用空间向量研究距离、夹角问题(2) 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角．2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角．3.理解二面角的夹角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．活动方案思考1►►►在空间向量运算的坐标表示这一节中，已经涉及借助空间向量的坐标解决两条异面直线所成角的余弦值问题，能否总结回顾一下它的原理？活动一利用向量方法求两异面直线所成的角【解析】

先求出两条异面直线的方向向量，再利用空间向量的数量积公式，求出两个向量夹角的余弦值，再回到异面直线所成的角的问题．例1如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．又△ABC和△ACD均为等边三角形，

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF和BC1所成角的大小．利用空间向量求两条异面直线所成角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式求出两条直线方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到两条异面直线所成的角．思考2►►►我们已经知道利用向量可以解决异面直线所成角的问题，能否用向量方法求直线与平面所成的角？活动二利用向量方法求直线与平面所成角及平面与平面所成角的大小思考3►►►除了异面直线所成的角和直线与平面所成的角以外，空间中还有什么角？是否也能用向量方法去解决？【解析】

空间中还有平面与平面所成的角，也可以用向量方法去解决．例2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．【解析】

以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0,0,1)．根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0,1,3)，Q(2，0,2)，R(0,2,1)，利用向量方法求平面与平面所成角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小．最后结合平面与平面所成角的范围得到平面与平面所成角的大小．但求解二面角的大小时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．【解析】

以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0，2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0，2,2)．易得n1＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z)．空间中角的问题都可以用向量的夹角去解决，先将图形问题化为向量问题，再进行向量计算，最后回到图形问题，从而问题得以解决．检测反馈245131.若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成角的大小为(

)A.30° B.45°C.60° D.90°【解析】

因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.【答案】D245132.(2022·阳江四校期中联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°，

则BC1与A1C所成的角的余弦值为(

)24513【答案】A24533.(多选)(2022·山东省实验中学阶段性检测)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中不正确的是(

)12453124531【答案】AC24534.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________.1【答案】45°24535.(2022·无锡一中期中)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD上靠近点A的三等分点，PA＝6，AC＝4，AB＝2.求：(1)直线ND与直线BE所成角的余弦值；(2)平面CEM与平面MNE夹角的余弦值．124531【解析】(1)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，故以A为坐标原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD上靠近点A的三等分点，PA＝