2025届新高考数学精准突破复习 解析几何证明性、探究性问题

2025届新高考数学精准突破复习解析几何证明性、探究性问题圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，证明性、探索性问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点

的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；考点一圆锥曲线的证明性问题设P(x，y)，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1，设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，方法二不妨设A，B，D在W上，且BA⊥DA，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，得x2－kx＋ka－a2＝0，Δ＝k2－4(ka－a2)＝(k－2a)2>0，则k≠2a，令k2＝m，则m∈(0,1]，矩形ABCD变换为矩形A′B′C′D′，则kA′B′＝t1＋t0，kB′C′＝t2＋t0，由于A′B′⊥B′C′，则(t1＋t0)(t2＋t0)＝－1.令t2＋t0＝tanθ，则t2＝tanθ－t0，t1＝－cotθ－t0，从而由于t1<t0<t2，从而－cotθ－t0<t0<tanθ－t0，又t0≥0，跟踪训练1

所以双曲线C的方程为x2－y2＝a2，因为l1与双曲线C仅有一个公共点，所以Δ＝162－4(a2＋48)＝0，解得a2＝16，(2)设双曲线C的左顶点为A，直线l2平行于l1，且交双曲线C于M，N两点，求证：△AMN的垂心在双曲线C上.消去y得3x2＋4mx＋m2＋16＝0，如图所示，过A引MN的垂线交C于另一点H，即AH⊥MN，连接MH，所以MH⊥AN，故H为△AMN的垂心，得证.典例2

考点二圆锥曲线的探究性问题由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，存在.由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(4，y1)，Q(4，y2)，可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝4m2＋12(m2＋4)＝16(m2＋3)>0，跟踪训练2

(2023·日照模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，E为C上的动点，EQ垂直于动直线y＝t(t<0)，垂足为Q，当△EQF为等边三角形时，其面积为.(1)求C的方程；∴C的方程为x2＝4y.(2)设O为原点，过点E的直线l与C相切，且与椭圆

交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M，试问是否存在t，使得|AM|＝|BM|？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.假设存在t，使得|AM|＝|BM|，则M为线段AB的中点，综上，存在t，使得|AM|＝|BM|，此时t的值为－1.证明性问题主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意：当结论或条件不唯一时，要分类讨论.总结提升1231.(2023·湖南师大附中模拟)如图，椭圆C：

(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2.(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，求|PM|·|PN|的值；123设P(x0，y0)，由于|PF1|＋|PF2|＝2a⇒|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，而|PF1|·|PF2|＝6，＝a2＋4－(a2－2)＝6.123(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线互相垂直.123设R(m，n)，则m2＋n2＝a2＋4，即n2－4＝a2－m2，设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程为y＝k(x－m)＋n(m2≠a2)，代入椭圆方程得整理得(4＋a2k2)x2－2ka2(km－n)x＋a2(km－n)2－4a2＝0，即(km－n)2－a2k2－4＝0⇒(m2－a2)k2－2mnk＋n2－4＝0，123即两条切线的斜率都存在时，有两条切线互相垂直；而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为(±a，±2)，此时显然两条切线互相垂直，综上，过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线互相垂直.123123123(2)设点O(0,0)，M(0,2)，动直线l：y＝kx＋m与C的右支相交于不同两点A，B，且∠AFM＝∠BFM，过点O作OH⊥l，H为垂足，证明：动点H在定圆上，并求该圆的方程.123由∠AFM＝∠BFM，得cos∠AFM＝cos∠BFM，123整理得(2m＋k＋3)(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以2m＋k＋3＝0，123又因为OH⊥l，垂足为H，所以动点H在以ON为直径的圆上，123123123(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得xP＝4xT(其中xP，xT分别为点P，T的横坐标)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.123方法一

设P(x0，t)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，B(2,0)，令xT＝n(－2<n<2)，则设lMN：x＝my＋n，123易得Δ>0，123若存在xP＝