叶流动 n这是直圆管中的平行 流动。为保证

9、是真正 的平行流动,需要满 足两个条件:第一, 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流(第七章);第 二,管道足够长,以 形成充分发展了的管 道流(10-6)。 2 2 , (3.1.3),., , :,; d ,., d ,( 3.3.14 ) d1 dd ddd x u uxrP P rx x Ac uuP rrrx 现以管道中心线为圆柱坐标系轴线 并用 表示 图该方向速度为 对于平行流动 径向 和周向分速度为零 故可按照与前面类似的讨论 得知不随 变化 只随径向位置 变化 压力 不 随 变化 只随 变化 且常数这时由圆柱 坐标系表示的动量方程 附录三 式 可得

10、2 2 0 0 2 12 22 0 (3.1.5) d1 dd ddd :0 d 0:0 d .(3.1.13b) 1 d ln d4 1 d () 4d uuP rrrx rru u r r r P r uCrC x P urr x 仿照推导式的过程可得 常数 边界条件为 其中 为管道半径积分式得到 代入边界条件可得 0 22 0 0 4 0 2 0 0 2 0 ,. . : 1 d -(-)2d 4d d - 8d : d - 8d r A P GudArrr r x rP x rGP U rx 可见 这是轴对称的旋成抛物面由此可求出下列 工程上常用的各种参数 流量 断面平均流速 0 22

11、2 max00 0 0max 0 0 0 2 0 : 1 d1d () 4d4d 1 2 : 4d1d d2d : 16 1 Re 2 r w r r w f PP urrr xx Uu UuP r rxr C U 最大速度 因此 壁面切应力 壁面摩擦阻力系数 0 0 2 0 22 010212 12 12 12 Re 2 ,. 2 (, ), 22 f f U d d dr h Up z gg z UUpp hzz gggg pp zz gg 其中雷诺数定义为 为圆管直径 工程上常用到沿程水头损失它实际上是机械能的耗散 若用代表某截面上单位重量流体的总机械能 其中 为该截面在某一坐标系的高度

12、 代表彻体力对应的 势能 则两个截面间的沿程水头损失为 P g 0102 0 2 0 , d ., d d1 d , d 2 d 1 2 f UU Ppgz P z x h PP ll gxg f P r x f U 这里利用了等截面管并设在重力场中 压力函数 其中 轴方向与重力方向相反由于为常数 则单位长度 上沿程水头损失为 引入摩阻因子 以反映水头损失 其定义为 2 0 (3.1.24) 2 (3.1.17)(3.1.25) 64 Re 3.1.4,(3.1.27) ,. .(3.1.21) (3.1.27), 4 f f f Ul hf dg f fC fC 则由式可得沿程水头损失 将式

13、代入式则得 由图可见由式确定的理论摩阻因子与实 验符合得很好 但这只适用于低雷诺数层流流动 管道摩阻因子 与壁面摩阻系数有关由式 与式可见 对于这里讨论的管道平行流 其关 系为 3-2 平行定常流动中的 温度分布 n前已指出(2-4),不可压缩流体的流动 是非耦合的,可以由质量和动量方程解 出速度和压力场后再用能量方程求解温 度场。不可压缩流体的能量方程常用式 (2.3.18)表示。 n对于简单的平行定常流动,能量方程也 可进一步简化,并利用前面得出的速度 场和压力场的解析解求得温度场的解析 解。 1.二维泊肃叶流动 2 ,(3.1.1) . ,0,(2.3.4 ), (3.2.1), , 0

14、 w w T yhTT vb u y T x 设上下直壁具有恒温则应有如下边界条件 参看图 对于平行流动则由式可知 这时的耗散函数可 化为很简单的形式 在恒温边界条件式情况下 若温度剖面也是完全发 展了的 则应有 2 2 2 22 2 max 24 4 2 max ,0,(2.3.18) dd dd (3.1.6b) 4d d (3.2.1) ( )1 3 . w Q Tu k yy uT ky yh uy T yT kh 若不存在化学反应等热源 即则能量方程 可简化为 将已解得的速度分布式代入此式则得 积分此式并注意边界条件则得 可见温度分布为四次抛物型 n应当指出,与耗能有关的温度分布在中

15、心线处最高, 但这并不意味着中心线处的耗散最高,恰恰相反, 由速度分布式(3.1.6b)可见,中心线处耗散最低, 而壁面附近耗散最高。由式(3.2.4)可见,温度分 布是由耗散分布与导热特性决定的,即是说,一种 给定的耗散分布要求一种相应的温度分布才能将耗 散生成的热量传导出去,以达到温度的平衡状态。 容易看出,只当在壁面附近温度梯度有较高的空间 变化率时才能将当地生成的大量耗散热传导出去。 2 maxmax . 30m/s,/3 ,0.2 C, 0.5 C., uuk 此式右端第二项代表粘性耗散引起的温度增量在 时 最高温升对空气约为 对水约为因此 除了粘度较大,导热系数较低的 流体或高速流

16、动的情况外,耗散总是可以忽略的. 2.库埃特流动 *2*3 2 *4 , , : : ,(3.2.4), (3.1.8),(3.2.7), 1PrPr (1)()() 286 Pr (1) 12 e w w e UT T yh TT yh TT EcEcB Tyyyy EcB y 设以恒速在自身平面内平移的上直壁具有恒温静止的下直 壁具有恒温即温度边界条件为 对于库埃特流动 简化的能量方程仍有效 将解得的速度分 面式代入此式 积分两次 利用边界条件式最后可得 * * * 2 () (3.1.10). w ew pew T TT T TT y y h Ec U Ec c TT B 其中为量纲一温

17、度 数在这里的定义为 由式定义 3.2.1.(3.2.8), d 0,0 d .0(3.2.1a) ,d /d0, ., , ,Pr P U x B Px U Ec 图给出了库埃特流动的温度分布由式可见 右边 第一项相当于时两壁间由于温差而产生的纯 导热的温度分布图的情况由右边第一项与第二 项描述 它对应于只由上下壁的速度差和温度差 而引起的温度分布第二项说明 若上壁速度越大 则流体耗 散率就越大 这就要求更大的温度梯度的变化率 才能将耗散 热传导出去 这是量纲一参数影响温度.分布的一种因素 2 4 *4 ,(3.2.8), d (1) 12()d , ew B hP Ty kTTx U 当

18、足够大时 式中只保留最后一项 成为 即温度分布与上壁平移速度无关 呈现出泊肃叶的四次 抛物型特征参看式(3.2.6). 哈根-泊肃叶流动的温度分布与二维泊肃叶流动类似,读 者可在习题中自己推导. 本节的讨论均未考虑浮力引起的自然对流.基本流动为水 平方向哩,垂直方向的自然对流会使平流假设不再适用. 3-3 同轴旋转圆筒间的 定常流动 12 2 111 222 ., . ,0. :0, :0, ,. z r r r rr u rr uur rruur uu 1 可求得纳维斯托克斯方程组精确解的另一例子是两同 轴旋转圆筒间的定常流动设内外圆筒的半径分别为 和 它们分别以等角速度和旋转设流体运动只限

19、于旋转 平面内而无沿旋转轴方向的运动 即轴向速度边界条 件应为 其中为周向分速度为径向分速度 2 2 22 , ,0. ., ( 3.3.14a)( 3.3.14b)() 1 d d dd1 0 dd (3.3.3) r uupr AA up rr uuu rrrr B uAr r 由于几何条件和边界条件的轴对称性质 且流场中没有源 或汇 对于定常流动 必有所以和压力 都只是 的 函数若忽略彻体力 对于定常 不可压流 在圆柱坐标系中 的径向和周向动量方程和见附录三 成为 式的一般解为 22 22 12 2 21 121 22 21 1 2 (3.3.1), 1 ()() (3.3.2). (3

20、.3.4)(3.3.5), /. ,. 0,(3.3.5) AB r r urrr rrr ArB r r ur 由边界条件可定出系数 和于是最后可得 将此式代入式则可解得压力沿径向的分布 速度解式或式表明 它们是由刚体转 动式的旋涡与等环量势流两部分组成在如 下的极限情况下 只有某一部分起作用当内圆筒半 径时 式成为 2 2 111 2 1111 . ,(3.3.5) 2 2., r r u rr r 即完全的则体转动式速度分布当外圆筒静止不动且 半径时 式成为 其中即是说 这时的速度分布与强度为 的点涡在无粘流中诱导的速度分布是完全一样的.所 以,在这种情况下,点涡周围的无粘流解也就是纳维

21、- 斯托克斯方程的解.这是一个特殊的例子,无粘流解既 满足粘流的边界条件,也满足粘流方程本身. 2 2 2 2 2 121 22 21 2 2 22 0 , . ( 3.3.10) d - d (3.3.5), 2 (-) - - 4( d- r rr r r r M A uu rr rr r rr Mr 根据所得出的速度分布 可进一步求出作用在圆筒上 的摩擦力矩以及维持这样的运动所需消耗的机械能 由附录三式可得摩擦切应力 将式代入此式 令可得外筒内壁上的切应力 由此可求得流体作用在单位高度外圆筒内壁上的摩擦力 矩为 22 1212 22 21 -) - r r rr 12 222 1212

22、122 22 21 12 , , 4() 0,. , . MM r r MM rr 1 请读者在习题中证明内圆筒外壁上受到的摩擦力矩 与外筒内壁上受到的摩擦力矩大小相等 方向 相反.由此可得单位时间内克服作用在单位高度上内 外圆筒上摩擦力矩所消耗的机械能为 N= 令或可得滑动轴承的摩擦损失公式应当指 出 实际的滑动轴承由于负荷作用而使内外筒不同轴 所以上述公式有一定误差 1 212 (3.3.9),0, (). 1890,. , , . MM 在公式中 若令则可用测量外筒旋转速度 和内筒力矩的方法算出粘性系数 这是库 埃特年提出的方法 现仍在应用 上述讨论都是在定常和轴对称条件下进行的 第七章

23、 将指出 在某些情况下流动可能变得不稳定而出现其 他运动形态 3-4 平行非定常流动 2 2 . , 0,0, , 0 ,., , . vwp u x uyt uu ty 首先考虑直壁在自身平面内做非定常平移所引起的流动 设仍为平行流动 且压力为常数 即 常数 对于不可压缩流 由连续方程可得 即对于二维流动 速度 只随 和 变化这时 迁移加速度项 为零 摩擦力仅与当地加速度相互作用 流向动量方程成为 这是典型的扩散方程 1.直壁突然加速 0 , , 0:0, 0:,0 0, : ,0,0 ,0,0 . tt UU tuy tuUy uy ty ty 设起初壁面和流体完全处于静止状态 在时刻 直

24、壁突然加速到并维持恒速则定解条件为 对于所有的 对于 对于 此定解问题相当于如下的热扩散问题 起初与周围 温度相等的物体 在时 突然将其的一端加 热到某个高于周围的温度 求解时 热量沿 的空间扩散 2 (3.4.3) 20 ( ) (3.4.4) 0:1 :0 y t ff u f U f f 利用变换 可将偏微分方程化为如下的常微分方程 其中 定解条件化为 2 0 ,(3.4.6) 2 ( )1d 1 erf( ) erf( ). 3.4.1. (3.4.5) , . u fe U 在此定解条件下 方程的 解为 式中称为高斯误差函数 图给出了流场的速度分布 可见用变换式是很方便 的 它把不同

25、时刻的速度分布综 合成了一条曲线 2 4 2 (3.4.9a). -e ,0, 0(/). .(2.9.10), . y t uU yt t yyt 由式可以得出涡量 的分布对于所讨论的平行 流动可得 由此式可见 平板突然加速的瞬间 即时 在平板壁 面处 保持有界趋于无穷大这说明了涡量 在固壁产生的情况将此式与式比较可见 平板 突然加速产生的涡及其扩散的形式与点涡基本一样 00 0. (2.9.13) (3.4.9 ) ddd , ,.2-9-5 , . d /d A yy I a u IAyyU y U px 现考察单位长度平板上从到的区间内的涡通量 由涡通量 的定义式并考虑到平行流的特点和

26、式 可得 可见 当时 上述单位长度平板上的半无限区域内的 涡通量为常数 且等于平板速度与讨论过和点涡 情形一样 此结果说明 如果区域内无新的涡源 单纯的涡 量扩散不会改变无限大区域内总的涡通量 对于0, (3.4.3),(3.4.4). ,. 的二维库埃特流 平板突然加速时的运动方 程仍为式但边界条件不再是式此即二维库 埃特流的形成问题 其解可用级数表示 3-8 可压缩流体的库埃特 流动 n本章以前各节所考虑的解都是针对密度及其他输运 特性系数为常数的流体的。本节将以库埃特流动为 例考虑压缩性及其他输运特性变化的影响。由于密 度不再是常数,必须把能量方程与质量、动量方程 耦合起来,一道求解。加

27、之粘性系数和热传导系 数k可能发生变化,使问题更加复杂。因而,对于 可压缩粘性流动至今只得到了很少数几个准确解。 且所有的准确解都仅适于简化的情况,即只有一个 速度分量随一个坐标变化。有两个典型的例子: n(1)正激波,在激波厚度内只有沿流向的梯度; n(2)可压缩的库埃特流动,这是沿横向有梯度的 流动。我们只讨论后者。 2 e ee 22 2 11 1 2 11 , e., (2.4.1),/(1), 1 (1)(1) /., ., p p pv Ec U Ec c T cR UU EcM a R Ta ccMa EcMa 在第二章讨论量纲一相似参数时曾提到埃克脱数 这里可定义为 其中角标

28、表示某参考点的值对于气体 若用完全气体状态 方程并用关系式则可得 其中 为比热比可见 对于完全气体 马赫数与埃克 脱数都可反映压缩性问题在气动力学中数用得较多 而在与换热有关的.Ec问题中数用得较多 1.可压流库埃特流动的定解问题 3.8.1, . ., :0, :, e w ee p U y yh uTT yh uU TT 如图所示的库埃特流动 压力 为常数 底板固定 顶板 以恒速在自身所在平面内平移流体的运动全部是由顶板 的拖动作用造成的不考虑沿 向的自然对流由图可见 流 动的边界条件应为 , 0 0 , ,. , ,.(3.8.4) (2.1.2b).(2.2.5) (2.3.20) d

29、d 0, dd ddd() 0 ddd (1.4.6). ew v S x Su p T u Ty u yy Tu k yyy 在上述条件下 流动为平行流 即 其中为等物理量 在二维定常条件下和 都只是 的函数条件 使质量方程自动满足动量方程和能量 方程分别成为 或常数 后一式中应用了傅里叶热传导定律 , , ( ),( ) , ( ),( ) . (3.8.6), ,0, . w yh w k Tkk T Ty y kk y dT kuC dy u dT Ckq dy q 设粘性系数 和热传导系数 都只是温度的函数 且函数关系已知 记为 由于温度 又只是 的函数 故应有 所以定解问题应是可解

30、的 积分能量方程一次 则得 在下壁处故可得 其中为下壁处的导热率 2 2 2 (3.8.9)(3.8.5) dd dd 2 /, , d 2 ,(3.8.12) 1 d 2 w e w w T T w T w we T e kuyu TCC kT ukC Tu k CqUT U 式可用式改写为 因为只是 的函数 可对此式从下壁到两壁之间的 任一点积分 则得 利用上壁面的边界条件 注意到式可写为 0 (3.8.5)d 1 d (3.8.12), ,( ), (3.8.14).,(3.8.12)(3.8.14) , . u w y yhu TuT uu u TykT 将式两端乘后积分可得 由于式已

31、建立了 与 之间的关系 而 又只是 的 函数 所以可以认为已建立了 与 之间的关系于是 式可积总之 式和式形式上解得 了与 的关系 但若 和 与 的关系复杂 则只能用数 值方法求解 2.解析解 2 ,/. ,0 C1000 C,(1.4.5)(1.4.8) ,82%,64.7%,10%./ ,Pr.,(3.8.13) Pr Pr2 ,0 wp e wwe ep w kTk kk c U CqTT Uc q 许多情况下 虽然 和 都随 变化 但其比值却几乎不变例如对 于空气 温度从增加到按萨瑟兰公式和式计 算增加增加而其比值又增加所以设常数 是很好的近似 这相当于近似假设为常数引入此近似后 式

32、成为 设底壁绝热 即 2 ,.(3.8.15) , Pr 2 aw w e awe p T q U TT c 此壁温称为绝热壁温 记为由于只当式 右端括号内的值为零时才可能为零 由此可得出绝热壁温 2 2 (3.8.1)(3.8.2), 11 1Pr1Pr 22 (3.8.13)(3.8.12) PrPr 1 22 aw e e ww eeeee n ee T EcMa T C TTTEcuEcu TTTUU T T 利用式和式此式可写成 将式得到的常数 代入式后积分可得 若取幂次粘性公式 23 2 1,(3.8.18)(3.8.14), 1 PrPr 1 22 ,(3.8.14) (2/)

33、1Pr 1 2Re6 Re eww e weeeee fwee w f e ee e n TTuEcuEcu yhU T UTUU CU TEc C T U h 且取将式代入式积分可得 利用同样的关系 将式积分到上壁时可得壁面摩擦阻力 系数 其中 ,(3.8.18),(3.8.20) (3.8.21), ., (3.8.17)(3.8.21) 12 2Pr 2Re3 ,(3.8.21) 11 2Pr 2Re6 aw f we f T CEc TT CEc 当下壁给定不同温度条件时由式式和 式给出的速度 温度和摩擦阻力系数的关系会有 相应的变化例如 若给定下壁绝热壁温时 则由关系 式和式可得 若下壁为冷壁 即则式成为 2 , ., ,. (3.8.17)(3.8.18) 1 Pr 2 ,(6-6). . 3.8.2,( f f waww eeeee CEc C TTTTuu Ec TTTUU Ec 由所得关系可见随加热和数而增大 这是由库埃特 流动得出的结论但这不适合边界层流动 因为加热和 增大马赫数都会使边界层厚度增大 使稍有下降 将式代入式可得 此式是很有用的关系 称为克罗柯布泽曼公式从这 些式子可看出用数很方便 图给出的速度 温度的分布 是根据式 3.8.20) (3.8.25

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