分段函数知识点及常见题型总结

第7页分段函数知识点及常见题型总结资料编号:20190726一、分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.二、几种常见的分段函数1.取整函数（表示不大于的最大整数）.其图象如图（1）所示.2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数,其图象如图（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.3.自定义函数如函数为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.4.符号函数符号函数,其图象如图（4）所示.符号函数的性质:.说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点.三.分段函数的常见题型1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现的形式时,应从内到外依次求值.例1.已知函数,则的值为【】（A）（B）2（C）4（D）11解:∵,∴,∴∵,∴,∴.【C】.习题1.已知函数,则【】（A）0（B）（C）（D）12.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2.已知函数,若,则_________.解:当时,,解之得:,不符合题意,舍去;当时,,解之得:,其中,舍去,∴综上,.习题2.已知函数,若,则的值是【】（A）（B）2或（C）2或（D）2或或习题3.已知,若,则实数的值等于_________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3.已知函数,求使成立的的取值范围.解:由题意可得:或解不等式组得:1≤;解不等式在得:或∴使成立的的取值范围为.习题4.已知,则不等式≤2的解集为【】（A）（B）（C）（D）习题5.设函数,则不等式的解集是____________.习题6.函数,若,则实数的取值范围是_________.例4.已知,函数,若,则的值为_________.解:当,即时,∴,∵∴,解之得:,不符合题意,舍去;当,即时,,∵∴,解之得:,符合题意.综上,的值为.习题7.设,若,则_________.习题8.设函数,,则当时,【】（A）（B）（C）（D）习题9.设函数,若,则实数的值为【】（A）（B）（C）或（D）或4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5.函数的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为.5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域（图象法）.例6.设R,求函数的值域.解:当≥1时,;当0≤时,;当时,.综上所述,其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为.另解:由上面可知:当≥1时,函数的值域为;当0≤时,函数的值域为;当时,函数的值域为.∴函数的值域为.例7.若R,函数是这两个函数值中的较小者,则函数的最大值为【】（A）2（B）1（C）（D）无最大值解:解不等式≥得:≤≤1∴当≤≤1时,,其值域为;解不等式得:或∴当或时,,其值域为综上所述,函数的值域为∴函数在其值域内的最大值为1.函数的图象如图（6）所示.习题10.若函数,则函数的值域是【】（A）（B）（C）（D）习题11.函数的值域是【】（A）R（B）（C