2023年考研数学研究生入学考试【数一试题】

2023数学一试题一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分．以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上．x0+时，以下无穷小量中最高阶是〔〕Axet1dt B xln(1 t3dt Csinxsintdt

cos

sintdt0 0 0 0设函数fx在区间〔-1,1〕内有定义，且limf(x)0，则〔〕x0xA当limxx0

f(x)

0，fxx0处可导。B当limx0

f(x)0，fxx0处可导。x2xC当fxx0limxx0

f(x)

0。D当fxx0limx0

f(x)0。x23.设函数fx在点〔0,0〕处可微，f(0,0)0，n(f,f,1) 非零向量d与n垂nnx,y,fx,yx2y2

x y

0,0A limx,y0,0

0存在

limx,y0,0

0存在C limx,y0,0

0存在

lim 0nx,y,fxnx,y,fx,yx2y2dx,y,fx,yx2y2dx,y,dx,y,fx,yx2y2n1

axn的收敛半径，r是实数，则〔〕nAn1

axn发散时，rR n

n1

axn发散时，rRnC rR时，n1

axn发散 D rR时，nn1

axn发散n假设矩阵A经初等变换化成B，则〔〕A存在矩阵P，使得PAB B存在矩阵P，使得BPAC存在矩阵P，使得PBA D方程组Ax0与Bx0同解xa直线L：

yb

2c 2与直线L

xa: 3

yb3

2c 3相交于一点，1 a b c1 1 a

2 a b c2 2 2法向量

ii1,2,3.则i cia可由a1

a线性表示3

可由a，a线性表示2 1 3a可由a，a3 1

线性表示a，a，a线性无关1 2 3设 A,B,C 为三个随机事件，且 P(A)P(B)P(C)1 , P(AB)04P(AC)P(BC)342

1，则AB,C中恰有一个大事发生的概率为12312512xx1

,......,x(n)

为来自总体XPX0)PX1)

1，(x)2表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P(i1

X 55)的近似值为iA.1-(1)B.(1)C.1(0,2)D.(0,2)二、填空题：9～14小题，每题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．9、lim[ 1 1 ]x0

ex1 ln(1x){10、设

x t21yln(t

dx2

d2yd2y11f(x满足fn(xaf”(xf(x)0(a>0)，且f(0)m，f”(0)n0

f(x)dx12、设函数f(x,y)xy0

ext

22fxy(1,11)a011a0110a1111a0110a14x听从区间上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X,Y) 2 2三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔此题总分值0分〕求函数x,y x38y3xy 的最大值〔此题总分值0分〕4xy xy计算曲线积分

dx dy.其中Lx2y2，方向为逆时针方向L4x2y2 4x2y〔此题总分值0分〕

1n1

x1

xn设数列 满足n 1

n 2

，证明：当n

时幂纹数

nn1

收敛，并求其和函数.〔此题总分值0分〕设为由面Z: x2y2(x2y24)的下侧，f(x)是连续函数，计算Ixf(xy)2xydydzyf(xy)2yxdzdx2f(xy)2dxdy〔此题总分值0分〕设函数f(在区间0,2上具有连续导数f(0)f(2)0M证明：(1)(0,2)使得)M〔2〕x(0,2)，f(x)MM0

maxxE(0,2)

f(x)〔此题总分值1分〕

x y 设二次型 f(x,x

)x24xx

4x2

经正交变化

1化为二次型21 2 2

12 2

x y2gy,y)ay24yy by2，其中ab1 2 1 1 2 2求ab的值求正交变换矩阵Q〔此题总分值1分〕设A为2P(aAa)，其中aA的特征向量。证明P为可逆矩阵；假设A2aAa6a0P1AP，并推断A是否相像于对角矩阵。〔此题总分值1分〕设随机变量X,X ,X 相互独立，其中X与X 均听从标准正态分布，X 的概率分布为1 2 3 1 2 3PX3

3

11，YXX2 3

(1XX。3 2求二维随机变量X

,Y的分布函数。结果用标准正态分布(x)表示；1证明随机变量Y听从标准正态分布。〔此题总分值1分〕设某种元件的使用寿命T的分