空间点、直线、平面之间的位置关系 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标借助长方体，直观认识空间点、直线、平面之间的位置关系．活动方案活动一背景引入1.我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？【解析】

略【解析】

略2.观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？活动二空间中直线与直线的位置关系3.异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交．如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示．

注：如无特殊说明，“两条直线”指不重合的两条直线，“两个平面”指不重合的两个平面．

【解析】(1)A1B1，CD，C1D1(2)AD，AA1，BB1，BC(3)既不平行又不相交例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)与AB平行的直线有哪些？(2)与AB相交的直线有哪些？(3)直线AA1和C1D1平行吗？相交吗？如图，AB∩α＝B，A∉α，a⊂α，B∉a，直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？【解析】

直线AB与a是异面直线．理由如下．若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾，所以直线AB与a是异面直线．【解析】

与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．思考►►►如何判定两条直线是否异面？判断异面直线的方法：方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线图象法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线活动三空间中直线与平面的位置关系问题1：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面分别有哪些位置关系？【解析】

直线BC1与平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面ABB1A1、平面CDD1C1相交，直线BC1与平面ADD1A1平行，直线BC1在平面BCC1B1内．直线与平面的位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．直线与平面的三种位置关系如下：注：直线在平面外，记为a⊄α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α.【解析】

由直线与平面的位置关系可知①正确；这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确，对于③，包括两种情形，直线a∥α或直线a与α相交，故③不正确．故正确的个数为1.例2下列说法：①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；③若直线a在平面α外，则a∥α.其中正确的个数是(

)A.0

B.1

C.2

D.3【答案】B解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析．活动四空间中平面与平面的位置关系问题2：请同学们观察下图，这是一个二层楼房的简易图，在其中的四个平面中，两个平面可能有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？【解析】

两个平面有两种位置关系：相交、平行．α与β没有公共点，则α与β平行；γ与δ有公共点A，B，则γ与δ相交．两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图所示：平面α与平面β平行，记作α∥β.【解析】

因为α∥β，a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β，所以a与β内的所有直线都没有公共点，所以a与β内的直线平行或异面，故①不正确，②③正确．故正确的个数为2.例3已知平面α与平面β平行，且a⊂α，则下列四种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是(

)A.0

B.1C.2

D.3【答案】C判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断．检测反馈24513【解析】

一条直线与两条平行线中的一条直线异面，则它与另一条直线可能相交，也可能异面．1.一条直线与两条平行线中的一条直线是异面直线，则它与另一条直线(

)A.相交 B.异面

C.相交或异面 D.平行【答案】C24513【解析】

若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故A错误；由面面平行的性质可知，若α∥β，则α内的任何直线都与β平行，故B正确；若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故D错误．2.(2023怀化高一阶段练习)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.若m∥α，n∥α，则m∥n

B.若α∥β，则α内的任何直线都与β平行C.若α∥β，m∥α，则m∥β

D.若m∥n，n∥α，则m∥α【答案】B24531【解析】

直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C，D正确．故选CD.3.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论中正确的是(

)A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线【答案】CD24531【解析】

六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其相对的侧面平行，故共有4对互相平行的面．六棱柱共有8个面，与其中一个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均相交．4.(2022廊坊期中)在底面为正六边形的六棱柱中，共有________对互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．【答案】4

624531【解析】

直线B1