福建省龙岩市新罗区龙岩学院附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

龙岩学院附属中学20232024学年高二数学第二次月试卷一、单选题1.写出数列的一个通项公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.【详解】数列，则其分母为，分子为，则其通项公式为.故选：B2.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】B【解析】【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．因为圆的圆心为，半径为，所以，故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B．3.图中的直线的斜率分别为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，.故选：D.4.把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（）种方法.A.81 B.64 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】分析每一个小球的放法，根据分步计数原理求解.【详解】对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知不同放法共有（种）.故选：B.5.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值.【详解】∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立.故选：C.6.设椭圆的离心率分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A7.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（）A.36 B.72 C.81 D.144【答案】D【解析】【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有种不同的排法，故选：D8.设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.二、多选题9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则或C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；再根据两直线垂直列出方程，求出.【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．若，则，解得，C正确，D错误．故选：AC10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线C是椭圆B.当或时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（）A.若点在函数（k，b为常数）的图象上，则为等差数列B.若为等差数列，则为等比数列C.若为等差数列，，，，则当时，最大D.若，则为等比数列【答案】ABC【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式，等差数列和等比数列的定义判断A，B，C，D的结论．【详解】对于A：点在函数，为常数）的图象上，故，故（常数），则为等差数列，故A正确；对于B：由于数列为等差数列，所以（常数），故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；对于C：若为等差数列，，所以，则，又，所以，故，所以公差，所以等差数列递减，则当时，，当时，，则当时，最大，故C正确；对于D：由于，当时，整理得，当时，，故，经检验，不满足上式，故，故选项D错误．故选：ABC．12.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（）A. B.抛物线的方程为C.直线的方程为 D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．三、填空题13.已知a是1，2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于_________；【答案】【解析】【分析】根据等差和等比中项的定义求，即可求解.【详解】因为是的等差中项，所以，因为是，的等比中项，所以，，所以.故答案为：.14.直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l方程.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线l的方程为或.故答案为：或.15.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：16.已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______．【答案】【解析】【分析】设出动点M的坐标，根据M是线段AB的中点，利用中点坐标公式求出B点的坐标，再根据点B在圆上，代入圆的方程得到M的轨迹方程.【详解】设，由定点，且M是线段AB的中点，由中点坐标公式可得，即，又点B在圆上，故，即，整理得，所以线段AB中点M的轨迹方程是,故答案为：.四、解答题17.等比数列的公比为2，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用等差中项求出，再根据等比数列的通项公式求出；(2)根据条件求出的通项公式，再分组求和.【小问1详解】已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，；【小问2详解】，.；综上，18.已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．【答案】（1），圆心坐标，半径为（2）或【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由，得，则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为．【小问2详解】由，得圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离，得或．19.已知抛物线焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.【小问1详解】点抛物线上，由抛物线定义可得，解得，故抛物线的标准方程为．【小问2详解】设，如下图所示：则，两式相减可得，即，又线段的中点为，可得；则，故直线的斜率为4，所以直线的方程为，即直线的方程为．20.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数；（3）比400000大的正整数.【答案】（1）288（2）504（3）240【解析】【分析】（1）先在个位排1个奇数，然后在首位排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果；（2）分两类，个位数字是0，和不是0，利用两个计数原理进行求解即可；（3）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解．【小问1详解】先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；小问2详解】因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，当个位数是0，有，当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；【小问3详解】要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，所以有（个）21.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求出首项及，构造法求出通项公式；（2）求出，从而利用裂项相消法求和.【小问1详解】当时，，解得，当时，．可得，整理得：，从而，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；所以，所以，经检验，满足，综上，数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以，所以，，所以22.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联