2023年江苏省中考数学冲刺专题练-9三角形

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——9三角形一．选择题（共11小题）1．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，△APB中，AB=22，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDEA．1 B．2 C．22 D．2．（2022•射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°3．（2023•宜兴市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39° B．40° C．49° D．51°4．（2022•宿豫区二模）如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（）A．75° B．105° C．120° D．90°5．（2022•海陵区二模）若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．3 C．5 D．96．（2022•江都区校级三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（）A．102 B．10 C．3102 D7．（2022•扬州三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD=25，则△ADEA．6 B．5 C．25 D．8．（2022•高邮市模拟）如图，已知点M、N是Rt△ABC的斜边AB的三等分点，AC＝BC＝6，点P是折线A﹣C﹣B上的一个动点，连接PM、PN，若PM+PN＝7，则满足条件的点P的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022•连云港模拟）如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1＝18°，则∠2的度数为（）A．162° B．142° C．138° D．135°10．（2022•锡山区一模）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．42 B．25 C．5 D11．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C．6 D．4二．填空题（共9小题）12．（2023•贾汪区一模）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，延长BO交AC于点D，连接OA，作OE⊥DC，垂足为E，若AD：DC＝1：2，OE＝2，AB＝6，则△OBC的面积为．13．（2023•泗洪县一模）已知△ABC三条中位线的长分别为3、4、5，则该三角形的面积为．14．（2023•高新区模拟）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（0＜OM＜ON），∠AOB＝45°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．15．（2023•常州模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．16．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为．17．（2023•靖江市校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．18．（2022•海州区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BC＝DC=5，AD=14，则BD＝19．（2023•邗江区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，D为AC延长线上一点，且已知AD＝8，E为BC上一点，BE＝2，若M为线段AB的中点，N为DE的中点，则线段MN的长为．20．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是．三．解答题（共6小题）21．（2023•泗阳县一模）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．（1）∠CAE＝，BD＝cm（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．22．（2023•惠山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）如图1，当点A'落在AC的延长线上时，则AA'的长为；（2）如图2，当点C'落在AB的延长线上时，连接CC'，交A'B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA'，CC'，直线CC'交AA'于点D，若AE=32，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，请直接写出23．（2023•惠山区校级模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．24．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．25．（2023•锡山区校级模拟）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．26．（2022•江都区校级三模）如图1，在一平面内，线段AB＝12，M、N是线段AB上两点，且AM＝BN＝1．点C从点M开始向终点N运动，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作等边△ACD和等边△BCE．（1）直接写出CD和BE位置关系：；（2）如图2，连接AE，BD，求证：AE＝BD；（3）如图3，设DE的中点为P，在点C从点M开始运动到终点N的过程中，求点P移动路径的长；（4）如图4，点G、点H分别是CD、BE的中点，求当线段GH取得最小值时△ACE的面积．

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——9三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，△APB中，AB=22，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDEA．1 B．2 C．22 D．【解答】解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°﹣150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF=12CP=12b，a2+b2＝（22）∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，在△EAD和△PAB中，AE=AP∠EAD=∠PAB∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝8，∴12ab≤2即四边形PCDE面积的最大值为2．故选：B．2．（2022•射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：如图，延长AC交平行线与点H，则∠2＝30°，∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故选：A．3．（2023•宜兴市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39° B．40° C．49° D．51°【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD=12∠ACB＝故选：A．4．（2022•宿豫区二模）如图，一副直角三角板摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB与DE交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的度数是（）A．75° B．105° C．120° D．90°【解答】解：∵△ABC、△DEF是一副直角三角板，∴∠B＝30°，∠E＝45°．∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B＝30°，∵∠E+∠EAB+∠EMA＝180°，∴∠BMD＝180°﹣∠E﹣∠EAB＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：B．5．（2022•海陵区二模）若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．3 C．5 D．9【解答】解：由三角形三边关系定理得：6﹣2＜a＜6+2，即4＜a＜8，即符合的只有5，故选：C．6．（2022•江都区校级三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（）A．102 B．10 C．3102 D【解答】解：由题意可得，BC=32+42=5，AB＝5∴AB＝BC，∵BD是∠ABC的平分线，∴BD⊥AC，AD＝CD=12AC∴BD=A故选：A．7．（2022•扬州三模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD=25，则△ADEA．6 B．5 C．25 D．【解答】解：如图：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴EF＝BF=12∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，∵AD＝25，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝2，DH＝4，∴DG＝GE＝2，∴S△ADE故选：A．8．（2022•高邮市模拟）如图，已知点M、N是Rt△ABC的斜边AB的三等分点，AC＝BC＝6，点P是折线A﹣C﹣B上的一个动点，连接PM、PN，若PM+PN＝7，则满足条件的点P的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：作点M关于AC的对称点M'，连接M′N交AC与点P，连接AM'，MM'，连接AM′，∴∠AMM′＝∠AM′M＝45°，∴∠M′AM＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴∠BAC＝45°，AB＝62，∵点M、N是Rt△ABC的斜边AB的三等分点，∴AM＝MN＝BN＝22，∴AM′＝22，AN＝42，∴P′M+P′N＝M′N=AM'∴PM+PN的最小值40，当点P与A重合时，AM+AN＝22+42=62当点P与C重合时，作CD⊥AB于D，连接CM，CN，在△ACM和△BCN中，AM=BN∠CAM=∠CBN∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CN＝CM，∵CD⊥AB，∴MD＝ND=12MN=2，CD=12∴CM＝CN=(32)∴CM+CN＝25+25=45∴在AC上，有两个点P符合条件，由对称性可知，在BC上，有两个点P符合条件，∴满足条件的点P的个数是4，故选：D．9．（2022•连云港模拟）如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1＝18°，则∠2的度数为（）A．162° B．142° C．138° D．135°【解答】解：如图，由题意得：∠E＝90°，∠A＝30°，DF∥BC，∴∠EDF＝∠ECB，∵∠ECB是△ABC的外角，∴∠ECB＝∠A+∠1＝48°，∴∠EDF＝48°，∵∠2是△DEF的外角，∴∠2＝∠E+∠EDF＝138°．故选：C．10．（2022•锡山区一模）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．42 B．25 C．5 D【解答】解：由题意可得：OB＝4，BC＝2，则OC=OB2故点M对应的数是：25．故选：B．11．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C．6 D．4【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB=12BC=故选：B．二．填空题（共9小题）12．（2023•贾汪区一模）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，延长BO交AC于点D，连接OA，作OE⊥DC，垂足为E，若AD：DC＝1：2，OE＝2，AB＝6，则△OBC的面积为12．【解答】解：如图，过D点作DF∥BA交BC于点F，则△DFC∽△ABC，∴CDCA∵AB＝6，∴DF=2∵DF∥BA，∴∠ABD＝∠BDF，∵BO平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，∴∠FBD＝∠BDF，∴BF＝DF＝4，∵BC＝BF+CF＝3BF＝12，∴S△OBC故答案为：12．13．（2023•泗洪县一模）已知△ABC三条中位线的长分别为3、4、5，则该三角形的面积为24．【解答】解；∵△ABC的三条中位线长分别为3，4，5，∴△ABC的各边分别是6，8，10，∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC=12×6×8故答案为：24．14．（2023•高新区模拟）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（0＜OM＜ON），∠AOB＝45°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是a＞4【解答】解：如图所示：过点M作MC⊥OB于点C，∵OM＝a，MN＝4，∵∠AOB＝45°，则△OMC是等腰直角三角形，∴MC=2依题意边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则PM＝PN，∴MC＞MN，∴22解得：a＞故答案为：a＞15．（2023•常州模拟）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为45°．【解答】解：如图，连接AC．由题意，AC=22+12=5∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，故答案为：45°．16．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为4或23．【解答】解：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四种情况：当∠A＝2∠B＝90°时，∴∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝AC=BC2=∴△ABC的面积=12AB•AC=12×2当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4；当∠B＝2∠C时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝2∠C，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∵BC＝4，∴AB=12BC＝2，AC=3AB＝∴△ABC的面积=12AB•AC=12×2×当∠C＝2∠B时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝30°，∠C＝60°，∵BC＝4，∴AC=12BC＝2，AB=3AC＝∴△ABC的面积=12AB•AC=12×23综上所述：△ABC的面积为4或23，故答案为：4或23．17．（2023•靖江市校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝23【解答】解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG=12CG＝1，AD＝∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cosB=BC∴cos∠GCB=2故答案为2318．（2022•海州区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BC＝DC=5，AD=14，则BD＝6【解答】解：如图，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE．∵BC＝CD，∴CD=BC=CE=5∴∠CBD＝∠CDB，∠E＝∠CDE，∵∠CBD+∠CDB+∠E+∠CDE＝180°，∴∠BDE＝90°，BE=25∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCB＝∠BAC，∠BAC+∠DCA＝180°，又∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠DCA，在△DCE与△DCA中，CE=AC∠DCE=∠DCA∴△DCE≌△DCA（SAS），∴AD=ED=14在Rt△BDE中，BE=2BC=25∴BD=B故答案为：6．19．（2023•邗江区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，D为AC延长线上一点，且已知AD＝8，E为BC上一点，BE＝2，若M为线段AB的中点，N为DE的中点，则线段MN的长为13．【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，MF与BC相交于G，过点N作NH⊥MF于H，如图，∵N、F分别是DE、BD的中点，∴NF∥BE，NF=12BE=12∵M、F分别是AB、BD的中点，∴MF∥BE，MF=12AD=12∵∠ACB＝120°，∴∠DCB＝60°，∵MF∥BE，∴∠BGF＝∠DCB＝60°，∵NF∥BE，∴∠NFG＝∠BGF＝60°，∵NH⊥MF，∴∠NHF＝90°，∴∠FNH＝30°，∴HF=12NF∴MH＝MF﹣HF＝4-1在Rt△FHN中，NH=N在Rt△MHN中，MN=M故答案为：13．20．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是45．【解答】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OC＝OA＝4，连接AC，BC．∵△AOC，∠APB都是等腰直角三角形，∴∠OAC＝∠PAB，AC=2OA，AB=2∴∠OAP＝∠CAB，OAAC∴△OAP∽△CAB，∴∠AOP＝∠ACB＝90°，∴点B在直线y＝x+4上运动，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，当点B与T重合时，OB+AB的值最小，∵E（﹣4，40，a（4，0），∴AE=42+∴OB+AB的最小值为45，故答案为：45．三．解答题（共6小题）21．（2023•泗阳县一模）数学实验是通往数学之源、数学之品、数学之用、数学之奇、数学之美、数学之谜的创造之门，小瑞同学是一位数学“小迷神”，酷爱做数学实验，今天特邀大家和他做如下实验，并回答相关问题：小瑞把两块完全相同的三角板按图1方式摆放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC＝∠FED＝60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB＝EF＝12cm，AC在直线MN上，点A与点F重合．（1）∠CAE＝90°，BD＝12﹣63cm（2）小瑞将三角板FDE的直角顶点D沿DA方向滑动，同时顶点F沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．①当点D恰好是线段AB中点时，求∠ADF的度数．②当点D从初始位置滑动到点A处时，求点E所经过的路径长；（3）在（2）中，过点D、F分别作AB、AF的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AC，ED⊥FD，∴∠ACB＝∠EDF＝90°，∵∠BAC＝∠FED＝60°，∴∠EFD＝90°﹣∠FED＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠BAC+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴DF＝EF•cos∠EFD＝12cos30°＝12×32=63（cm），即AD＝6∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣63）cm，故答案为：90°，12﹣63；（2）①如图2，过点D作DG⊥MN于G，则∠DGA＝∠BCA＝90°，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=12×12∵∠BAC＝60°，∴DG＝AD•sin60°＝6×32=33由（1）知：DF＝63cm，∴sin∠DFG=DG∴∠DFG＝30°，∴∠ADF＝∠BAC﹣∠DFG＝60°﹣30°＝30°；②如图3，当点D沿DA方向下滑时，得△E'F'D'，过点E′作E′G⊥AB于G，当点D滑动到点A时，点E沿EA下滑到E″点，点E运动的路径长为EE″＝12﹣6＝6（cm），故点E所经过的路径长为6cm；（3）∵DP⊥AB，FP⊥MN，∴∠ADP＝∠AFP＝90°，∴四边形ADPF是圆内接四边形，∴∠DAF+∠DPF＝180°，作四边形ADPF的外接圆⊙O，如图4，连接OD，OF，过点O作OK⊥DF于K，∵∠DAF+∠BAC＝180°，∴∠DPF＝∠BAC＝60°，∵∠ADP＝90°，∴AP是⊙O的直径，即点O是AP的中点，∴∠DOF＝2∠DPF＝120°，∵OA＝OF，OK⊥DF，∴DK＝FK=12DF=12×63=33（cm），∠OAF＝∠OFD＝30°，即点∵DKOD=cos∠∴OD=DKcos∠ODF=3∴AP＝2OD＝12cm．故线段AP的长度为12cm，是定值．22．（2023•惠山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）如图1，当点A'落在AC的延长线上时，则AA'的长为8；（2）如图2，当点C'落在AB的延长线上时，连接CC'，交A'B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA'，CC'，直线CC'交AA'于点D，若AE=32，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，请直接写出【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=AB∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，Rt△A'BC中，A'C=A'B∴AA'＝AC+A'C＝8．故答案为：8；（2）如图2中，在AB上取一点T，使得CT＝CB＝3，过点C作CH⊥AB于点H．∵12•AC•BC=12•AB∴CH=12∴BH=B∵CT＝CB，CH⊥TB，∴TH＝BH=95，∠TTB＝∠CBT＝∠∴BM∥CT，∴BMCT∴BM3∴BM=15（3）过A作AP∥A'C'交C'C于P，连接A'C，如图：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，∴∠BCC'＝∠BC'C，∴∠APC＝180°﹣∠APD，∠ACP＝90°﹣∠BCC'＝90°﹣∠BC'C＝180°﹣∠A'C'D，∵AP∥A'C'，∴∠APD＝∠A'C'D，∴∠APC＝∠ACP，∴AP＝AC，∴AP＝A'C'，在△APD和△A'C'D中，∠APD=∴△APD≌△A'C'D（AAS），∴AD＝A'D，即D是AA'中点，∵点E为AC的中点，∴DE是△AA'C的中位线，∴DE=12A'当A'C的值最小时，DE的值最小，∵A'C≥BA'﹣BC＝5﹣3＝2，∴当C，B，A'三点共线时，DE存在最小值．∴DE=12A′C＝即DE的值小值为1．23．（2023•惠山区校级模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．24．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．【解答】证明：∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCF中，AE=BF∠A=∠B∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE＝CF，即CF＝DE．25．（2023•锡山区校级模拟）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠AB