第3章 整式的乘除（单元测试）（解析版）

第3章整式的乘除单元测试注意事项：1.本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共24小题，满分100分，考试时间120分钟；2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，填写在答题卷相应位置上；3.答选择题时必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；4.考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的运算法则，即可求解．【详解】A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、运算正确；D、，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的运算法则，解题的关键是根据法则，正确计算．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．【详解】解：第二个图形的面积是，第一个图形阴影部分的面积是，则．故选：D．【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．3．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）若k为正整数，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的加法，幂的乘方运算底数不变指数相乘，解答即可．【详解】解：则．故选：C．【点睛】本题考查整式的加法，乘方的运算法则；熟记幂的乘方运算规律是解题关键．4．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．【详解】解：依题意，，∵类卡片的面积为，∴需要类卡片张数为，故选：B．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．5．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如果是完全平方式，那么m的值是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的两倍放中央，求解即可．【详解】解：，∵是完全平方式，∴或，∴；故选C．【点睛】本题考查完全平方式．熟练掌握完全平方式的特点，是解题的关键．6．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．【详解】解：依题意，，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）设，若，则（

）A． B． C．3 D．3或【答案】A【分析】首先将原式运用完全平方公式进行变形即可求解．【详解】解：①同理，又②①+②得，①-②得，∴故选：A【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式解方程，正确运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．8．（2023秋·重庆忠县·七年级统考期末）设，，，．对于以下说法：①若，则；②若多项式的值不可能取负数，则；③若b为正数，则多项式的值一定是正数．其中正确的有（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】分别将，，，代入，化简计算，利用平方的非负性可进行判断．【详解】解：，，，①若，则，即，，，，，，，①正确；②，时解得：，②正确；③当时，解得即若为正数，则多项式的值一定是正数，③错误；故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算、平方的非负性；解题的关键是正确运用平方的非负性进行分析．9．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为

第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作

后的整式串；以此类推．通过下列实际操作：①第二次操作后整式串为：x，，3，x，；②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；③第四次操作后整式串中共有19个整式；④第2021次操作后，所有的整式的和为；⑤第二次操作后，所有整式的绝对值之和为，则其最小值为：9；上面五个结论中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先一次计算前面两次操作后的整式，再结合可得，即可判断①②，再写出第四次操作后的结果可判断③，依次计算第一次，第二次，第三次，再归纳出规律可得第n次操作的规律，从而可判断④，再画出图形，利用数轴上两点之间的距离，结合两点之间，线段最短，可判断⑤，从而可得答案．【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：x，3，，∴第二次操作后的整式串为x，，3，x，，即x，，3，x，，故①正确，符合题意；第二次操作后整式的积为，∵，，即，，即第二次操作后，当时，所有整式的积为正数，故②正确，符合题意；第三次操作后整式串为x，，，x，3，，x，3，，第四次操作后整式串为x，，，x，，，x，，3，，，3，x，，3，x，，共17个，故③的说法错误，不符合题意；第一次操作后所有整式的和为，第二次操作后所有整式的和为，第三次操作后所有整式的和为，…，第n次操作后所有整式的积为，∴第2021次操作后，所有的整式的和为，故④的说法正确，符合题意；∵第二次操作后，所有整式的绝对值之和为，即，∴当取最小值，则原代数式取最小值，如图，当时，取最小值6，∴此时的最小值为9，故⑤正确，符合题意；正确的说法有①②④⑤，故选：C．【点睛】本题考查整式的加减运算，整式的乘法运算，平方差公式的应用，规律的探究，理解题意，结合数形结合的方法解题是关键．10．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分别求出前三项以及，，，从而得出规律为第项为，，据此求解即可．【详解】解：第1项为，，∴第2项为，，∴第3项为，，∴可以推出第项为，，∴第5项为，，故结论①、②正确；∵第2023项为，，∴，∴，∴，∴或1（舍去）当时，，∴若第2023项的值为0，则，故结论③错误；同理可得：第m项为，∴当时，第m项的值为，故结论④正确，综上可得：结论正确的个数为3个．故选：C【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11．（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）计算：______．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的法则直接计算即可得到答案；【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的法则：系数相乘作系数，字母按照同底数幂运算法则计算．12．（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）若，则______．【答案】12【分析】根据去括号，移项，合并同类项，即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：12．【点睛】此题考查了解一元一次方程，完全平方公式，正确掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．13．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．【答案】或##或【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，∴，当时，；当时，；综上所述，m的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．14．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______．【答案】2【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出m的值即可．【详解】解：，由结果不含x的一次项，得到，解得：．故答案为：2．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）若n满足，___________．【答案】4【分析】设，则：，利用完全平方公式进行求解即可．【详解】解：设，则：，∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式．解题的关键是构造完全平方公式，利用整体思想，进行求解．16．（2023·全国·九年级专题练习）如果整数x，y，z满足，则代数式的值为_____．【答案】【分析】先将代为，利用同底数幂的除法可得，由于结果底数是2，故左边5和3的指数应为0，左边和右边2的指数相等，由此可得方程组，解方程组求出x，y，z的值，代入即可求解．【详解】解：，则，，故，解得：，因此，故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、解三元一次方程组等知识点，解题的关键是通过对原式变形得到关于x，y，z的方程组．三、解答题(本大题共7小题,共66分)17．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据完全平方公式展开，然后根据多项式除以单项式的运算法则求解即可；（2）先利用平方差公式展开，然后合并同类项求解即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）先化简再求值：，其中．【答案】，．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x、y的值代入整式即可得出整式的值．【详解】解：，当时．原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）(2)若，求休息区域的面积.【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积-游泳池的面积，将数值代入计算即可；（2）将，代入（1）中化简后的式子计算即可；【详解】（1）解：由题意可得，休息区域的面积是：，即休息区域的面积是：平方米；（2）解：当，时，（平方米），即若，，则休息区域的面积是平方米；【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则．20．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）材料准备：如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．(1)解决问题：观察图②，写出代数式，，ab之间的等量关系是；(2)解决问题：根据（1）中的等量关系，解决下面问题：已知，，求的值；(3)解决问题：若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为（

），并画出所拼的正方形（模仿图②标注长度数据）．A．；B．；C．；D．【答案】(1)(2)3(3)D，见解析【分析】（1）分别表示出A、B、C的面积，再根据长方形面积公式表示出图②面积，即可得出结论；（2）把，代入（1）中的等式，即可求解；（3）选择1个A，4个B和2个C即可拼出．【详解】（1）解：根据题意得：A的面积为：；B的面积为：；C的面积为：；图②的面积为：；∴，故答案为：；（2）把，代入得：，解得：；（3）如图所示：由图可知：正方形边长最多为，故选：D．【点睛】本题主要考查了完全平方公式于图形面积，解题的关键是根据图形面积的两种计算方法得出等式．21．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，，∴．类比应用：请仿照上面的方法求解下列问题：(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)已知正方形的边长为，分别是上的点，且，长方形的面积是．分别以为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据材料提示，设，，则，，由此即可求解；（2）根据材料提示，设，，则，，再表示出，由此即可求解；（3）由题意可得，，，则，，，再根据材料提示方法即可求解．【详解】（1）解：（1）设，，则，，∴．（2）解：设，，则，，∴，∴．（3）解：由题意可得，，，∴，，，设，，则，，∴，即正方形和正方形的面积和为．【点睛】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键．22．（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题．解：∵，又∵，∴，∴的最小值为．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：________________；(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)2，1；(2)大，；(3)长为米，宽为米时，面积最大为．【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案；（2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案；（3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，，故答案为：2，1；（2）解：原式，∵，∴，∴，故答案为：大，，（3）解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得，，∵∴，∴，∴当时，面积最大为，故应该长为米，宽为米时，面积最大为．【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方．23．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：，；（3）由特殊到一般，得出结论：．（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．【详解】（1）∵，，∴，故答案为：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）设，，则，∴，∴，∴．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．24．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．例1：如图1，可得等式：．例2：由图2，可得等式：．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为_________________________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值；(3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．【答案】(1)(2)45(3)20【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用求解．【详解】（1）解：正方形面积为，小块四边形面积总和为，由面积相等可得：，故结论是：；（2）由（1）可知，，，，故的值为45；（3），，